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最新人教版高中数学选修2-3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》示范教案(第3课时)

第三课时 教学目标 知识与技能 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用. 过程与方法 通过对简单实例的分析概括,总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方 法. 情感、态度与价值观 引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式, 培养学生的抽象概括能力和 分类讨论能力. 重点难点 教学重点:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用. 教学难点:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用. 教学过程 复习回顾 提出问题 1:有四位同学参加三项不同的比赛, (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果? (2)每项比赛只许一位同学参加,有多少种不同的结果? 提出问题 2:设集合 A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},则从集合 A 到 B 共有多 少个不同的映射? 活动设计:请同学分析思路和解法依据,再请另外的同学补充. 活动成果: 问题 1.(1)分四步,每位同学选一个项目为一步,每位同学有三种选择,即每步有三种 不同的方法,根据分步乘法计数原理,四位同学共有参赛方法:3× 3× 3× 3=81 种; (2)分三步,每项比赛选择一名同学参加为一步,每项比赛被选择的方法有四种,即每 步有四种不同的方法,根据分步乘法计数原理,三项比赛共有参赛方法:4× 4× 4=64 种. 问题 2.分 6 步:先选 a 的象,有 3 种可能,再选 b 的象也是 3 种可能,…,最后选 f 的 象也有 3 种可能,由分步乘法计数原理知,共有 36=729 种不同的映射. 设计意图: 通过两个简单的问题, 引导学生回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 提出问题 3:请同学们回忆推广的两个原理的内容,并回忆两个原理的区别与联系. 活动设计:教师提问,学生回答,请不同的同学加以补充. 活动成果: 1.分类加法计数原理:完成一件事,有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,…,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:完成一件事,需要 n 个不同的步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方 法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,…,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有 N=m1× m2×…×mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系: (1)相同点:都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题; (2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类 的方法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立, 用任何一类中的任何一种方法都可以单独 完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若 干步,各个步骤相互依存,只完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完 成后,才算完成这件事,是合作完成. 设计意图:检查学生对两个原理的掌握情况,为本节课的学习提供知识和方法基础. 典型示例 例 1 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试. 程序员需要知道到底有多少 条执行路径(即程序从开始到结束的路线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一 个程序模块由许多子模块组成,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问:这个程序模块 有多少条执行路径?另外为了减少测试时间, 程序员需要设法减少测试次数, 你能帮助程序 员设计一个测试方式,以减少测试次数吗? 思路分析:整个模块的任意一条路径都分两步完成:第 1 步是从开始执行到 A 点;第 2 步是从 A 点执行到结束.而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成;第二步可 由子模块 4 或子模块 5 来完成. 因此, 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计 数原理. 解:由分类加法计数原理,子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径条数共为 18+45+28=91; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径条数共为 38+43=81. 又由分步乘法计数原理,整个模块的执行路径条数共为 91× 81=7 371. 在实际测试中, 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱, 即通过只考察是否执行了正 确的子模块的方式来测试整个模块.这样,他可以先分别单独测试 5 个模块,以考察每个子 模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为 18+45+28+38+43=172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常,需要测试的次数为 3× 2=6. 如果每个子模块都正常工作, 并且各个子模块之间的信息交流也正常, 那么整个程序模 块就工作正常.这样,测试整个模块的次数就变为 172+6=178. 点评:通过这个例题,我们发现,先分类再分步计数,比先分步再分类计数,在技术次 数上要少很多. 例 2 随着人们生活水平的提高, 某城市家庭汽车拥有量迅速增长, 汽车牌照号码需要扩 容. 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法, 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英 文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母必须合成一组出现,3 个数字也必须合成 一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照? 思路分析:按照新规定,牌照可以分为两类,即字母组合在左和字母组合在右.确定一 个牌照的字母和数字可以分六个步骤. 解:将汽车牌照分为两类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右. 字母组合在左时,分六个步骤确定一个牌照的字母和数字: 第一步,从 26 个字母中选 1 个,放在首位,有 26 种选法; 第二步,从剩下的 25 个字母中选 1 个,放在第二位,有 25 种选法; 第三步,从剩下的 24 个字母中选 1 个,放在第三位,有 24 种选法; 第四步,从 10 个数字中选 1 个,放在第四位,有 10 种选法; 第五步,从剩下的 9 个数字中选 1 个,放在第五位,有 9 种选法

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