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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第2讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第2讲 函数的单调性与最值

第二章 第2讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第2讲

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1. 理解函数的单调性及其几何意义. 2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 3. 会求简单函数的值域,理解最大(小)值及几何意义.

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1项必须防

范受到区间的限制,例如函数y=

1 x

分别在(-∞,0),(0,

+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-

∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单

调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接.

函数的单调性是对某个区间而言的,所以要

第二章 第2讲

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2种重要形式 1. f?xx1?1- -fx?2x2?>0?f(x)在[a,b]上是增函数; f?xx1?1- -fx?2x2?<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 2. (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数.

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2个必记结论 1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数 在闭区间上单调时最值一定在端点取到. 2. 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

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4种必会方法 1. 定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. 2. 复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增 函数,不同时为减函数. 3. 导数法:利用导数研究函数的单调性. 4. 图象法:利用图象研究函数的单调性.

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课前自主导学

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1. 函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区

间D上的任意两个自变量的值x1,x2

定 义

当x1<x2时,都有 ________,那么就说函

当x1<x2时,都有 ________,那么就说函

数f(x)在区间D上是增函 数f(x)在区间D上是减函

数;

数.

上是________或________,则称函数y=f(x)在这一区间具

有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

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当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪” 将函数的单调增区间(或减区间)连接起来?

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(1)函数y= x2-2x的递增区间________. (2)函数f(x)定义在[0,8]上的减函数,且f(2m)>f(m+6), 则m的取值范围是________.

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2. 函数的最值

前提 条件 结论

设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

①对于任意的x∈I, 都有________;②存 在x0∈I,使得 ________

①对于任意的x∈I,都 有________;②存在 x0∈I,使得________.

则M是y=f(x)的最大 值.

则M是y=f(x)的最小值.

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函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有何特 征?

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(1)f(x)=xx+-11的值域是________. (2)f(x)=x- x-1的值域是________.

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1. f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 想一想:提示:函数的单调区间不能简单的合并,如

函数y=

1 x

的单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞),而不是(-

∞,0)∪(0,+∞).

填一填:(1)[2,+∞)

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(2)0≤m≤2

提示:???00≤ ≤2mm+≤68≤8 ??2m<m+6

,解之得0≤m≤2.

2. f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 想一想:提示:函数的单调性反映在图象上是在某一

区间上是上升的或下降的;而最大(小)值反映在图象上为其

最高(低)点的纵坐标的值.

填一填:(1)(-∞,1)∪(1,+∞)

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(2)[

3 4

,+∞)

提示:令

x-1 =t≥0,f(t)=t2-t+1,

当t=12取得最小值34.

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核心要点研究

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例1 [2012·广东高考]下列函数中,在区间(0,+∞)上

为增函数的是( )

A. y=ln(x+2)

B. y=- x+1

C. y=???12???x

D. y=x+1x

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[审题视点] 对于简单函数或可化为简单函数的函数,可 借助于图象的直观性来判断函数的单调性.
[解析] y=lnt和t=x+2在此区间上同为增函数,可知y= ln(x+2)在(0,+∞)上单调递增,选A.
[答案] A

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判断(或证明)函数单调性的主要方法有:(1)函数单调性的 定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合 函数单调性的判断法则;(4)利用函数的导数等.其中(2)(3)一 般用于选择、填空.

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[变式探究] [2013·西安质检]已知函数f(x)的图象向左

平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2

-x1)<0恒成立,设a=f(-

1 2

),b=f(2),c=f(3),则a,b,c

的大小关系为( )

A. c>a>b

B. c>b>a

C. a>c>b

D. b>a>c

答案:D

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解析:由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图

象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对

称,所以a=f(-

1 2

)=f(

5 2

).当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-

x1)<0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.故选D.

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例2 [2013·吉林模考]求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=a1-2x-x2(a>0且a≠1). [审题视点] 对于(1)可先将函数化为分段函数,画出函数 的图象,然后结合图象求出单调区间;对于(2)应对a的取值进 行讨论,然后根据复合函数单调性法则求解.

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[解] (1)由于y=?????- -xx22+ -22xx+ +11??xx≥ <00?,?, 即y=?????- -??xx- +11??22+ +22??xx≥ <00?.?, 画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1] 和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

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(2)令g(x)=1-2x-x2=-(x+1)2+2,所以g(x)在(- ∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.
当a>1时,函数y=a1-2x-x2的增区间是(-∞,-1), 减区间是(-1,+∞);
当0<a<1时,函数y=a1-2x-x2的增区间是(-1,+ ∞),减区间是(-∞,-1).

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1.带有绝对值的函数实质上就是分段函数,对于分段函 数的单调性,有两种基本的判断方法:一是在各个段上根据函 数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,最后对各个 段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数图象,结合 函数的图象、性质进行直观的判断.

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2.求复合函数y=f[g(x)]的单调区间的步骤: (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增或同减,则y=f[g(x)]为增函数;若一 增一减,则y=f[g(x)]为减函数,即“同增异减”.

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[变式探究] 已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)为减 函数的区间是( )

A. (3,6)

B. (-1,0)

C. (1,2)

D. (-3,-1)

答案:D

解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,结合二次函数的对称

轴x=1,知在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数,所以在

区间(-∞,-1)上是减函数,由此可得D项符合.

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例3 [2012·上海高考]已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
[审题视点] 外层函数为增函数,内层函数的增区间[a, +∞)为f(x)的递增区间,由题意知[1,+∞)为[a,+∞)的子 集.

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[解析] 令t=|x-a|,则t=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递 增,而y=et为增函数,所以要使函数f(x)=e|x-a|在[1,+∞)上 单调递增,则有a≤1,所以a的取值范围是(-∞,1].
[答案] (-∞,1]

第二章 第2讲

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奇思妙想:本例条件变为“函数 f(x)=(12)|2x-a|在(-∞, 1]上为增函数”,问题不变,该如何求解?
解:依题意知 t=|2x-a|,在(-∞,1]上为减函数, 又∵t=|2x-a|的递减区间为(-∞,a2], ∴a2≥1,∴a≥2.

第二章 第2讲

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应用函数的单调性可求解的问题
(1)由x1,x2的大小,可比较f(x1)与f(x2)的大小; (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系,可得x1与x2的大小关系; (3)求解析式中参数的值或取值范围; (4)求函数的最值; (5)得到图象的升、降情况,画出函数图象的大致形状.

第二章 第2讲

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[变式探究]

[2013·银川模拟]已知函数f(x)=

1 a



1 x

(a>0,x>0),若f(x)在???12,2???上的值域是???12,2???,求a的值. 解析:根据函数的单调性确定给定区间上的函数值,
构建方程组求a的值. ∵f(x)在???12,2???上的值域是???12,2???, 又f(x)在???12,2???上单调递增, ∴f???12???=12,f(2)=2,∴a=25.

第二章 第2讲

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例4 [2013·德阳模拟]已知函数y= 1-x + x+3 的最

大值为M,最小值为m,则Mm的值为( )

1

1

A. 4

B. 2

2 C. 2

3 D. 2

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[审题视点] (1)研究函数的最值时,应首先确定函数的什 么?(提示:首先确定函数的定义域)
(2)函数解析式中含有根式,通常的处理办法是什么?(提 示:对解析式进行平方)
(3)平方后的解析式含有几个根式?被开方式是什么函数? 可用什么方法求其最值?(提示:平方后只含一个根式,被开方 式是二次函数,可通过配方求最值)

第二章 第2讲

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[解析] 由

??1-x≥0 ???x+3≥0

得函数的定义域是{x|-

3≤x≤1},y2=4+2 1-x· x+3=4+2 -?x+1?2+4,当

x=-1时,y取得最大值M=2 2;

当x=-3或1时,y取得最小值m=2,∴Mm=

2 2.

故选C. [答案] C

第二章 第2讲

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求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低 点,求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定 三相等”的条件后用基本不等式求出最值; (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后 结合端点值,求出最值; (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函 数,再用相应的方法求最值,换元注意等价性.

第二章 第2讲

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[变式探究] [2013·临沂模拟]已知f(x)=

x2+2x+a x

(x≥1),若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的

取值范围是________.

答案:a>-3

第二章 第2讲

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解析:用等价转化、构造函数和分离参数的思想解

题.

在区间[1,+∞)上,f(x)=x2+2xx+a>0恒成立?

??x2+2x+a>0 ???x≥1

?

??a>-?x2+2x? ???x≥1

?a大于函数φ(x)=-

(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.

第二章 第2讲

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于是问题转化为求函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最 大值问题.
φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上递减, ∴x=1时,φ(x)最大值为φ(1)=-3. ∴a>-3.

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例5 [2013·衡阳联考]已知函数f(x)对于任意x,y∈R, 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23.
(1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

第二章 第2讲

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[审题视点] 抽象函数单调性的判断要紧扣定义,结合题
目作适当变形.
[解] (1)证明:设x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上为减函数.

第二章 第2讲

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(2)解:∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2,且f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,又f(- 3)+f(3)=f(-3+3)=0,∴f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

第二章 第2讲

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对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定

义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给

区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或

f?x1? f?x2?

与1的大小.有时

根据需要,需作适当的变形:如x1=x2·

x1 x2

或x1=x2+x1-x2

等.

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[变式探究] 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满 足f(xx12)=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

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解:(1)令x1=x2>0,

代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.

(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则

x1 x2

>1,由于当

x>1时,f(x)<0,所以f

???xx12???

<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此

f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函

数.

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(3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). 由f???xx12???=f(x1)-f(x2)得, f???93???=f(9)-f(3), 而f(3)=-1,所以f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

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【选题·热考秀】 [2011·上海高考]已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b 满足ab≠0. (1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.

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[规范解答] (1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2).
∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数. 当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.

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(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0, 当a<0,b>0时,???32???x>-2ab, 则x>log1.5???-2ab???,此时x取值范围为{x|x>log1.5(-2ab)}; 当a>0,b<0时,???32???x<-2ab, 则x<log1.5???-2ab???,此时x取值范围为{x|x<log1.5(-2ab)}.

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 利用定义判断单调性的步骤是:设元取值;作差(商)变 形;确定符号,得出结论.

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No.2 角度关键词:模板构建 用定义法判断或证明函数f(x)在给定的区间D上的增减性的 步骤:
第 一 步 : 取 值 , 即 设 x1 、 x2 是 该 区 间 内 任 意 两 个 值 且 x1<x2;
第二步:作差,即作差f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1- 3x2);

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第三步:判号,即判断f(x1)-f(x2)的正负,由于a,b符号不 确定,需要进行分类讨论;
第四步:下结论,即判断f(x)在该区间是增函数还是减函 数;
第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范,注 意a、b符号的讨论对结果的影响.

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1. [2012·陕西高考]下列函数中,既是奇函数又是增函

数的为( )

A. y=x+1

B. y=-x3

C. y=1x

D. y=x|x|

第二章 第2讲

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答案:D 解析:选项A中的函数是非奇非偶函数;选 项B中的函数是减函数;选项C中的函数在每 个单调区间上都是减少的,且为奇函数;选项

D中的原函数可化为y=

??x2,x≥0, ???-x2,x<0,

作出其

图象如右图所示.

由图可知该函数既是奇函数又是增函数.故选D.

第二章 第2讲

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2. 如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调

递增的,则实数a的取值范围是( )

A. a>-14

B. a≥-14

C. -14≤a<0

D. -14≤a≤0

第二章 第2讲

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答案:D

解析:当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增

的,故在(-∞,4)上单调递增;

当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-

1 a

,因为f(x)在(-

∞,4)上单调递增,所以a<0,且-1a≥4,解得0>a≥-14.

综合上述-14≤a≤0.

第二章 第2讲

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3. [2012·浙江高考]设a>0,b>0,下列说法正确的是( ) A. 若2a+2a=2b+3b,则a>b B. 若2a+2a=2b+3b,则a<b C. 若2a-2a=2b-3b,则a>b D. 若2a-2a=2b-3b,则a<b 答案:A 解析:考查函数y=2x+2x为单调递增函数,若2a+2a=2b +2b,则a=b,若2a+2a=2b+3b,∴a>b.

第二章 第2讲

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4. [2012·安徽高考]若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是

[3,+∞),则a=________.

答案:-6

解析:由f(x)=

??-2x-a,x<-a2 ???2x+a,x≥-a2

,可得函数f(x)的单

调递增区间为[-a2,+∞),故3=-a2,解得a=-6.

第二章 第2讲

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5. [2013·广西柳州月考]定义在R上的奇函数y=f(x)在

[0,+∞)上递增,且f???12???=0,则满足f( ________.

x)>0的x的集合为

答案:{x|0<x<13,或1<x<3}

第二章 第2讲

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解析:由奇函数y=f(x)在[0,+∞)上递增,且f(

1 2

)=

0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且f(-

1 2

)=0.由

f( x)>0,得 x>12或-12< x<0,解得0<x<13或1<x<3.

所以满足条件的x的取值集合为{x|0<x<13,或1<x<3}.

第二章 第2讲

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