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§1.3.1 函数的单调性与导数(导学案)


§1.3.1 函数的单调性与导数(导学案) 编写:刘宇生 2016.5.1 班级___姓名____ 【学习目标】 1、 了解函数的单调性与导数的关系 2、能运用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 一、知识回顾 1.函数单调性的判定 2.单调函数的图象特征 3.会判断函数 y ? x2 的单调性吗?函数 y ? x3 ? 3x 的单调性呢? 二、自主学习 1、 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随 时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的 函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.运动员从起跳 到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】 随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 【结论】 (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地,
'



(2)从最高点到入水,运动员离水面的高 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地, . 2、 【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的, 那么函数的单调性与导数有什么关系呢? 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系. 【探究】观察下面函数图象,探讨函数单调性与其导数正负的关系. (1)函数 y ? x 的定义域为 ,并且在定义域上是 , 其导数 ; (2)函数 y ? x 的定义域为
2

,在 ( ??, 0) 上单调



在 (0, ??) 上单调

; ;当 x ? 0 时,

而 y? ? ( x 2 )? ? 2 x ,当 x ? 0 时,其导数

其导数 ;当 x ? 0 时,其导数 。 【总结】 以上函数的单调性及其导数符号的关系说明, 在区间 ( a , b) 内, 如果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增, 那么 ;如果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减,那么 。 【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 【探究】如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 函数 f ( x ) 在 x0 附近单调
'

”式的,这时,

; ”式的,这时, .

在 x ? x1 处, f ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 函数 f ( x ) 在 x1 附近单调

【结论】 函数的单调性与导数的关系:在某个区间 ( a , b) 内,
' 如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内

; .

如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内
' ' 特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 三、课内探究 【例 1】判断下面函数的单调性.

(1) f ( x) ? x3 ? 3x;

(2) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ).

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【例 2】求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间.

【变式】求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间.

【小结】 1.什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便?

2.试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?

【例 3】已知导函数的下列信息: 当 2 ? x ? 3 时, f '( x ) ? 0 ; 当 x ? 3 或 x ? 2 时, f '( x ) ? 0 ; 当 x ? 3 或 x ? 2 时, f '( x ) ? 0 . 试画出函数图象的大致形状 【例 4】如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各 容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像, 并用线连接.

【知识拓展】 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个 范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下) ;反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x) 在 (a, 0) 或 (0, b) 内的图象 “陡峭” ,在 (??, a) 或 (b, ??) 内的图象“平缓”. 【例 5】求证:方程 x ?

1 sin x ? 0 只有一个根. 2

【高考追踪】 1.(2015 年福建文科)已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 .(Ⅰ)求函数的单调递增区间; 2

2.(15 年新课标Ⅱ理)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx .(Ⅰ)证明: f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增;

四、课堂小结 1.函数的单调性与其导函数正负的关系;2.用“导数法” 求单调区间的步骤。
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