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2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末检测 新人教A版选修1-2


2015-2016 高中数学 第二章 推理与证明章末检测 新人教 A 版选修 1-2
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的) 1.下列表述正确的是(D) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是 由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推 理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(C) A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 解析:至多有一个的否定是至少存在两个,所以选 C. 3.下面几种推理是合情推理的是(C) ①由正三角形的性质,推测正四面体的性质;②由平行四边形、梯形内角和是 360°, 归纳出所有四边形的内角和都是 360°;③某次考试金卫同学成绩是 90 分,由此推出全班 同学成绩都是 90 分;④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 4.我们把平面几何里相似的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形 状完全相同,就称它们是相似体.给出下面的几何体中:①两个球体;②两个长方体;③两 个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥. 则一定是相似体的个数为(C) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析:根据相似体的定义,只有①③是相似体,选 C. 5.下面用“三段论”形式写出的演绎推理:因为指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)在(0,
x

x x ?1? ?1? +∞)上是增函数,y=? ? 是指数函数,所以 y=? ? 在(0,+∞)上是增函数.该结论显然 ?2? ?2? 是错误的,其原因是(A) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都可能 x 解析:大前提是:指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,这是错误的.
1 x 6. 证明命题: “f(x)=e + x在(0, +∞)上是增函数”. 现给出的证法如下: 因为 f(x) e 1 1 1 1 x x x x =e + x,所以 f′(x)=e - x.因为 x>0,所以 e >1,0< x<1.所以 e - x>0,即 f′(x)>0. e e e e 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.该证明过程中使用的证明方法是(A) A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是
1

7.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是(C) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解析:用正弦定理将正弦关系转化为边的关系. 由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C ∴sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R 2 2 2 ∵sin A+sin B<sin C,

2

2

2

a

b

c

a

b

c

a2 b2 c2 ∴ 2+ 2< 2. 4R 4R 4R 2 2 2 ∴a +b <c . a2+b2-c2 ∴cos C= <0. 2ab ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.
8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N ,则 a2 009 和 a2 014 分别等于(B) A.1,1 B.1,0 C.0,0 D.0,1 解析:本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意,得 a2 009=a4×503-3 =1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.所以应选 B. π 2π nπ * 9.若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N ),则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数 7 7 7 是(C) A.16 个 B.72 个 C.86 个 D.100 个 分析: 本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题. 解决此类问题需要找到规律, 从题目出发可以看出每隔 13 或 14 项的和为 0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题 的能力. 解析:依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项. 10.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定: (a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d;运算“?”为: (a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为: (a, b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设 p、q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p, q)等于(B) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4) ?p-2q=5, ? 解析:由运算的定义知(1,2)?(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),∴? 解得 ?2p+q=0, ? ? ?p=1,
? ?q=-2. ?
*

∴(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11.用火柴棒摆“金鱼”,如下图所示:

2

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________. 答案:6n+2 12. 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直, 那么这两个角相等或互 补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “__________________________________________________” 这个类比命题的真假性是________________________________. 答案: 如果两个二面角的两个半平面分别垂直, 那么这两个二面角相等或互补 假命题 13.下列为一组等式:

S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65,
? 2 某学生据此猜测 S2n-1=(2n-1)(an +bn+c),老师回答正确,则 a+b+c=________. 答案:1 14. 若下列两个方程 x =(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 中至少有一个方程有实数根, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:假设这两个方程都没有实数根,则 2 2 2 ?Δ 1=(a-1) -4a <0, ?3a +2a-1>0, ? ? ? 即? 2 2 ?Δ 2=(2a) -4(-2a)<0, ? ?a +2a<0, ? 1 ? ?x<-1,或x> , 3 ∴-2<a<-1. 即?
2 2 2

? ?-2<a<-1.

故两个方程至少有一个实数根,a 的取值范围是 a≤-2 或 a≥-1. 答案:a≤-2 或 a≥-1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)

?1 ??1 ? + 15.(12 分)若 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1,试用分析法或综合法证明:? -1?? -1? ?a ?? b ? ?1-1?≥8. ? ? ?c ?
证明:证法一(综合法) ?1-1??1-1??1-1? ? ?? ?? ?

?a

?? c ? ?a+b+c-1??a+b+c-1??a+b+c-1? =? ?? b ?? c ? ? a ?? ?? ?


??b

b+c a+c a+b · · a b c
3



(b+c)(c+a)(a+b)

abc 2 bc·2 ac·2 ab ≥ =8(当且仅当 a=b=c 时取等号),所以不等式成立. abc
证法二(分析法) ?1 ??1 ? ?1 ? 要证? -1?? -1?? -1?≥8 成立,

?a

??b

?? c

?

1-a 1-b 1-c 只需证 · · ≥8 成立.

a

b

c

因为 a+b+c=1,所以只需证 (a+b+c)-a (a+b+c)-b (a+b+c)-c · · ≥8 成立,

a

b

c

b+c a+c a+b · · ≥8. a b c b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab 只需证 · · ≥ · · =8 成立. a b c a b c 2 bc 2 ac 2 ab 而 · · =8 显然成立, a b c


?1 ??1 ??1 ? ∴? -1?? -1?? -1?≥8 成立. ?a ??b ??c ?
16.(12 分)请你把命题“若 a1,a2 是正实数,则有 + ≥a1+a2”推广到一般情形, 并证明你的结论. 解析:推广的命题: 若 a1,a2,?,an 都是正数,

a2 a2 1 2 a2 a1

a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1 证明如下:∵a1,a2,?,an 都是正数, a2 a2 1 2 ∴ +a2≥2a1, +a3≥2a2, a2 a3
?

a2 a2 n-1 n +an≥2an-1, +a1≥2an, an a1 a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n 以上各式相加得: + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1
1 1 2 + x y z 17.(14 分)已知 a,b,c 是不为 1 的正数,x,y,z∈R ,且有 a =b =c 和 + = .

x z y

求证:a,b,c 顺次成等比数列. x y z 证明:令 a =b =c =k>0,则有:x=logak,y=logbk,z=logck. 1 1 2 1 1 2 因为 + = ,所以有 + = . x z y logak logck logbk lg a lg c 2lg b 2 所以 + = ,即 lg a+lg c=2lg b,即有 b =ac,所以 a,b,c 顺次成 lg k lg k lg k 等比数列. 18.(14 分)如右图所示,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点,若 AD=a1,AE=

4

S△ADE a1b1 b1,AB=a,AC=b,则 = .试在立体几何中写出类似的四面体性质的猜想,并予以证 S△ABC ab
明.

解析:如图所示,在三棱锥 S?ABC 中,D,E,F 分别是侧棱 SA,SB,SC 上的点,且 SA =a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,

VS-DEF a1b1c1 = . VS-ABC abc 证明:过点 A 作 AH⊥平面 SBC 于点 H,过点 D 作 DH1⊥平面 SBC 于点 H1,则 DH1∥AH,且 S,H1,H 三点共线.
则 1 1 1 1 ∵VS-DEF=VD-SEF= S△SEF·DH1= × ·SE·SF·sin∠ESF·DH1= b1c1·DH1·sin∠ESF, 3 3 2 6 1 1 DH1 VS-ABC=VA-SBC= S△SBC·AH= bc·AH·sin∠BSC,且 sin∠ESF=sin∠BSC,DH1∥AH,∴ = 3 6 AH

SD a1 VS-DEF a1b1c1 = .∴ = . SA a VS-ABC abc
19.(14 分)如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)试用分析法证明 MN∥平面 PAD; (2)试用分析法证明 MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

证明: (1)要证明 MN∥平面 PAD, 需让 MN 平行于平面 PAD 内某一直线. 注意到 M, N 分 别为 AB,PC 的中点,可取 PD 的中点 E,连接 AE,从而只需证 MN∥AE 即可. 1 1 证明如下: 取 PD 的中点 E ,连接 AE, EN ,则 EN 綊 CD 綊 AB 綊 AM,故四边形 AMNE 2 2 为平行四边形,∴MN∥AE. ∵AE? 平面 PAD,MN?平面 PAD. ∴MN∥平面 PAD. (2)要证 MN⊥CD,可证 MN⊥AB, 由(1)知需证 AE⊥AB. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AD⊥AB,∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN. ∵CD∥AB ,∴MN⊥CD. (3)由(2)知 MN⊥CD,即 AE⊥CD,再证 AE⊥PD 即可. ∵ PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AD.又∠PDA=45°, E 为 PD 的中点, ∴AE⊥PD, 即 MN⊥PD.
5

又 MN⊥CD,PD∩CD=D,∴MN⊥平面 PCD. 1 bx+1 ? ? 20.(14 分)已知 f(x)= 2?x≠- ,a>0?,且 f(1)=log16 2,f(-2)=1. a (ax+1) ? ? (1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(x)][1-f(2)]?[1-f(n)],试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项公式. 1 解析:(1)把 f(1)=log16 2= ,f(-2)=1,代入函数表达式得 4 b+1 1 2= , 2 (a+1) 4 ?4b+4=a +2a+1, ? 即? 2 ? -2b+1 ?-2b+1=4a -4a+1, = 1 , 2 (1-2a) ? 1 ? ?a=1,? 解得? ?舍去a=-3<0?, ? ?b=0,? ?

? ? ? ? ?

1 ∴f(x)= 2(x≠-1). (x+1) 1 3 (2)x1=1-f(1)=1- = 4 4 3 ? 1? 2 x2=[1-f(1)][1-f(2)]= ×?1- ?= 9? 3 4 ? 1? 5 2 2 ? x3= [1-f(3)]= ×?1- ?= , 16? 8 3 3 ? 1? 3 5 ? x4= ×?1- ?= . 25? 5 8 ? 3 2 4 5 3 6 n+2 (3)由(2)知,x1= ,x2= = ,x3= ,x4= = ,?,由此可以猜想 xn= . 4 3 6 8 5 10 2n+2

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