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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《双曲线及其标准方程》(北师大版选修2-1)


理解教材 新知
§3

知识点一 知识点二 考点一

第 三 章

3.1

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

2011年3月16日,中国海军第7批、第8批护航编队“温州号” 导弹护卫舰,“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集

结点附近正式会合,共同护航,某时,“马鞍山”舰哨兵监听到
附近海域有快艇的马达声,与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的 “温州号”舰,3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s),用A、B 分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置,点M表示快艇 的位置.

问题1:快艇距我两护卫舰的距离之差是多少? 提示:|MB|-|MA|=340×3=1 020(m). 问题2:我两护卫舰为辨明快艇意图,保持不动,持 续监测,发现快艇到我两舰距离之差保持不变,快艇运动 有何特点?

提示:始终满足|MB|-|MA|=1 020.

双曲线的定义
定义 焦点 焦距 集合

平面内到两定点F1,F2的 距离之差的绝对值 等于常数
(大于零且小于|F2|)的点的集合叫作双曲线 定点F1,F2 叫作双曲线的焦点 两个焦点之间 的距离叫作双曲线的焦距
? ? P={M| ?|MF1|-|MF2|?=2a,0<2a<|F1F2|} ? ?

语言

上述问题中,设|AB|=1 600=2c, ||MA|-|MB||=1 020=2a. 问题1:以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立

直角坐标系.则点M的轨迹方程是什么?
提示:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 问题2:若以AB所在直线为y轴,AB的垂直平分线为x轴, 则点M的轨迹方程为什么? (c2-a2)y2-a2x2=a2(c2-a2).

双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图像
y2 x2 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0) F1(-c,0) ;F2 (c,0) F1 (0,-c) ;F2 (0,c)

标准方程
焦点坐标 a,b,c 的关系

c2=a2+b2

? ? 1. 双曲线定义中?|PF1|-|PF2|?=2a(0<2a<|F1F2|), 不 ? ?

要漏掉绝对值符号.当 2a=|F1F2|时表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b 不一定成立.c2= a2+b2 与椭圆中的 a2=b2+c2 不同.

[例1]

根据下列条件求双曲线的标准方程.

(1)求以椭圆+=1的短轴的两个端点为焦点,且过点A(4, -5)的双曲线的标准方程; (2)已知双曲线通过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的 标准方程.

[思路点拨]

用待定系数法,根据双曲线焦点的位置设

方程,根据条件确定参数.当已知双曲线的两个焦点和双曲 线上某一点,也可利用双曲线的定义求解.

[精解详析]

(1)法一:(待定系数法)

由题意知双曲线的两焦点F1(0,-3),F2(0,3). y2 x2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 将点A(4,-5)代入双曲线方程得 25 16 2 2 2 - 2 =1,又a +b =9, a b 解得a2=5,b2=4. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 5 - 4 =1.

法二:(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-3), F2(0,3)且A(4,-5)在双曲线上, 则2a=||AF1|-|AF2||=| 20- 80|=2 5, ∴a= 5,∴b2=c2-a2=9-5=4. y2 x2 即双曲线的标准方程为 5 - 4 =1.

(2)法一:若焦点在 x 轴上, x2 y2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 因为 M(1,1),N(-2,5)在双曲线上, ?1 1 ?a2-b2=1, 所以? ?-2?2 52 ? 2 - 2=1, b ? a 若焦点在 y 轴上, ? 2 7 ?a = , 8 解得? ?b2=7. ?

y2 x2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ?1 1 ?a2-b2=1, 同理有? 2 ?-2?2 ?52- 2 =1, b ?a ?a2=-7, ? 解得? 2 (不合题意,舍去). 7 ?b =-8 ? x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 7 - 7 =1. 8

法二:设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0). 将点M(1,1),N(-2,5)代入上述方程,得 8 ? ?m+n=1, ?m=7, ? ? 解得? ?4m+25n=1, ? ?n=-1. 7 ? x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 7 - 7 =1. 8

[一点通]

求双曲线标准方程的常用方法:

(1)定义法:若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义,则可根据双曲线的定义确定方程.

(2)用待定系数法,具体步骤如下:

1.已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(-6,7),求该双曲
线的标准方程. 解:设所求双曲线的标准方程为mx2+ny2=
1(mn<0),又双曲线过P、Q两点, 1 ? ?9m+28n=1, ?m=-75, ? ∴? 解得? ?72m+49n=1, ? ?n= 1 . 25 ? y2 x2 故所求双曲线标准方程为25-75=1.

x2 y2 2.已知双曲线与椭圆27+36=1有共同的焦点,且与椭 圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程. x2 y2 解:因为椭圆27+36=1的焦点为(0,-3),(0,3),
A点的坐标为( 15,4)或(- 15,4), 设双曲线的标准方程为

y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0), ?a2+b2=9, ? 所以?16 15 ? a2 - b2 =1, ?
?a2=4, ? ? 2 ?b =5. ?

y2 x2 所以所求的双曲线的标准方程为 4 - 5 =1.

[例2]

x2 y2 已知曲线C: t2 + 2 =1(t≠0,t=± 1). t -1

(1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线; (2)求证:不论t为何值,曲线C有相同的焦点.

[思路点拨]

方程Ax2+By2=1表示的轨迹是由参

数A、B的值及符号确定,因此要确定轨迹,需对A、B 进行讨论.

[精解详析] 线 C 为椭圆;

(1)当|t|>1 时,t2>0,t2-1>0,且 t2≠t2-1,曲

当|t|<1 时,t2>0,t2-1<0,曲线 C 为双曲线. (2)证明:当|t|>1 时,曲线 C 是椭圆,且 t2>t2-1, 因此 c2=a2-b2=t2-(t2-1)=1, ∴焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). x2 y2 当|t|<1 时,双曲线 C 的方程为 2 - =1, t 1-t2 ∵c2=a2+b2=t2+1-t2=1, ∴焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). 综上所述,无论 t 为何值,曲线 C 有相同的焦点.

[一点通]

方程Ax2+By2=1(A、B≠0)表示椭圆的充要

条件为A>0,B>0,且A≠B;表示双曲线的充要条件为 AB<0,若A<0,B>0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线;

若B<0,A>0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲
线的焦点位置是由x2,y2的系数正负决定的.

3.方程(m+2)x2+(m-1)y2=1表示双曲线的充要条件

为________.
解析:由题意,若(m+2)x2+(m-1)y2=1表示双曲 线,则等价于(m+2)(m-1)<0,即-2<m<1. 答案:-2<m<1

4.k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示
的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的椭圆 ( )

B.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线

y2 x2 解析:原方程化为: 2 - =1. k -1 1+k ∵k>1,∴k2-1>0,1+k>0, ∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线.

答案:B

[例 3]

x2 y2 (12 分)若 F1,F2 是双曲线 - =1 的两 9 16

个焦点,P 是双曲线上的点,且|PF1|· 2|=32,试求 |PF △ F1PF2 的面积.
[思路点拨] 欲求△ F1PF2 的面积,可考虑 1 |PF ||PF2|sin∠F1PF2 求解,只要求出∠F1PF2 的正弦 2 1 值即可.而△ F1PF2 的三边中,|PF1|-|PF2|=± 6,|F1F2|= 10,故可考虑用余弦定理求解.

[精解详析]

x2 y2 由双曲线方程 9 -16=1,

可知 a=3,b=4,c= a2+b2=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=± 2a=± 6, 将此式两边平方,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|=36,? |PF ∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· 2| |PF =36+2× 32=100.? (6 分) (4 分)

如图所示,在△ F1PF2 中,由余弦定理,得

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· 2| |PF 100-100 = =0,? 2|PF1|· 2| |PF ∴∠F1PF2=90° , 1 1 ∴S ? F1 P2 = |PF1|· 2|= × |PF 32=16.? 2 2 (12 分) (10 分)

[一点通]

双曲线的定义是解决与双曲线有关的问

题的主要依据,在应用时,一是注意条件||PF1|-|PF2|| =2a(0<2a<|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结 合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体代换思想 的应用.

y2 5.设P为双曲线x - 12 =1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个
2

焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△ PF1F2的面积. 解:由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,
∵|PF1|∶|PF2|=3∶2,∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13, 62+42-52 由余弦定理,得 cos∠F1PF2= 2× 4 =0, 6× ∴三角形为直角三角形. 1 ∴S△ PF1F2=2× 4=12. 6×

1 6.在△ ABC中,|BC|=2且sin C-sin B=2sin A,求点A的轨 迹方程. 解:以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y
轴,建立直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0).设A(x,y), 1 由sin C-sin B=2sin A及正弦定理可得 1 |AB|-|AC|=2|BC|=1<2=|BC|, ∴点A在以B,C为焦点的双曲线的右支上.

x2 y2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 1 ∵2a=1,2c=2,∴a=2,c=1, 3 4y2 ∴b2=c2-a2=4,∴双曲线方程为4x2- 3 =1. 1 ∵|AB|-|AC|=1>0,∴x>2,
? 1? 4y2 2 ∴点A的轨迹方程是4x - 3 =1?x>2?. ? ?

1.用定义法求双曲线的标准方程时,要注意是
一支还是两支. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是 判断焦点所在的位置.


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