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2014顺义文科数学二模

顺义 2014 文科数学二模
一、 选择题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合 A ? ?x | 0 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ? 0? ,则集合 A A. (0, 2) B. (0,3) C. (2,3) D. (2, ??) )

B?(

)

2.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的值为( A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2 )

D. ?2

3. “ ? ?

?
2

”是“ cos ? ? 0 ”的(

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.如图所示,一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图 是一个直径为 2 的圆,那么这个几何体的体积为( A. 4? B. 2? )

C.

4? 3

D.

2? 3
)

正视图

左视图

5. 已知向量 a ? (1,1) , b ? (?2,3) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? (

俯视图

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

5 2

D. ?

5 2
)

6. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值是( A. 2 B. 5 C. 11 D. 23

7.已知函数 f ( x ) ? ?

?log 1 x, ? 2 ? ?2 ,
x

x ? 0, x ? 0,
若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不等

的实根,则实数 k 的取值范围是( A. (0, ??) B. (??,1)

) D. (0,1] )

C. (1, ??)

2 8.已知点 A 在抛物线 y ? 4 x 上,且点 A 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 ,则点 A 的个数为(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.某学校有初中生 1200 人,高中生 900 人,教师 120 人,现采用分层抽样的方法, 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本进行调查.如果从高中生中抽取 60 人,则样本容 n ? _________ .

1

10.复数

i?2 ? _________ . 1 ? 2i

11. 双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的渐近线方程为 ____________. 4

? y ? x, ? 12. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ________. ? y ? ?1, ?
13. 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 a ? c ? 则 cos B ? _______; b ? ________ . 14. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 若数列?an ? 的各项按如下规则排列:

6 , sin

B 3 , ? 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ?????? , , ??? ?????? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n
则 a15 ? _____; 若存在正整数 k ,使 Sk ?1 ? 10, Sk ? 10 ,则 ak ? _______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

? a sin 2 x ? cos 2 x 的图象过点 ( , 0) . 8 2
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值.

(Ⅰ)求实数 a 的值; 16. (本小题共 13 分)

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”,在相同条件下,两人 5 次测试的成绩(单位:分)记录如下: 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;. (Ⅱ)现要从中选派一名运动员参加比赛,你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算); (Ⅲ)若从甲、乙两人的 5 次成绩中各随机抽取一个,求甲的成 的概率. 17. (本小题共 14 分)
D1 B1 C1

绩比乙高

ABCD 是边 如图:已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的底面
长为 2 的正方形,高 AA 1 ? 2 2 , P 为 CC1 的中点,

A1

P

D O A

C B

AC 与 BD 交于 O 点.
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)求证: AC1 ∥平面 PBD ;

2

(Ⅲ)求三棱锥 A 的体积. 1 ? BOP

18. (本小题共 13 分) 已知数列 ?

?1? ? 是公差为 2 的等差数列,且 a1 ? 1 . ? an ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an an?1? 的前 n 项和为 Tn . 证明: 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) , 离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且线段 AB 的垂直平分线过定点 P ( , 0) ,求实数 k 的取值范围. 20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1 . ? Tn ? 3 2

2 . 2

1 2

1 3 x ? 2 x 2 ? ax ? b 的图象在点 P(3, f (3)) 处的切线方程为 3

y ? 3x ? 5 .
(Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

m . x?2

①若 g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,求实数 m 的最大值; ②是否存在点 Q ,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y ? g ( x) 围成两个封闭图形,则 这两个封闭图形的面积总相等. 若存在,求出点 Q 坐标;若不存在,说明理由.

3

4

北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 高三数学(文科)试卷参考答案及评分标准
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 D 8 C C A A B A D 二、填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 9. 148 ;10. i ;11. y ? ?2 x ;12. ?3 ;13. , 2 2 ; 14. a15 ?

1 3

5 6 , ak ? 6 7

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题共 13 分)

a sin 2 x ? cos 2 x 2 ? a ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,? sin ? cos ? 0 ,————3 分 8 2 4 4 解得 a ? 2 ————7 分
解:(Ⅰ)由已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

2 sin(2 x ?

?
4

) ———9 分

?最小正周期 T ?

2? ? ? ,———11 分 2

最大值为 2 .————13 分 16. (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)茎叶图





8 7 2 6 2

7 8 9

8 2 2 8 5

——3 分 (Ⅱ)由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方 差,且乙的最高分高于甲的最高分,因此应选派乙参赛更好. ———6 分 (Ⅲ)记事件 A: 甲的成绩比乙高 从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩,所有的基本事件如下:

5

?86, 78? , ?86,82? , ?86,88? , ?86,82? , ?86,95? ?77, 78? , ?77,82? , ?77,88? , ?77,82? , ?77,95? ?92, 78? , ?92,82? , ?92,88? , ?92,82? , ?92,95? ?72, 78? , ?72,82? , ?72,88? , ?72,82? , ?72,95? ?78, 78? , ?78,82? , ?78,88? , ?78,82? , ?78,95?
共 25 个. ————9 分 事件 A 包含的基本事件有

?86, 78? , ?86,82??86,82? , 共 7 个————11 分 ?92, 78? , ?92,82? , ?92,88? , ?92,82? ,
? P ( A) ?
7 ————13 分 25
底面 ABCD 是边长为正方形,? AC ? BD

17.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)

A1 A ? 底面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ? A1 A ? BD ————3 分 A1 A AC ? A ,? BD ? 平面 A1 ACC1 ——5 分
P 为 CC1 的中点, O 为 AC 的中点
A1 D1 B1 C1

(Ⅱ)连结 PO ,

P

? AC1 ∥ PO ,————7 分
又 OP ? 平面 PBD , AC1 ? 平面 PBD
D O A C B

? AC1 ∥平面 PBD ————10 分
(Ⅲ)

AA1 ? 2 2 , AO ? 2 ,? AO ? 10 , 1

同样计算可得 A 1OP 为等腰三角形,————12 分 1 P ? 10 ,? A

CO ? CP ? 2 ,? OP ? 2 ,? 等腰三角形 A1OP 的高为 3
1 ? VA1? BOP ? S 3
A 1OP

OB ? 2 ————14 分

18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由已知 ? ——3 分

?1? 1 1 1 ? 是公差为 2 的等差数列, ? ? ? (n ? 1) ? 2 ,又 a1 ? 1 ,? ? 2n ? 1 —— an a1 an ? an ?

1 ————5 分 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ————7 分 (Ⅱ) an an ?1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

? an ?

6

? Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ???? ? anan?1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n ————9 分 ? 2n ? 1 ?

Tn ?

1 1 1 , Tn 随 n 的增大而增大,? Tn ? T1 ? ————11 分 ? 3 2 2(2n ? 1)

又 Tn ?

1 1 1 ? ? ————12 分 2 2(2n ? 1) 2

?

1 1 ? Tn ? . ————13 分 3 2

19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1 ,————2 分
x2 ?椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1————4 分 2

? y ? kx ? m ? (Ⅱ) ? x 2 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ————6 分 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 直线 l 与椭圆有两个交点,? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 2k (*)————8 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ?

?4km ?2km ,? AB 中点的横坐标 x0 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
AB 中点的纵坐标 y0 ? kx0 ? m ?

m ————10 分 1 ? 2k 2

2km m , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 1 ' 设 AB 中垂线 l 的方程为: y ? ? ( x ? ) k 2

? AB 的中点 D (?

?1 ? 2k 2 D 在 l 上,? D 点坐标代入 l 的方程可得 m ? (**)————12 分 2k
' '

将 m ? 1 ? 2k (*)代入解得 k ?
2 2

2 2 ,或k ? ? , 2 2

7

? k ? (??, ?

2 2 ) ( , ??) ————14 分 2 2

20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) x ? 3 时, f (3) ? 3a ? b ? 9

f ' ( x) ? x2 ? 4 x ? a, ? f ' (3) ? 9 ?12 ? a ? 3 , ? a ? 6 ————2 分
(3, f (3)) 在直线 y ? 3x ? 5 上,? f (3) ? 4 ,即 3a ? b ? 9 ? 4,

? b ? ?5

? a ? 6, b ? ?5
f ( x) ?

————4 分

1 3 x ? 2x2 ? 6x ? 5 , 3 1 3 m 2 (Ⅱ)① g ( x) ? x ? 2 x ? 6 x ? 5 ? 3 x?2
g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,

? g ' ( x) ? x 2 ? 4 x ? 6 ?

m m ? ( x ? 2)2 ? ?2 ? 0, 2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

在 [3, ??) 上恒成立,————6 分 令 ( x ? 2)2 ? t , 设 y ?t? 则t ? 1,

m m ? 2 , ? t ? ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立————7 分 t t

m ? t 2 ? 2t ? (t ? 1)2 ?1 恒成立,? m ? 3 , 实数 m 最大值为 3 ————9 分
1 3 m x ? 2x2 ? 6x ? 5 ? , 3 x?2 1 m ? g (4 ? x) ? (4 ? x)3 ? 2(4 ? x) 2 ? 6(4 ? x) ? 5 ? 3 4? x?2 1 3 25 m ? ? x ? 2x2 ? 6x ? ? 3 3 x?2 5 10 ) 11 分 ? g ( x) ? g (4 ? x) ? , ? Q ( 2 , ———— 3 3 10 ? y ) 也在图象上, 表明:若点 A( x, y ) 为 g ( x) 图象上任意一点,则点 (4 ? x, 3 5 5 而线段 AB 的中点恒为 Q (2, ) ;由此可知 g ( x) 图象关于点 Q (2, ) 对称. 3 3 5 这也表明存在点 Q (2, ) ,使得过 Q 的直线若能与 g ( x) 图象相交围成封闭图形, 3
②由 g ( x) ? 则这两个封闭图形面积相等. ————13 分(其它解法相应给分).

8


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