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2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.2第2课时二倍角的三角函数的应用学案苏教版必修4

309 教育网 www.309edu.com 第 2 课时 二倍角的三角函数的应用 学习目标 1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即 降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换. 知识点 降幂公式 思考 如何用 cosα 表示 sin2α2 ,cos2α2 ? 答案 ∵cosα =2cos2α2 -1=1-2sin2α2 , ∴sin2α2 =1-c2osα ,cos2α2 =1+c2osα . 梳理 降幂公式 (1)sin2α2 =1-c2osα . (2)cos2α2 =1+c2osα . (3)tan2α2 =11- +ccoossαα . 类型一 化简求值 例 1 (1)化简 cos2(θ +15°)+cos2(θ -15°)- 23cos2θ ; (2)已知 π <α <32π ,化简: 1+sinα + 1-sinα . 1+cosα - 1-cosα 1+cosα + 1-cosα 解 (1)cos2(θ +15°)+cos2(θ -15°)- 3 2 cos2θ =1+cos[2?2θ +15°?]+1+cos[2?2θ -15°?]- 3 2 cos2θ 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com =1+12[cos(2θ +30°)+cos(2θ -30°)]- 23cos2θ =1+12(cos2θ cos30°-sin2θ sin30°+cos2θ cos30°+sin2θ sin30°)- 23cos2θ =1+12×2cos2θ cos30°- 23cos2θ =1+ 23cos2θ - 23cos2θ =1. (2)∵π <α <32π ,∴π2 <α2 <34π , 原式= ???sin α 2 +cos α 2 ???2 + ???sin α 2 -cos α 2 ???2 - 2cos α 2 - 2sin α 2 - 2cos α 2 + 2sin α 2 =- 22???sin α 2 +cos α 2 ???+ 22???sin α 2 -cos α 2 ??? =- 2cosα2 . 跟踪训练 1 (1)化简 sin2(θ +15°)+sin2(θ -15°)+ 3 2 cos2θ ; (2)求证:tan2x+ta1n2x=2?13-+ccooss44xx?. (1)解 原式=1-cos?2θ2 +30°?+1-cos?2θ2 -30°?+ 23cos2θ =1-12[cos(2θ +30°)+cos(2θ -30°)]+ 23cos2θ 1 3 =1-2(2cos2θ cos30°)+ 2 cos2θ 3 3 =1- 2 cos2θ + 2 cos2θ =1. sin2x cos2x (2)证明 ∵左边=cos2x+sin2x =sisni4nx2+xccooss2x4x=?sin2x+csoisn2x2x?2c-os22sxin2xcos2x 1-2sin2xcos2x 1-12sin22x = sin2xcos2x = 14sin22x 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 1 1-cos4x 1-2· 2 = 18?1-cos4x? =2?13-+ccooss44xx?=右边, ∴等式成立. 类型二 与三角函数性质有关的问题 例 2 已知函数 f(x)= 3sin???2x-π6 ???+2sin2???x-π12??? (x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 解 (1)∵f(x)= 3sin???2x-π6 ???+2sin2???x-π12??? = 3sin???2???x-π12??????+1-cos???2???x-π12?????? =2??? ?? 3 2 sin ???2???x-1π2??????-12cos ???2???x-π12???????????+1 =2sin???2???x-π12???-π6 ???+1 =2sin???2x-π3 ???+1,∴T=22π =π . (2)当 f(x)取得最大值时,sin???2x-π3 ???=1, 有 2x-π3 =2kπ +π2 (k∈Z),即 x=kπ +51π2 (k∈Z), ∴所求 x 的集合为?????x???x=kπ +51π2 ,k∈Z???. ?? 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数,这是解决问题的前提. (2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的种类和函数式 的项数,为讨论函数性质提供了保障. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=sin2x-sin2???x-π6 ???,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间???-π3 ,π4 ???上的最大值和最小值. 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 解 (1)由已知,得 f(x)=1-c2os2x-1-cos???22x-π3 ??? =12???12cos2x+ 23sin2x???-12cos2x = 43sin2x-14cos2x=12??? 23sin2x-12cos2x??? =12sin???2x-π6 ???. 所以 f(x)的最小正周期 T=22π =π . (2)因为 f(x)在区间???-π3 ,-π6 ???上是单调减函数,在区间???-π6 ,π4 ???上是单调增函数, f???-π3