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数列通项公式经典例题精析

经典例题精析
类型一:迭加法求数列通项公 解析:∵ , , , 当 1.在数列 中, , , ,求 .

将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 总结升华: 1. 在数列 中, 时, .



), 符合上式

, 若

为常数, 则数列 不是等差数列. 的解析式, 而

是等差数列; 若

不是一个常数,而是关于 的式子,则数列 2.当数列的递推公式是形如 可求的,则可用多式累(迭)加法得 举一反三: 【变式 1】已知数列 , , .

的和是

,求

.

【答案】

【变式 2】数列





,求通项公式

.

【答案】

.

类型二:迭乘法求数列通项公式 2 . 设 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 , 且 .

,求它的通项公式

解析:由题意 ∴ ∵ ,∴ ,







,又



∴当 当

时, 时, 符合上式



∴ 总结升华: 1. 在数列 列;若 中,

.

,若

为常数且

,则数列 不是等比数列.

是等比数

不是一个常数,而是关于 的式子,则数列 的解析关系,而 .

2.若数列有形如 可用多式累(迭)乘法求得 举一反三:

的积是可求的,则

【变式 1】在数列

中,



,求

.

【答案】

【变式 2】已知数列

中,



,求通项公式

.

【答案】由



,∴



∴ ∴当 时,



当 ∴

时,

符合上式

类型三:倒数法求通项公式 3.数列 中, , ,求 .

思路点拨:对

两边同除以



即可.

解析:∵

,∴两边同除以







成等差数列,公差为 d=5,首项







∴ 总结升华: 1.两边同时除以

.

可使等式左边出现关于



的相同代数式的差,右边为

一常数,这样把数列

的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列

,而

恰是

等差数列.其通项易求,先求

的通项,再求

的通项.

2.若数列有形如

的关系,则可在等式两边同乘以

,先求



,再求得 举一反三:

.

【变式 1】数列

中,



,求

.

【答案】

【变式 2】数列

中,

,

,求

.

【答案】 类型四:待定系数法求通项公式

.

4.已知数列

中,



,求

.

法一:设

,解得

即原式化为 设 ,则数列 为等比数列,且



法二:∵





由①-②得: 设 ,则数列 为等比数列

















,……,



∴ 总结升华: 1.一般地,对已知数列 的项满足 , ( 为常数, ),

则可设 数列

得 转化为求等比数列

,利用已知得



,从而将

的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的

等比数列.这两种方法均是常用的方法. 2.若数列有形如 求得 . (k、b 为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法

举一反三:

【变式 1】已知数列





,求

【答案】令

,则





,即







为等比数列,且首项为

,公比









.

【变式 2】已知数列

满足

,而且

,求这个数列的通项公式

.

【答案】∵

,∴



,则

,即



∴数列

是以

为首项,3 为公比的等比数列,



,∴

.



.

类型五:



的递推关系的应用 中, 是它的前 n 项和,并且 ,

5.已知数列 . (1)设

,求证:数列

是等比数列;

(2)设 (3)求数列 解析: (1)因为

,求证:数列 的通项公式及前 n 项和.

是等差数列;

,所以

以上两式等号两边分别相减,得

即 因为 由此可知,数列 由 所以 所以 , 所以 .

,变形得 ,所以 是公比为 2 的等比数列. , , ,

(2)

,所以



代入得

由此可知,数列

是公差为

的等差数列,它的首项





.

(3) 当 n≥2 时, ∴ 由于 故所求

,所以

也适合此公式, 的前 n 项和公式是 .

总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条 件,通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差 (比)数列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数 列问题中的常见策略. 举一反三: 【 变 式 1 】 设 数 列 首 项 为 . (1)求证:数列 是等比数列; 1 , 前 n 项 和 满 足

(2) 设数列 求 的通项公式. 【答案】 (1)

的公比为

, 作数列

, 使













又 ①-②







是一个首项为 1 公比为

的等比数列;

(2)





是一个首项为 1 公比为

的等差比数列



【变式 2】若

,

(

),求

.

【答案】当 n≥2 时,将 ∴ 整理得

代入 ,

,

两边同除以



(常数)



是以

为首项,公差 d=2 的等差数列,







.

【变式 3】等差数列 前 n 项和 .

中,前 n 项和

,若

.求数列



【答案】∵

为等差数列,公差设为

,

∴ ∴ ∴ , ,

,



,则

,



.

∵ ∴ ∴ ∴ ,∴

, , , ① ②

①-②得

∴ 类型六:数列的应用题 6.在一直线上共插 13 面小旗,相邻两面间距离为 10m,在第一面小旗处有某人把 小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪 一面小旗的位置上?最短路程是多少? 思路点拨: 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先 画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 解析:设将旗集中到第 x 面小旗处,则 从第一面旗到第 面旗处,共走路程为了 回到第二面处再到第 面处是 , ,

回到第三面处再到第 面处是 , 从第 面处到第 从第 面处到第 总的路程为:



面处取旗再回到第 面处的路程为



面处取旗再回到第 面处,路程为 20× 2,



,∴

时,

有最小值

答:将旗集中到第 7 面小旗处,所走路程最短. 总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前 项和公式,在求和后,利用二 次函数求最短路程. 举一反三: 【变式 1】某企业 2007 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 年度产值的月平均增长率为( ) 倍,则该企业 2007 年

A.

B.

C.

D.

【答案】D; 解析:从 2 月份到 12 月份共有 11 个月份比基数(1 月份)有产值增长,设为 , 则

【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入若干万元人民币,年利率为 1 月 31 日取款时被银行扣除利息税(税率为 ( ) A.1.5 万元 B.2 万元 C.3 万元 )共计 D.2.5 万元

,到 2007 年

元,则该人存款的本金为

【答案】B; 解析:本金 利息/利率,利息 利息税/税率 利息 本金 (元), (元)

【变式 3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 个月内累积的需求量

(万件)近似地满足 需求量超过 万件的月份是( ) B.6 月、7 月 C.7 月、8 月

.按比例预测,在本年度内,

A.5 月、6 月 【答案】C;

D.9 月、10 月

解析:第 个月份的需求量超过

万件,则

解不等式,得

,即

.

【变式 4】某种汽车购买时的费用为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元,汽车的维修费平均为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依次成等差数列 递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算?(即年平均费用最少)

【答案】设汽车使用年限为 年,

为使用该汽车平均费用.

当且仅当

,即

(年)时等到号成立.

因此该汽车使用 10 年报废最合算. 【变式 5】某市 2006 年底有住房面积 1200 万平方米,计划从 2007 年起,每年拆除 20 万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. (1)分别求 2007 年底和 2008 年底的住房面积; (2)求 2026 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到 0.01)

【答案】 (1)2007 年底的住房面积为 1200(1+5%)-20=1240(万平方米), 2008 年底的住房面积为 1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米), ∴2007 年底的住房面积为 1240 万平方米; 2008 年底的住房面积为 1282 万平方米. (2)2007 年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米, 2008 年底的住房面积为[1200(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米, 2009 年底的住房面积为[1200(1+5%)3-20(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米, ………… 2026 年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平 方米 即 1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20

≈2522.64(万平方米), ∴2026 年底的住房面积约为 2522.64 万平方米.