广东省湛江一中2014届高三第一次综合检测数学(文)试卷

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色笔将自己的姓名、班级、学号、清楚填写在答题卷的密封 线内，座位号填写在试卷右上角的座位号栏内。 2．每小题选出答案后，填写在试卷的答题栏内，在试题上作答无效。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1．复数 z ? a ? ?1? a?i (a ? R) 是纯虚数，则 z2 的值为( )

A．0

B． ?1

C． i

D． ?i

2.命题“ ?x ? R ， x2 ? 2x ?1 ? 0 ”的否定是

（）

A． ?x ? R ， x2 ? 2x ?1 ? 0

B． ?x ? R ， x2 ? 2x ?1 ? 0

C． ?x ? R ， x2 ? 2x ?1 ? 0

D． ?x ? R ， x2 ? 2x ?1 ? 0

3.若 a ? ?1, 2?,b ? ??3, m?, a ? b, ，则 m ? ( )

A． 3 2

B． ? 3 2

C． 6 D． ?6

4.已知? ? R ，则“? ? ? ”是“ cos? ? 1 ”的（ ）

3

2

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

?2x ? y ? 4,

5.设

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

1,

则z?x?y （ ）

??x ? 2 y ? 2,

A．有最小值 2，最大值 3 C．有最大值 3，无最小值

B．有最小值 2，无最大值 D．既无最小值，也无最大值

6．记等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ，已知 S7 ? 28 ， S8 ? 36 ，则 S15 ? ( )

A．210

B．120

C．64

D．56

7．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形，且其体积为 ? . 则该几何 4

体的俯视图可以是( )

第 7 题图
8.已知函数 y ? Asin(? x ? ?) ? m 的最大值是 4 ，最小值是 0 ，最小正周期是 ? ，直线 2

x ? ? 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（

）

3

A. y ? 4sin(4x ? ? ) 6

B. y ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 3

C. y ? 2sin(4x ? ? ) ? 2 3

D. y ? 2sin(4x ? ? ) ? 2 6

9．若 m, n 是两条不同的直线，? , ? ,? 是三个不同的平面，给出下列命题：

①若 m ? ? , n //? ,则m ? n ； ②若? ? ? , ? ? ? ,则? // ? ；

③若 m //? , n //? ,则m // n ； ④若? / /? , ? / /? , m ? ? ，则 m ? ?

其中正确命题的个数为

A．1 B．2

C．3

D．4

()

?| lg x |,0 ? x ? 10

10.已知函数f

(x)

?

? ????

1 2

x

?

6,

x

?

10

,

若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），

则 abc 的取值范围是（ ）

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20, 24)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题：本大题共 5 小题，只做 4 小题。其中第 11－13 题为必做题，第 14、15 题为选

做题，只能做其中的一题，做两题的，按第一题记分。每小题 5 分，满分 20 分

(一)必做题：

11.函数 f ? x? ? lg ?4 ? x? 的定义域为____________.
x?3

12. 幂函数 y ? (m2 ? m ? 1)xm2 ?2m?3 ，当 x∈(0,+ ∞) 时为减函数，则实数 m 的值是

__________ 13.给出下列四个命题：

①函数

有最小值 2；

②函数

的图象关于点

对称；

③若“p 且 q”为假命题，则 p、q 为假命题；

④已知定义在 R 上的可导函数 y＝f（x）满足：对

都有 f（－x）＝－f（x）成

立，若当 x＞0 时，

f '(x) ＞0，则当 x＜0 时， f '(x) ＞0.

其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿ (二)选做题：只能做其中的一题，做两题的，按第一题记分

14．(坐标系与参数方程选做题)若

P(2,

?1)

为曲线

?x

? ?

y

? 1? 5cos? ? 5sin?

(?

为参数且 0

??

?

2π

)

的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为

.

A

15．(几何证明选讲选做题)如图，在 ?ABC 中， DE ∥ BC ，
DF ∥ AC ， AE ︰ AC ＝ 3 ︰ 5 ， DE ? 6 ，则 BF ＝____.
三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.

D

E

BF

C

第 15 题图

16．（本小题满分 12 分） 已知 tan? ? 2

(1)求

tan(? 4

??

)

的值；

(2)求 cos 2? 的值

17．（本小题满分 12 分）某制造商 11 月生产了一批乒乓球,随机抽样 100 个进行检查，测得

每个球的直径(单位 mm ,保留两位小数)，将数据分组如下表

分组

频数

[39?95?39?97) 10

[39?97?39?99) 20

[39?99? 40?01) 50

[40?01? 40?03] 20

合计

100

（1）请

在上表中补充完成频率分布表, 并在右图中画出频率分布直方图;

（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为 40 mm ，试求这批球的直径误差

不超过 0.03 mm 的概率；

（3）统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39?99? 40?01) 的中点值是

40.00）作为代表. 据此,估计这批乒乓球直径的平均值.

18.( 本小题满分 14 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x) ， n ? (1, 2 cos x) ，设函数

f (x) ? m ? n ， x ? R .（1）求 f (x) 的最小正周期与最大值；（2）在 ?ABC 中， a,b, c

分别是角 A, B,C 的对边，若 f ( A) ? 4,b ? 1, ?ABC 的面积为 3 ，求 a 的值. 2

19.（本小题满分 14 分）如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB=10,BC=6，将矩形沿对角线

BD 把△ABD 折起，使 A 移到 A1 点，且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上。

(1)求证：BC⊥A1D; (2)求证：平面 A1BC⊥平面 A1BD;

A1

(3)求三棱锥 A1-BCD 的体积。

D

C

A

B

2O.（本小题满分 14 分）已知函 f (x) ? ex ? (cos x ? sin x) ,将满足 f ?(x) ? 0 的所有正数 x 从 小到大排成数列{xn} ,记 an ? f (xn ) (n ? N? ) , bn ? ln ? an ? .
（1）证明数列{an}为等比数列; （2）求数列{bn}的前 n 项的和; （3）若 cn ? 2n?1 ? bn ，求数列{cn}的前 n 项的和.

21．（本小题满分 14 分）(本小题满分 14 分)设函数 f (x) ? a ln x ? bx2 .

（1）若函数 f (x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 1 相切， 2

①求实数 a ， b 的值；

②求函数 f (x) 在[1 , e] 上的最大值； e

? （2）当 b

? 0 时，若不等式

f

(x)

?

m?

x 对所有的 a ?[0, 3]， x ? 2

1, e2 ??

都成立，求实

数 m 的取值范围

2014 届湛江一中高三月考文科数学参考答案
一、本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B D D B C
二、填空题(本大题共 5 小题，只做 4 小题。满分 20 分)
11． ?? ?,3) ? (3,4) 12．2 13．①②④ 14． x ? y ? 3 ? 0 15．4
三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. 解 : （1）频率分布表如下……（3 分 ）

分组

频数 频率 频率

组距

[39?95?39?97) 10 0.10 5

[39?97?39?99) 20 0.20 10

[39?99? 40?01) 50 0.50 25

[40?01? 40?03] 20 0.20 10

合计

100 1

频率分布直方图如图

………………6 分

（2）误差不超过 0.03mm ，即直径落在[39?97? 40?03] 范围内的概率为

0?2 ? 0?5 ? 0?2 ? 0?9
（3）整体数据的平均值约为

……………9 分

39?96? 0?10 ? 39?98? 0?20 ? 40?00? 0?50 ? 40?02? 0.20 ? 40.00 ( mm ) ………12 分
注：频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布图方便

(2)由 f ( A) ? 4 得， 2 sin(2A ? ? ) ? 3 ? 4 ，即 sin(2A ? ? ) ? 1 ，

6

62

∵ 0 ? A ? ? , ∴ 2A ? ? ? 5? ，
66

∴ A?? 3

…………………10 分

又 1 bc sin A ? 3 , 即 3 c ? 3 ,

2

2

42

∴ c?2

…………………12 分

由余弦定理得， a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? 1 ? 3 2

∴ a? 3

…………………………14 分

19.（本小题满分 14 分）

（1）?BC⊥CD,BC⊥A1O,?BC⊥平面 A1CD, …（2 分）

又 A1D ? 平面 A1CD,? BC⊥A1D; …（4 分）

(2)? A1D⊥ A1B, A1D⊥BC, ? A1D⊥平面 A1BC, …（6 分）

又 A1D ? 平面 A1BD,?平面 A1BC⊥平面 A1BD; …（8 分）

(3)由（1）可知：BC⊥平面 A1CD，?BC⊥A1C, ?△A1CB 为直角三角形。…（10 分）

?BC=6, A1B=AB=10,?

A1C=8, ?

S ?A1BC

=

1 2

×6×8=24,

…（12 分）

V ? A1?BCD

? VD? A1BC

?

1 3

?

S ?A1BC

? DA ?

1 ? 24 ? 6 ? 48 …（14 分） 3

（2）由（1）知 an ? ?e? (?e? )n?1 ? (?e)n?

所以 bn ? ln | an |? n? ,所以{cn}是以? 为首项,? 为公差等差数列,

………8 分

b1 ? b2 ?

? bn

?

n??

?

n(n ?1) 2

??

?

n(n ?1) ? 2

………10 分

（3） cn ? 2n?1 ? bn ? n ? 2n?1 ?? ,记数列{2n?1 ? bn} 的前 n 项的和为 Sn ,则

Sn ? ? ? 2 ? 2? ? 3? 22? ? ? (n ?1) ? 2n?2? ? n ? 2n?1? ,

…………11 分

2Sn ? 2? ? 2 ? 22? ? 3? 23? ? ? (n ?1) ? 2n?1? ? n ? 2n?

两式相减得 ?Sn ? ? ? 2? ? 22? ?

? 2n?1? ? n ? 2n? ? ? (1? 2n ) ? n ? 2n? 1? 2

………13 分

所以 Sn ? (n ? 2n ? 2n ?1)? .

……14 分

21．(本小题满分 14 分)

f '(x) ? a ? 2bx

解：（1）①

x

∵函数

f

(x)

在

x

? 1 处与直线

y

?

?

1 2

?

?? ?

相切 ??

f f

'(1) ? a ? 2b ? (1) ? ?b ? ? 1
2

0 ,
解得

??a ??? b

?1 ?1
2

……3

分

f (x) ? ln x ? 1 x2, f '(x) ? 1 ? x ? 1? x2

②

2

x

x

当

1 e

?

x

?

e
时，令

f

'( x)

?

0

得

1 e

?

x

?1
；

令 f '(x) ? 0 ，得1 ? x ? e ? f (x)在???1e ,1??? 上单调递增，在[1，e]上单调递减，

?

f

( x)max

?

f

(1) ? ? 1 2

…………8 分