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第三章 常微分方程的边值和本征值问题


第三章 常微分方程的边值问题 和本征值问题
本章要研究的物理问题:薛定谔方程的定态解

本章内容
1

打靶法求边值问题
打靶法求本征值问题

2
3 4

一维薛定谔方程的定态解

3.1 打靶法求边值问题
考虑下面的边值问题

与常微分方程问题不同,边值问题的定解条件分散在两个 端点上,无法直接启动递推关系进行计算,因此需要一些 辅助的处理手段。

打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的

初始问题来处理,即考虑如下初始问题

这样对于给定的参数 δ ,我们就可以通过积分这个初始问
题得到 yδ (b) .

一般来说,由于可调参数 δ 的随意选择, yδ(b) 和 yb 很难相等。

打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ,使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等,从而达到数值求解边 值问题的目的. 问题转化为求下面方程的根

yδ (b) - yb =0
可以使用二分法、弦割法来解这个方程

例子
利用打靶法求解常微分方程边值问题

其中解析解为

对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来 考虑。

对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ,如何利
用打靶法来求解?
对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ,我们可以选择 y(0) 的 值为可调参数 δ ,即 y(0) = δ ,这样就构成了一个含参 数的初始问题,然后通过使用一个搜索算法去调整参数 δ , 使数值解在误差范围内等于 y(1) 。

3.2 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动,分离变量后,空间
部分满足的方程和边界条件可以写成

φ 是弦的横向位移, k 是波数 解析解为

相比边值问题,本征值问题多了一个待定参数 策略:我们先猜测一个试验本征值 k,同时任取一个非零数 δ , 把微分方程变化为一个初始值问题

然后从 x = 0 向前积分产生一个数值解。如果该数值解在 x
= 1 处的值与边条件 ?(1) = 0 在误差范围内不相等,就改 变试验本征值的值,再度积分。重复这个过程,直到最终 找到本征值和对应的本征函数。

注意:试验本征值 k 是一个可调参数,而参数 δ 只是一
个任意选定的辅助参数,它的任意性是由于解 的不唯一 性引起的,并不影响本征值的求解,一般来说它可以由本 征函数的归一化来确定。

问题转化为求下面方程的根

Φk (1)= 0

3.3 一维薛定谔方程的定态解
一维位势 V(x) 中一个质量为 m 的粒子的 量子力学定态

在 x = xmin 和 x = xmax 处两点位势变为无穷大,也就是说在这 两点上有刚壁,在 这两点之间则是一个势阱。

定解问题

其中

求使这个问题有非零解的能量本征值 E 及其相应的波函数

策略——双向直接积分方法
算法的思想为:由于我们要求的是一个束缚 态解,因此取 一个负的试验本征值,从 xmin 出发向前直接积分,可以产

生一个数值解 ?<。
它在经典禁戒的区域内按指数方式增长,并且越过左转折点

进入经典容许的区域,在经典容许的区域内振荡。
它如果 越过右转折点再继续积分下去,那么这个数值解将 变得不稳定。因为即使在一个精确的能量本征值上, 也可 能混入一个不想要的指数增长的成分,这将导致进入经典 禁戒区的积分很可能是不准确的。

因此比 较明智的做法是,在每一个试验本征值上,由 xmax

出发向后直接积分产生另一个数值解 ?>。 为了判断 这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一
个接合点 xm上比较 ?<和 ?>,其中接合点 xm要这样选择, 使得两个积分都是准确的。这里接合点 xm 的一个方便的选 择是左转折点或右转折点。

?<和 ?>的归一化总是可以这样选择,使得两个函数值在
xm 上相等。这时如果 它们的微商在 xm上也相等,那么就可 以断言这个试验本征值就是能量本征值.

数学表达式为

这里的

提供了一个方便的标尺


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