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2004高考全国卷3理科数学试题及答案(老课程卷内蒙海南西藏陕西广西等地区)


2004 年高考试题全国卷 3 理工类数学试题(人教版旧教材)
(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)
第 I 卷(A)
一、选择题: ⑴设集合 M ? ? ? x , y ? x 2 ? y 2 ? 1, x ? R , y ? R ? ,N ? ? ? x , y ? x 2 ? y ? 0, x ? R , y ? R ? , 则集合 M ? N 中元素的个数为( A.1 B.2 ⑵函数 y ? s in
?
2

) C.3 ) D.4

x 2

的最小正周期是(

A.

B. ?

C. 2 ?

D. 4 ?

⑶设数列 ? a n ? 是等差数列, a 2 ? ? 6, a 8 ? 6 ,Sn 是数列 ? a n ? 的前 n 项和,则( ) A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 )
3y ? 4 ? 0

D.S6=S5

⑷圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P 1, 3 处的切线方程是( A. x ?
3y ? 2 ? 0
2

?

?

B. x ?

3y ? 4 ? 0

C. x ?

D. x ?

3y ? 2 ? 0

⑸函数 y ?

lo g 1 ( x ? 1) 的定义域是(
2

) D.(-2,-1) ? (1,2)

A.[- 2 ,-1) ? (1, 2 ] ⑹设复数 z 的幅角的主值为 A. ? 2 ? 2 3i

B.(- 2 ,-1) ? (1, 2 ) C.[-2,-1) ? (1,2]
2? 3

,虚部为 3 ,则 z 2 ? ( C.
1 2

) D. 2 3 ? 2i )

B. ? 2 3 ? 2i

2 ? 2 3i

⑺设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ?

x ,则双曲线的离心率 e ? (

A. 5

B.

5

C. )

5 2

D.

5 4

⑻不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为( A. ? 0 , 2 ?

B. ? ? 2, 0 ? ? ? 2, 4 ?

C. ? ? 4, 0 ?

D. ? ? 4, ? 2 ? ? ? 0, 2 ?

⑼正三棱柱的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱柱的体积为( )

A.

2 3

2

B.

2

C.

2 3

D.

4 3

2

⑽在 ? A B C 中, A B ? 3, B C ? 13 , A C ? 4 ,则边 A C 上的高为( A.
3 2 2

) D. 3 3

B.
? ( x ? 1) ? ? 4? ?
2

3 2

3

C.

3 2

⑾设函数 f ( x ) ? ?

x ?1 x ?1

x ?1

,则使得 f(x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为( C.(-∞,-2] ? [1,10]

)

A.(-∞,-2] ? [0,10]

B.(-∞,-2] ? [0,1]

D.[-2,0] ? [1,10]

⑿4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方案共有( ) A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. ⒀用平面 ? 截半径为 R 的球,如果球心到截面的距离为 面积的比值为__________ ⒁函数 y ? sin x ?
王新敞
奎屯 新疆

R 2

,那么截得小圆的面积与球的表

3 co s x 在区间[ 0 ,

?
2

]的最小值为__________

王新敞
奎屯

新疆

⒂已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 时, f(x)=3x-1,设 f(x)的反函数是 y=g(x),则 g(-8)=___ ⒃设 P 为曲线 y2=4(x-1)上的一个动点,则点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的 最小值为_________
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ⒄(本小题满分 12 分)已知 ? 为锐角,且 tg ? =
1 2

王新敞
奎屯

新疆

,求

s in 2 ? c o s ? ? s in ? s in 2 ? c o s 2 ?

的值.

⒅(本小题满分 12 分)解方程 4x+|1-2x|=11.

⒆(本小题满分 12 分)某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形蔬菜温室.在温室内, 沿左、右两侧与后侧内墙各保留 lm 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地.当矩形温 室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

⒇(本小题满分 12 分)三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (1)求证 AB⊥BC ; (II)如果 AB=BC=2 3 ,求 AC 与侧面 PAC 所成角的大小.
P

A B

C

(21) (本小题满分 12 分)设椭圆

x

2

m ?1

? y

2

? 1 的两个焦点是 F1(-c,0), F2(c,0)(c>0),且椭圆上

存在点 P,使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直. (I)求实数 m 的取值范围. (II)设 l 是相应于焦点 F2 的准线,直线 PF2 与 l 相交于点 Q. 若 线 PF2 的方程.
| Q F2 | | P F2 | ? 2? 3 ,求直

(22)(本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an +(-1)n,n≥1. ⑴写出求数列{an}的前 3 项 a1,a2,a3; ⑵求数列{an}的通项公式; ⑶证明:对任意的整数 m>4,有
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am ? 7 8

.

2004 年高考试题全国卷 3 理工类数学试题(人教版旧教材)
(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)

参考答案
一、选择题: 1.B 6.A 7.C 12.C 二、填空题: 13、3:16 三、解答题: 17.解:∵ tg ? ?
1 2

2.C 8.D

3.B 9.C

4.D 10.B

5.A 11.C

14、1

.

15、-3

16、 5

, ? 为锐角 ∴ c o s ? ?

2 5



s in 2 ? c o s ? ? s in ? s in 2 ? c o s 2 ?

?

s in ? ( 2 c o s ? ? 1)
2

2 s in ? c o s ? c o s 2 ?

?

1 2 cos ?

?

5 4

.

18.解:当 x≤0 时, 有:4x+1-2x=11 化简得:(2x)2-2x-10=0 解之得: 2 ?
x

1? 2

41

或2 ?
x

1? 2

41

(舍去).

又∵x≤0 得 2x≤1, 故 2 ?
x

1? 2

41

不可能舍去.

当 x<0 时, 有:4x-1+2x=11 化简得:(2x)2+2x-12=0 解之得:2x=3 或 2x= -4(舍去) ∴2x=3 x=log23 综上可得原方程的解为 x=log23. 19.解:设温室的长为 xm,则宽为
S ? ( x ? 2 )( 800 x ? 808 ? 4( x ? 400 x 800 x ? 4) ? 800 ? 4 x ? 1600 x ) ? 6 4 8 (当且仅当 x ? 400 x ?8 m ,由已知得蔬菜的种植面积 S 为:

即 x=20 时,取“=”).

故:当温室的长为 20m, 宽为 40m 时,蔬菜的种植面积最大,最大面积为 648m2. 20.⑴证明:取 AC 中点 O, 连结 PO、BO. ∵PA=PC ∴PO⊥AC 又∵侧面 PAC⊥底面 ABC ∴PO⊥底面 ABC 又 PA=PB=PC ∴AO=BO=CO ∴△ABC 为直角三角形 ∴AB⊥BC
P

N A O M B C

⑵ 解 : 取 BC 的 中 点 为 M , 连 结 OM,PM , 所 以 有 OM= AO=
1 2 (2 3 ) ? (2
2

1 2

AB=

3 ,

3)

2

?

6

∴ PO ?

PA ? AO
2

2

?

3

由⑴有 PO⊥平面 ABC,OM⊥BC,由三垂线定理得 PM⊥BC ∴平面 POM⊥平面 PBC,又∵PO=OM= 3 . ∴△POM 是等腰直角三角形,取 PM 的中点 N,连结 ON, NC 则 ON⊥PM, 又∵平面 POM⊥平面 PBC, 且交线是 PM, ∴ON⊥平面 PBC ∴∠ONC 即为 AC 与平面 PBC 所成的角.
ON ? 1 2 PM ? 1 2
ON OC ? 1 2

(2 3 ) ? (2 3 )
2

2

?

6 2

,OC ?

6

∴ s in ? O N C ?

∴? ONC ?
?
6

?
6

.

故 AC 与平面 PBC 所成的角为

.

21.解:⑴∵直线 PF1⊥直线 PF2 ∴以 O 为圆心以 c 为半径的圆:x2+y2=c2 与椭圆:

? x ? y ? c ? 2 ? y ? 1 有交点.即 ? x 2 有解 2 m ?1 ? y ?1 ? ?m ?1
2 2 2

x

2

又∵c2=a2-b2=m+1-1=m>0 ∴0 ? x ?
2

m ?1
2

? a

2

? m ?1

∴m ? 1

m

⑵设 P(x,y), 直线 PF2 方程为:y=k(x-c) ∵直线 l 的方程为: x ?
a
2

?

m ?1 m

c
m ?1 m k m

∴点 Q 的坐标为(

,

)
???? ?



| Q F2 | | P F2 |

? 2?

3

∴点 P 分有向线段 Q F 2 所成比为 3 ?

3

∵F2( m ,0),Q (

m ?1 m

,

k m

) ∴P(

(4 ? (4 ?

3 )m ? 1 3) m

,

k (4 ? 3) m

)

(

(4 ? (4 ?

3 )m ? 1 3) m ?1 m

)

2

∵点 P 在椭圆上 ∴

?(

k (4 ? 3) m

) ?1
2

∴k ? ?

(1 1 ? 6 3 ) m ? 1 m ?1 (1 1 ? 6 3 )m ? 1

直线 PF2 的方程为:y= ?

m ?1

(x- m ).

22.解:⑴当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1; 当 n=2 时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2 ? a2=0; 当 n=3 时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 ? a3=2; 综上可知 a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: a n ? S n ? S n ?1 ? 2 a n ? ( ? 1) n ? 2 a n ? 1 ? ( ? 1) n ?1 化简得: a n ? 2 a n ? 1 ? 2( ? 1) n ?1

上式可化为: a n ? 故数列{ a n ? 故 an ?
2 3

2 3
n

( ? 1) ? 2[ a n ? 1 ?
n

2 3
1

( ? 1)

n ?1

]

2 3
n

( ? 1) }是以 a 1 ?
1 3 2
n ?1

2 3

( ? 1) 为首项, 公比为 2 的等比数列.
1 3
n?2

( ? 1) ?

∴an ?
2 3 [2

?2

n ?1

?

2 3

( ? 1) ?
n

2 3

[2

n?2

? ( ? 1) ]
n

数列{ a n }的通项公式为: a n ? ⑶由已知得:
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am

? ( ? 1) ] .
n

?

3

2 2 ?1
2

[

1

?

1 2 ?1
3

?? ? 2

1
m?2

? ( ? 1)

m

]

?

3 1 1 1 1 1 1 [ ? ? ? ? ? ? ? m?2 ] m 2 3 9 15 33 63 2 ? ( ? 1)

? ?

1 2 1 2

[1 ? [1 ?

1 3 1 3

? ?

1 5 1 5

? ?

1 11 1 10

? ?

1 21 1 20

??] ??]

1 1 (1 ? m ? 5 ) 1 4 2 2 1 1 4 5 2 ? [ ? ] ? [ ? ? ? m ?5 ] 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2
? 13 15 ? 1 1 m ?5 13 104 105 7 ?( ) ? ? ? ? . 5 2 15 120 120 8



1 a4

?

1 a5

?? ?

1 am

?

7 8

( m>4).


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