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广东省汕头市潮南区东山中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题Word版含答案

潮南区东山中学高二级数学期末测试题(理科)
(2012-2013 学年度第一学期 )
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2、点 A(2,1,-1)关于 x 轴对称的点的坐标为( ) A.(2,-1,1) B.(2,-1,-1) C.(2,-1,-1) D.(-2,1,-1)

4.如左下图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个

直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( )

A.3π

B.2π

C.4π

D. 3 ? 2

则 m 等于( )

A.4

B. 5

5.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1, 长轴在 y 轴上,若焦距为 4, 10 ? m m ? 2

C.7

D.

7.已知圆的方程 x2 ? y2 ? 25 ,过 M (?4,3) 作直线 MA, MB 与圆交于点 A, B ,且 MA ,MB

关于直线 y ? 3 对称,则直线 AB 的斜率等于( )

A. ? 3 4

B. ? 4 3

C. ? 5 4

D. ? 4 5

8.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为1,则二面角 A?CD ? B
的余弦值为( )

1 A. 2

1 B. 3

3 C. 3

2 D. 3 ks5u

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

11.若动点 P 在 y ? 2x 2 ? 1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是

.

13、若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)求满足下列条件的直线的方程:

(1)经过点 A(3,2),且与直线 4x+y-2=0 平行; (2)经过点 B(2,-3),且平行于过点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线; (3)经过点 C(3,0),且与直线 2x+y-5=0 垂直.
⒗(本小题满分 12 分)已知命题 p:曲线 y ? x 2 ? (2m ? 3)x ? 1与 x 轴相交于不同的两点; 命题 q : x2 ? y2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆.若“p 且 q” 是假命题,“p 或 q”是真命题,
m2 求 m 的取值范围.
17. (本小题满分 14 分)
已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形,AB // DC ,?DAB ? 90 ? , PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? AD ? DC ? 1 , AB ?1, M 是 PB 的中点。
2 (1)求异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (2)证明:面 PAD ?面 PCD;
&X&K]
18.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 3

(1)当 x ? (0, ? ) 时,求函数 f (x) 的值域; 2

(2)若 f (x) ? 28 ,且 x ? (? , 5? ) ,求 cos(2x ? ? ) 的值.

5

6 12

12

19.(本小题满分 14 分)
数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (1)求证数列?Sn ?为等比数列; (2)求数列?an? 的通项 an ; (3)求数列?nan?的前 n 项和Tn .
20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的 圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O.椭圆 x2 ? y 2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离
a2 9 之和为 10. (1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

潮南区东山中学高二级数学期末测试题答案(理科)

一.选择题
1-4 AACD 二.填空题

(2012-2013 学年度第一学期 )
5-8 DABC

9 ?x ? R, x 2 ? 2 ? 0

10. 17

11. y ? 4x 2

12. x 2 ? y 2 ? 1 3

13. 5 3
三.解答题
15.(本小题满分 12 分)

14. ?x ? 1?2 ? ?y ? 1?2 ? 13

解:(1)由直线 4x+y-2=0 得直线的斜率为-4,

(2 分)

所以经过点 A(3,2),且与直线 4x+y-2=0 平行的直线方程为

y-2=-4(x-3),即 4x+y-14=0.

(4 分)

(2)由已知,经过两点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线的斜率

k ? ?5?2 ? 7, ?1?1 2
所以,经过点 B(2,-3),且平行于 MN 的直线方程为

(6 分)

y ? 3 ? 7 (x ? 2) ,即 7x-2y-20=0. 2
(3)由直线 2x+y-5=0 得直线的斜率为-2,

(8 分) (9 分)

所以与直线 2x+y-5=0 垂直的直线的斜率为 1 . 2

(10 分)

所以,经过点 C(3,0),且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程为

y ? 1 (x ? 3) ,即 x-2y-3=0. 2
⒗(本小题满分 12 分)

解:命题 p 为真 ? ? ? (2m ? 3)2 ? 4 ? 0 ? m ? 1 或m ? 5

2

2

若命题 q 为真 ? m ? 2

?“p 且 q” 是假命题,“p 或 q”是真命题 ? p, q 一真一假

(12 分)
… 3分 … 5分
… 7分



p



q

假,则

??m ?

?

1 2

或m

?

5 2

??m ? 2

?m ? 1 2

… 9分



q



p

假,则

?1 ? ?2

?

m

?

5 2

??m ? 2

综上, m ? 1 或 2 ? m ? 5

2

2

17. (本小题满分 14 分)

?2 ? m ? 5 2

… 11 分 …12 分

(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1),DC ? (0,1,0),故AP? DC ? 0,所以AP ? DC.

由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD . 又 DC 在面 PCD上,故面 PAD ⊥面 PCD.

ks5u

(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0),PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2,| PB |? 5, AC ? PB ? 2,所以

cos ? AC, PB ?? AC ? PB ? 10 . | AC | ? | PB | 5

18.(本小题满分 14 分)

解:(1)由已知得 f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ? 4 6

当 x ? (0, ? ) 时, 2x ? ? ? (? , 7? ) , sin(2x ? ? ) ? (? 1 ,1]

2

6 66

62

所以函数 f (x) 的值域为 (3,6]

(2)由 f (x) ? 28 ,得 sin(2x ? ? ) ? 4

5

65

因为 x ? (? , 5? ) ,所以 cos(2x ? ? ) ? ? 3

6 12

65

所以 cos(2x ? ? ) ? cos[(2x ? ? ) ? ? ] ? 2

12

6 4 10

19.(本小题满分 14 分)

解:(1) an?1 ? 2Sn ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,………… 1 分,

…………3 分 …………5 分 …………6 分
…………8 分 …………10 分
…………12 分

? Sn?1 ? 3 .………… 2 分, Sn

又 S1 ? a1 ? 1 ,………… 3 分

?数列?Sn? 是首项为1,公比为 3 的等比数列 ………… 4 分

(2) 由(1)知 Sn ? 3n?1(n ? N* ) .………… 5 分,

当 n≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2 ? 3n?2 ,………… 6 分,

? a1 ? 1,不满足上式 ,

? 1, n ? 1 ? an ? ??2 ? 3n?2 , n ? 2 .

………… 7 分

(3)Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan ,

当 n ?1 时,T1 ? 1;

当 n≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n?2 , …………①

?3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n?1, ……………………② ………… 9 分,

① ? ② 得: ? 2Tn ? 2 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 ? 2(1? 31 ? 32 ? ? ? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1,

? 2 ? 1? 3n?1 ? 2n ? 3n?1, 1?3
? 3n?1 ?1 ? 2n ? 3n?1,

? (1? 2n) ? 3n?1 ?1.………… 12 分,

? Tn

? 1 ? (n ? 1) ? 3n?1(n ? 2).

2

2

…………

13

分,

又 T1 ? a1 ? 1也满足上式,

?Tn

?

1 2

? (n ?

1 ) ? 3n?1 (n ? N * ). ………… 2

14

分.

20. (本小题满分 14 分)

解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)

? m ? ?n,



?? ?

m ? 0, n ? 0

? ??

m?n 2

?2

2

解得

?m

? ?

n

? ?

?2 2

所求的圆的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

(2) 由已知可得 2a ?10 a ? 5 ,椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 ,右焦点为 F (4, 0) . 25 9

设存在点 Q(x,

y) ?C

满足条件,则

??( ?

x

??(x

? 2)2 ? 4)2

?(y ? y2

? 2)2 ? 16

?

8

解得 Q( 4 ,12) 55

故存在符合要求的点 Q( 4 ,12) . 55

ks5u