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河北省衡水中学10-11学年高二数学下学期期末考试 文【会员独享】

衡水中学 2010—2011 学年度第二学期期末考试 高二年级文科数学试卷
第 I 卷 选择题 (共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? x x ? ?1或x ? 1 , B ? x log2 x ? 0 , 则A ? B ? ( A. x x ? 1

?

?

?

?



?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? ?1 D. x x ? ?1或x ? 1

?

?

?

?


2. 已知向量 a =(3,4), b =(2,-1),如果向量 a ? xb 与 ? b 垂直,则 x 的值为( A. ?

2 5
? 3 2

B.

23 3

C.

3 23

D.2

3.已知 P ? 2

2 1 , Q ? ( )3 , R ? ( )3 ,则 P 、 Q 、 R 的大小关系是( 5 2
B. Q ? R ? P C. Q ? P ? R D. R ? Q ? P

)

A. P ? Q ? R

4. (原创) 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 ,an?1 ? 17, (n ? 2) ,S n ? 100, 则 n 的值为( A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 )

)

5.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是(

? x ? 3x ' ? (A. A)? 1 ' ?y ? y 2 ?

? x ' ? 3x ? B. ( B) ? ' 1 ?y ? y 2 ?

' ? ? x ? 3x (C )? C. ' ? ?y ? 2y

' ? ? x ? 3x (D )? ' D. ? ?y ? 2y

6.过点(1,-1)且与直线 3x ? 2 y ? 0 垂直的直线方程为( A. 3x ? 2 y ? 5 ? 0



B. 3x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 )

7. 下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( A. y ? sin( x ?

?
6

) )

B. y ? sin(2 x ? D. y ? cos(2 x ?

?
6

)

C. y ? cos(4 x ?

?
3

?

6

)

8,如图:样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,他们 的样本平均数分别为 x A 和 x B , 样本标准差分别为 sA 和

sB ,则(



A. x A ? x B , sA ? sB B.

x A ? x B , sA ? sB

C. x A ? x B , sA ? sB D. x A ? x B , sA ? sB 9.(原创)右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合 测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率是( A. )

2 5

B.

7 10

C.

4 5

D.

9 10

10.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示,则该几何体 的表面积和体积分别为(
4 A. 2 2? ? 2? ? 4和 ? 3 4 C. 2 2? 和 ? 3


4 B. 2 2? ? 2? 和 ? 3 8 D. 2 2? 和 ? 3

11. 若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 2 有两个交点, 则 k 的取 值范围是( A.[1,+∞) ) B. [-1,3 ) 4

C. (

3 ,1] 4

D.(-∞,-1]

12. (改编)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 的值为( A.0 ) B.1 C.-1

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2012) f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0 ?
D.2

第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2, 则
x y

1 1 ? 的最小值是 x 3y

.

14. ( 改编 ) 在区 间 [0, 2] 上 随机 取 一 个数 x , sin __________.

?x
2

的 值 介于 0 到

3 之 间 的 概率 为 2

15. 如 右 图 , 圆 锥 SO 中 , AB 、 CD 为 底 面 圆 的 两 条 直 径 ,

AB ? CD ? O ,且 AB ? CD , SO ? OB ? 2 , P 为 SB 的中点.
异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为 .

16. (原创)已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3, 4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在四边形 ABCD 的内部(包括边界) ,则 z=2x-5y 的取值范围是___________. 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17. 设 ?ABC 的内角A、B、C所对的边长分别为 a, b, c ,且 cos B ? (1)当 A ? 30 时,求 a 的值. (2)当 ?ABC 的面积为3时,求 a ? c 的值. 18. 为了让学生等多的了解“数学史”知识,某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹, 倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞 赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,请 你根据频率分布表解答下列问题: (1)填充频率分布表中的空格. (2)为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于 85 分的同学能获奖,请估计 在参加的 800 名学生中大概有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图,求输出的 S 的值.

4 ,b ? 2 。 5

19. 已 知 数列 ?an ? 为 等 差 数 列 , a3 ? 5 , a7 ? 13 , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 有

S n ? 2bn ? 1
(1)求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式. (2)若 cn ? an bn , ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

20、 过点 P ?

? 10 ? 2 2 ? 求 PM PN 最 ? 2 ,0 ? 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x ? 2 y ? 1 交于点 M , N , ? ?

小值及相应的 ? 值.

21、对于函数 y ? f (x ) ,若存在 x 0 ? R ,使得 f (x 0 ) ? x 0 成立,称 x 0 为不动点,已知函 数 f (x ) ? ax ? (b ? 1)x ? (b ? 1), (a ? 0)
2

(1) 当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 不动点. (2)若对任意的实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围.

22、如图所示,已知 AD 是 ?ABC 的外角 ?CAE 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC (1)求证: FB ? FC . (2)求证: FB ? FA ? FD .
2

(3)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径, ?EAC ? 120 ,BC=6cm,求 AD 的长.
0

答案 1-12AABCB 17、 DDBCA BC13、4 14、

2 3

15、 2

16、 【-14,20】

18、

19 、 解 : ( 1 ) 当 a ? 1, b ? ?2 时 , f (x ) ? x

2

?x ?3 , 令 x ? x 2 ? x ?3 , 解 之 得

x 1 ? ?1, x 2 ? 3
所以 f ( x ) 的不动点是-1,3 ( 2 )

f (x ) ? ax 2 ? (b ? 1)x ? (b ? 1) 恒 有 两 个 不 动 点 , 所 以

x ? ax 2 ? (b ? 1)x ? (b ? 1) ,
即 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有两个相异实根,得 ? ? b ? 4ab ? 4a ? 0 恒成立。于
2

是 ?' ? ?4a ? ? 16a ? 0 解得 0 ? a ? 1
2

所以a的取值范围为 0 ? a ? 1
10 ? ? x ? 2 ?t cos? 20、解:设直线方程为 ? y ?t sin ? ,将其代入 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,并整理得, ? ?

?1 ? sin ? ?t
2

2

? 10t cos ? ?

3 3 ? 0 ,则 PM PN ? t 1t 2 ? 2 2(1 ? sin 2 ? )
2

3 1 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 0 得 sin 2 ? ? 2 4 1 ? 5? 6 而当 sin ? ? (0 ? ? ? ? ) ,即 ? ? 或 时, PM PN 有最小值 2 6 6 5
又直线与曲线相交,则 ? ? 10 cos ? ? 4 ? 21、解: (1)∵ ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 5 , a7 ? 13 ,设公差为 d 。 ∴?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 , 解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 13
(n? N )
?

∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 在 ?bn ? 中,∵ S n ? 2bn ? 1

…2 分

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时,由 S n ? 2bn ? 1 及 S n?1 ? 2bn?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn?1 ,∴ bn ? 2bn?1
∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? 2 n?1 (n? N )
?

…4 分

(2) cn ? an bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1



2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

? 1? 2?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 (n? N )
?

22、解: (1)证明:∵AD 平分 ?AEC ,∴ ?EAD ? ?DAC , ∵ 四边形 AFBC 内接与圆,∴ ?EAD ? ?FAB ? ?FCB ∴ ?FBC ? ?FCB ∴ FB ? FC (2) ∵ ?FBC ? ?FAB ? ?FCB ?AFB ? ?BFD ∴ ?FBA 与 ?FDB ,

FB FA 2 ? ,∴ FB ? FA ? FD FD FB
0

(3) AB 是 ?ABC 外接圆的直径,∴ ?ACB ? 90
0 ∵ ?EAC ? 120 ,∴ ?DAC ?

1 ?EAC ? 60 0 , ?BAC ? 600 2

∴ ?D ? 30

0

∵ BC ? 6, AC ? 2 3 , AD ? 2AC ? 4 3