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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.2 综合法与分析法1.2.2_图文

2.2 分析法 了解分析法的思维过程,会用分析法证明一些数学命题. 分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这样的思维方法称为分析法. 【做一做】 已知 a>0,b>0,求证 : 证明 :∵a>0,b>0,∴a+b>0. 2 + 2 ≥ 2 ( + 2 2 + 2 ≥ 2 ( 2 + ). ∴要证明 ), ) , 2 只需证明 ( 2 + 2 )2 ≥ 即证明 a +b 2 2 2 2 2 ( + 2 1 ≥ (2 + 2 2 + 2 ), 即证明a2+b2≥2ab. 2 + 2 ≥ 2 ( 2 ∵a +b ≥2ab 对一切实数恒成立 ,∴ 综上所述 ,不等式得证 . + )成立. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 用分析法证明不等式 【例 1】 用分析法证明: 若 a>0,则 2 + 1 2 ? 2≥a+ ? 2. 1 分析:严格按分析法的思路来证,即从结论出发,利用联结词“要 证明 ”“只需证明 ”,一直推到显而易见的结论. 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 :要证明 2 + 只需证明 2 + 1 2 1 2 ? 2≥a+ ? 2, 1 1 + 2 ≥a+ + 2. 2 ∵a>0,∴上式两边均大于零.因此只需证明 a 4 2 + 1 1 2 ≥ a + 2 2 1 + 2 +4+ + 2 + 2 + 2 2 + 1 2 1 2 1 . 只需证明 2 2 + 只需证明 2 + 即证明 a2+ 2 ≥ 2 + 2 1 , 1 ≥2,而 2 1 ≥a + 2 + 2, 1 a2+ 2 ≥2 显然成立 , 故原不等式成立 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等 式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分析法证明. 2.分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化合理,得到的 结果必须是显然成立的,如已知条件、定理、定义、公理等. 3.若用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条件 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 1】 (-) 已知 a>b>0,求证: 8 2 < + ? 2 < (-) 8 2 . 分析:本题条件较为简单,结论比较复杂,我们可以从要证的结论 入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法. 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 :∵a>b>0, (-)2 + (-)2 ∴要证明 8 < 2 ? < 8 , (-)2 (-)2 即证明 < ( ? )2 < . 4 4 - - 只需证明 < ? < . 2 2 + + 只需证明 <1< , 2 2 即证明 + < 2 , 且 + > 2 , 即 < . ∵a>b>0,∴ < . (- )2 + (- )2 ∴ < ? < . 8 2 8 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 用分析法探索命题成立的条件 2 +1+ 2 + 【例 2】 给出一个不等式 ≥ 1+ (∈R),经验证:当 c=1,2,3 时 ,对于 x 取一切实数 ,不等式都成立.试问: 当 c 取任何正数 时,不等式对任何实数 x 是否都成立?若都成立,请给出证明;若不都 成立,请求出 c 的取值范围,使不等式对任何实数 x 都成立. 题型一 题型二 题型三 题型四 解 :不都成立 . 设 μ=x +c,则 μ≥c, 2 2 +1+ 2 + = +1 , 1 + + 1 1 + 故 ? = ? 2 + ( + 1)- ( + 1) ( -1)( - ) = = . 要使不等式 即 2 +1+ 2 + 2 +1+ 2+ 1+ ≥0 对任何实数 2 + 1 + ≥ 1+ 对任何实数x 都成立 , ? x 都成立 , 题型一 题型二 题型三 题型四 ∵ ≥ > 0, ∴ 只需 ? 1≥0,即 cμ≥1. ∴μ≥ , 也就是x2+c≥ , 即 x2≥ ? 对任意的x 都成立 . 故只需 ? ≤0. 1 1 1 1 ∵c>0,∴当 c≥1 时 ,原不等式对一切实数 x 都成立 . 反思探索性问题 ,可以探索条件、探索结论、探索方法 ,而分析法 是用来探索条件的重要手段 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 ≤c≤ + 对任意的正数 , 恒成立 ? 试证明你的结论. +2 +2 2+ 是否存在常数 c,使不等式 + 2+ 解 :存在常数 c,使不等式对任意的正数 x,y 恒成立 .不妨令 x=y=1,得 ≤c≤ , 所以c= , 下面给出证明. ①先证明 2+ + +2 2 3 2 3 2 3 2 . 3 ≤ 因为 2 x>0,y>0,所以要证明 + ≤ , 2+ +2 3 只需证明 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y), 即证明 x2+y2≥2xy,这显然成立 , 题型一 题型二 题型三 题型四 2 故 + ≤ . 2 + + 2 3 ②再证明 +2 + 2+ ≥ 3. 只需证明 3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y), 即证明 x2+y2≥2xy, 2 这显然成立 ,故 + ≥ . +2 2+ 3 2 综合 ①②可知 ,存在常数 c= , 对于任意的正数x,y,都有 + 3 2+ ≤c≤ + 恒成立. +2 +2 2+ 2 题型一 题型二 题型三