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宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试 数学(理)

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宁夏银川一中 2012 届高三第一次模拟考试

理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷
理科数学试卷 第 1 页(共 6 页) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1. 设集合U ? {1,2,3,4} , M ? {x | x ? 5x ? p ? 0} ,若 CU M ? {2,3} ,则实数 p 的值为

A. ? 6 2.若复数

B. ? 4

C. 4

D. 6

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

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A. ? 6 B. ? 2

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C. 4 D. 6

3.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为 A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

? 1 ?x 2 , x ? 0 4.已知函数 f ( x) ? ? , 则 f [ f (?4)] ? 1 x ?( ) , x ? 0 ? 2
A. ? 4 B. ?

1 4

C. 4

D. 6 开始

5.下列命题错误的是 A. 命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”
2 2

的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为

输入 m,n

0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 ”;
2 B. 若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,

求 m 除以 n 的余数 r

n=r m=n

则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ; C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的 充要条件; D. 若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的夹角为钝角. 6. 执行右面的程序框图,如果输入 m ? 72, n ? 30 , 则输出的 n 是 A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 结束 r=0? 是 输出 n 否

7. 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A ? “第一次取到的是奇数” , B ? “第二 次取到的是奇数” ,则 P( B | A) ? A.
1 5

B.

3 10

C.

2 5

D.

1 2

8. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |? 象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点 A. 向右平移 C. 向左平移

?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ?x 的图

? ? 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 12 6 ? ?
6
个单位长度 D. 向左平移

12

个单位长度

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?
4 ], 则点 P 到

9. 曲线 y ? x 2 ? bx ? c 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0, 该曲线对称轴距离的取值范围为 A. [0,1] B. [ 0, ]

1 2

C. [0,

|b| ] 2

D. [0,

| b ?1| ] 2

10. 若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0,(a ? R) 与圆

C2 : x2 ? y2 ? 2by ?1 ? b2 ? 0,(b ? R) 外切,则 a ? b 的最大值为
A. ? 3 2 B. ? 3 C. 3 D. 3 2 11. 若不重合的四点 P, A, B, C , 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,AB ? AC ? mAP , 则实数 m 的 值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 2 ,且 f (? x) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 那么在区间 [?3,4] 上,函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? ( ) 的图像的交点个数是 A. 8 B. 7 C. 6

1 | x| 2 D. 5

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

x2 y2 2 13.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲 a b
理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) |? 5 ,则双曲线方程为 线的一个交点为 P ,若 | PF 14.设等比数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ,已知 a1 ? 2011, 且 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0(n ? N ? ) ,则 S 2012 ? . .

? y?x ? 15.已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y ? x?a ?
的最大值为 .

16. 一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是 .

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是底部 B 不可到达的一个塔型建筑物, A 为塔的最高点.现需在对岸测出
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塔高 AB ,甲、乙两同学各提出了一种测量方法,甲同学的方法是:选与塔底 B 在同一水 平面内的一条基线 CD ,使 C, D, B 三点不在同一 条直线上,测出 ?DCB 及 ?CDB 的大小(分别 用 ? , ? 表示测得的数据)以及 C , D 间的距离(用 ,另外需在点 C 测得塔顶 A 的 s 表示测得的数据) 仰角(用 ? 表示测量的数据) ,就可以求得塔高

AB .乙同学的方法是:选一条水平基线 EF ,使

E, F , B 三点在同一条直线上.在 E , F 处分别测得
塔顶 A 的仰角(分别用 ? , ? 表示测得的数据)以 及 E , F 间的距离(用 s 表示测得的数据) ,就可以求得塔高 AB . 请从甲或乙的想法中选出一种测量方法,写出你的选择并按如下要求完成测量计算: ①画出测量示意图;②用所叙述的相应字母表示测量数据,画图时 C, D, B 按顺时针方向标 注, E,F 按从左到右的方向标注;③求塔高 AB .

18. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 DCBE 为直角梯形, ?DCB ? 90 ,
?

D

E

DE // CB , DE ? 1, BC ? 2 ,又 AC ? 1 , ?ACB ? 120? ,
CD ? AB ,直线 AE 与直线 CD 所成角为 60? . (Ⅰ)求证:平面 ACD ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 BE 与平面 ACE 所成角的正弦值.
19. (本小题满分 12 分) 根据市场分析, X 1 的分布列为: X1 P 12
1 6
A

C

B

现有 A, B 两个项目, 投资 A 项目 100 万元, 一年后获得的利润为随机变量 X 1(万元) ,

11.8
1 2

11.7
1 3

投资 B 项目 100 万元, 一年后获得的利润 X 2 (万元)与 B 项目产品价格的调整(价格上调 或下调)有关, 已知 B 项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,且在每次调整中价格下 调的概率都是 p(0 ? p ? 1) . 经专家测算评估 B 项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表:

B 项目产品价格一年内下调次数 X (次)
投资 100 万元一年后获得的利润 X 2 (万元) (Ⅰ)求 X 1 的方差 D( X 1 ) ; (Ⅱ)求 X 2 的分布列;
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0 13

1 12.5

2 2

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2

(Ⅲ)若 p ? 0.3 ,根据投资获得利润的差异,你愿意选择投资哪个项目? (参考数据: 1.2 ? 0.49 ? 0.7 ? 0.42 ? 9.8 ? 0.09 ? 9.555) . 20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 的右顶点是 A , 上下两个顶点分别为 B, D , 四边形 OANB 是 y 4 3 矩形( O 为原点) ,点 E , M 分别为线段 OA, AN 的中点. N B
如图椭圆 C : (Ⅰ)证明:直线 DE 与直线 BM 的交点 在椭圆 C 上; (Ⅱ)若过点 E 的直线交椭圆于 R, S 两点, K 为 R 关于 x 轴的对称点( R, K , E 不共线) , 问:直线 KS 是否经过 x 轴上一定点,如果是, 求这个定点的坐标,如果不是,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)
x 理科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 设函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ae? ? a, a ? R .

M O E A x

D

(Ⅰ)当 a ? 1 时,证明 f ( x) 在 (0,??) 是增函数; (Ⅱ)若 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上.
(Ⅰ)若

F A

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

(Ⅱ)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

D

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

C E ? x ? a cos ? 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) , ? y ? b sin ?

在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点 的圆.已知曲线 C1 上的点 M (1,

? ? 3 ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 3 3 2

D(1, ) . 3
(I)求曲线 C1 , C 2 的方程; (II)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?
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?

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1的解集是 M , a, b ? M . (I)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小;
2 2 ? 2 ? ? 2 a ?b (II)设 max 表示数集 A 的最大数. h ? max? , , ? ,求证: h ? 2 . ? ab b ? ? a

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宁夏银川一中 2012 届高三第一次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 A B D C C 答案 C A D A B D B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

y2 ? 1 .14. 0 .15. 6 .16. 16? . 13. x ? 3
2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 解:选甲:示意图 1

图1

----------4 分

BC CD ? 在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .由正弦定理得 . sin ?BDC sin ?CBD
所以 BC ?

CD sin ?BDC s · sin ? ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s ? tan? sin ? .---------12 分 sin(? ? ? )

在 Rt ?ABC 中, AB ? BC tan?ACB ? 选乙:图 2

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图 2----------4 分 在 ?AEF 中, ?EAF ? ? ? ? ,由正弦定理得 所以 AF ?

EF AF ? , sin(? ? ? ) sin ?

EF ? sin ? s ? sin ? ? . sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) s ? sin ? ? sin ? .---------12 分 sin(? ? ? )

在 Rt ?ABF 中, AB ? AF ? sin ? ? 18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)∵ CD ? AB , CD ? CB , AB ? BC ? B , ∴ CD ? 平面 ABC , 又∵ CD ? 平面 ACD , ∴平面 ACD ? 平面 ABC .---------4 分 (Ⅱ) 在平面 ACB 内, 过 C 作 CF ? CB , 以 C 为原点, 以 CF , CB, CD 所在射线为 x, y , z 的正半轴建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图) . 由题意,设 CD ? a (a ? 0) ,
D z E

则 D(0,0, a), E (0,1, a), B(0,2,0) , A(

3 1 ,? ,0) , 2 2
C F x B y

AE ? (?


3 3 , , a) , CD ? (0,0, a) , ---------6 2 2
A
?

由直线 AE 与直线 CD 所成角为 60 ,得

AE ? CD ?| AE || CD | cos60? ,即 a 2 ?
∴ CE ? (0,1,1) , CA ? (
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a a 2 ? 3 ,解得 a ? 1 . 2

3 1 ,? ,0) , BE ? (0,?1,1) , 2 2

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? ?n ? CA ? 0 , ? n ? CE ? 0 ?

设平面 ACE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?
? 3 ? ? 1

? 即 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,取 x ? 3, 则 y ? 3, z ? ?3 ,得 n ? ( 3 ,3,?3) , y?z ? 0

设 BE 与平面 ACE 所成角为 ? ,则 sin? ?
42 .---------12 分 7

| BE ? n | | BE | | n |

?

42 ,于是 BE 与平面 ACE 所成角 7

的正弦值为

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ) X 1 的概率分布为

X1
P
则 E ( X 1 ) ? 12 ?

12

11.8

11.7

1 6

1 2

1 3

1 1 1 ? 11.8 ? ? 11.7 ? ? 11.8 . 6 2 3

D( X 1 ) ? (12 ? 11.8) 2 ?
---------4 分

1 1 1 ? (11.8 ? 11.8) 2 ? ? (11.7 ? 11.8) 2 ? ? 0.01 . 6 2 3

(Ⅱ)解法 1: 由题设得 X ~ B(2, p) ,则 X 的概率分布为

X
P
故 X 2 的概率分布为

0

1

2

(1 ? p)2

2 p(1 ? p)

p2

X2
P

13

12.5

2

(1 ? p)2

2 p(1 ? p)

p2
---------8 分

解法 2: 设 Ai 表示事件”第 i 次调整,价格下调”( i ? 1,2) ,则

P( X ? 0) = P( A1 )P( A2 ) ? (1 ? p)2 ; P( X ? 1) = P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? 2 p(1 ? p) ; P( X ? 2) = P( A1 ) P( A2 ) ? p2
故 X 2 的概率分布为

X2
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13

12.5

2

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P

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2 p(1 ? p)

(1 ? p)2

p2

(Ⅲ)当 p ? 0.3 时. E ( X 2 ) ? E ( X 1 ) ? 11.8 , 由于 D( X 1 ) ? 0.01.

D( X 2 ) ? 9.555.

所以 D( X 2 ) ? D( X 1 ) ,当投资两个项目的利润均值相同的情况下 ,投资 B 项目的风险高于

A 项目.从获得稳定收益考虑, 当 p ? 0.3 时应投资 A 项目. ---------12 分
20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得 A(2,0), B(0, 3 ), D(0,? 3 ), E (1,0), M (2, 所以直线 DE 的方程 y ? 3x ? 3 ,直线 BM 的方程为 y ? ?

3 ), 2 3 x ? 3 ,------2 分 4

8 ? ? y ? 3x ? 3 x? ? ? ? 5 , 由? ,得 ? 3 3 y?? x? 3 ?y ? 3 ? 4 ? ? 5 ?
所以直线 DE 与直线 BM 的交点坐标为 ( ,

8 3 3 ) ,---------------4 分 5 5

8 3 3 2 ( )2 ( ) x2 y2 8 3 3 5 5 ? ? 1 ,所以点 ( , ? ? 1 上.---------6 分 因为 ) 在椭圆 C : 4 3 4 3 5 5
(2)设 RS 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 C : 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1, 4 3

设 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y 2 ) ,则 K ( x1 ,? y1 ) ,

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
直线 SK 的方程为 y ? y 2 ? 令 y ? 0, 得 x ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ) , x2 ? x1

y1 x2 ? y 2 x1 , y 2 ? y1

将 y1 ? k ( x1 ? 1) , y 2 ? k ( x2 ? 1) 代入上式得 (9 设 x ?

2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4, x1 ? x2 ? 2

所以直线 SK 经过 x 轴上的点 ( 4,0) .---------12 分
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21. (本小题满分 12 分)

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解: (1) f ' ( x) ?

1 a e x ? a(1 ? x) , ? ? 1? x ex e x (1 ? x) e x ? (1 ? x) , e x (1 ? x)
---------2 分

当 a ? 1 时, f ' ( x ) ?

令 g ( x) ? e x ? 1 ? x ,则 g ' ( x) ? e x ? 1 , 当 x ? (0,??) 时, g ' ( x) ? e x ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,??) 为增函数, 因此 x ? (0,??) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 x ? (0,??) 时, f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 (0,??) 是增函数. ---------6 分 (2)由 f ' ( x) ?

e x ? a(1 ? x) , e x (1 ? x)

由(1)知, e x ? 1 ? x, 当且仅当 x ? 0 等号成立. 故 f ( x) ?
'

1 ? x ? a(1 ? x) (1 ? a)(1 ? x) , ? e x (1 ? x) e x (1 ? x)

从而当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, 对 x ? [0,??) , f ' ( x) ? 0 , 于是对 ?x ? [0,??) f ( x) ? f (0) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0), 得 e ? x ? 1 ? x( x ? 0) , 从而当 a ? 1 时,

f ' ( x) ?

e x ? a ? ae? x ? a e 2 x ? 2ae x ? a ? e x (1 ? x) e 2 x (1 ? x)

(e x ? a ? a 2 ? a )(e x ? a ? a 2 ? a ) ? e 2 x (1 ? x)
故当 x ? (0, ln(a ? a 2 ? a )) 时,

f ' ( x) ? 0 ,

于是当 x ? (0, ln(a ? a 2 ? a )) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 , 综上, a 的取值范围是 (??,1] .---------12 分

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲.
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F A

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D

B

E

C

证明: (1)? A, B, C , D 四点共圆,

? ?EDC ? ?EBF ,
又? ?CED ? ?AEB , ∽ ?A E B , ? ?C E D

?

EC ED DC ? ? , EA EB AB

? ?
(2)? EF

EC 1 ED 1 ? , ? , EB 3 EA 2

DC 6 . ? AB 6
2

? FA ? FB ,

?

EF FB ? , FA FE

又? ?E F A? ?B F E , , ? ?F A E∽ ?F E B

? ?F E A? ?E B F,
又? A, B, C , D 四点共圆,

? ?EDC ? ?EBF , ? ?FEA ? ?EDC ,
? EF // CD .
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

? ? 1 ? a cos ? ? 3 ? x ? a cos ? ? 3 , 解: (I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 ? y ? b sin ? 3 2 ? ? ? b sin ? 3 ? 2

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即?

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?a ? 2 , ?b ? 1 ? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1. ( ? 为参数) ,或 4 y ? sin ? ?

所以曲线 C1 的方程为 ?

设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ). 将点 D(1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? ,

得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D(1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1. (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ? 所以

?
2

) 在在曲线 C1 上,
2 ?2 sin 2 ? 2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

?12 c o 2s?
4

2 ? ?12 s i n ? ?1,

4

所以

1

?12

?

1
2 ?2

?(

2 c o 2s? sin ? 5 2 ?s i n ?) ? ( ? c o 2s? ) ? . 4 4 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 解:由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (I) 由 a, b ? M ,得 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. (II)由 h ? max? 所以 h ?
3

? 2 ? a
2 a ?

,

a2 ? b2 ab
ab ?

,

2 b
2 b

} ,得 h ?
?

2 a

,h?

a2 ? b2 ab

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