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人教版高中数学选修第一讲---不等式和绝对值不等式ppt课件_图文

第一讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、实数大小的比较法则: 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B那么,当 点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b A a B b x B A b a x a<b a>b a ? b? a?b?0 a ?b? a?b?0 a ? b? a?b?0 2、不等式的基本性质: (1)如果a ? b, 那么b ? a; 如果b ? a, 那么a ? b.即a ? b ? b ? a (2)如果 a ? b, b ? c, 那么 a ? c.即a ? b, b ? c ? a ? c ( 3)如果 a ? b, 那么 a ? c ? b ? c. (i )如果 a ? b ? c, 那么 a ? c ? b. (ii)如果 a ? b, c ? d , 那么 a ? c ? b ? d. (iii)如果 a ? b, c ? d , 那么 a ? c ? b ? d. (4)如 果a ? b, c ? 0, 那 么ac ? bc; 如 果a ? b, c ? 0, a ? b ? 0, c ? d ? 0, 那么 ac ? bd . 那 么ac ? bc. 如果 ( 5)如果a ? b ? 0, 那么a n ? b n ( n ? N , n ? 2). n (6)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? n b (n ? N , n ? 2). 例1、求证:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd。 证明:因为a>b>0, c>d>0, 由不等式的基本性质(3)可得ac>bc, bc>bd, 再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。 例2、 已知a>b>0,c>d>0,求证: a ? d b c 例3、若a、b、x、y∈R,则 ?x ? y ? a ? b 是 ? ?( x ? a)( y ? b) ? 0 ?x ? a ? ?y ? b 成立的( ) C B. 必要不充分条件 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例4、对于实数a、b、c,判断下列命题的真假: (1)若c>a>b>0,则 1 1 ? a>0,b<0。 (2)若a>b, ,则 a b a b ? c?a c ?b (真命题) (真命题) 例5、已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20] 练习:1、判断下列各命题的真假,并说明理由: (1)如果a>b,那么ac>bc; (2)如果a>b,那么ac2>bc2; (3)如果a>b,那么an>bn(n∈N+); (4)如果a>b, c<d,那么a-c>b-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) (假命题) (假命题) (假命题) (真命题) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0, 所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6) 3、如果a>b,c>d,是否一定能得出ac>bd? 并说明理由 。 1 1 4.在 (1)若a ? b, 则 ? , ( 2)若a c2 ? b c2 , 则a ? b, a b (3)若a ? b ? 0, c ? d ? 0, 则a c ? b d , ( 4)若a ? b, 则 b b? x ? 这四个命题中 , 正确的个数是 C a a?x A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 c d 5. 已知三个不等式 : ab ? 0, bc ? ad ? 0, ? ?0 a b (其中a, b, c, d均为实数 ), 用其中两个不等式作为 条件, 余下的一个作为结论组 成一个命题 , 可组成 D 的正确命题的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6. 已知0 ? x ? y ? a ? 1, 则有 D A. loga ( xy) ? 0 C.1 ? loga ( xy) ? 2 B.0 ? loga ( xy) ? 1 D. loga ( xy) ? 2 例6、已知a>0,a2-2ab+c2 =0,bc>a2,试比较a、b、c的大小。 解:因为bc>a2>0,所以b、c同号;又a2+c2=2ab>0,且 a>0,所以b= a2 ? c2 ? 0, 且c>0 。 2a 因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0,所以b-c≥0. 2 2 a ? c a2 ? c2 2 2 , bc ? a , c ? a , 当b-c>0,即b>c时,b= 得 2a 2a 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0,(a-c)(2a2+ac+c2)<0 因为a>0,b>0,c>0,所以2a2+ac+c2>0,故a-c<0,即a<c. 从而a<c<b。当b-c=0,即b=c时,因为bc>a2, 所以b2>a2,即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0,所以a=b, 与前面矛盾,故b≠c.所以a<c<b. 作业: 1、求证: (1)如果a>b, ab>0,那么 1 1 ? ; a b (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd。 2、设a≥b,c≥d, 求证:ac+bd≥ 1 (a+b)(c+d) 2 3、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。 探究: 你能从几何的角度解释定理1吗? 分析:a2与b2的几何意义是正方形面积,ab的几何意义 是矩形面积,可考虑从图形的面积角度解释定理。 如图把实数a, b作为线段长度, 以a≥b为例,在 正方形ABCD中, AB=a;在正方形 CEFG中,EF=b. 则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. b A H a I