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【解析版】2013年陕西省中考数学试题及答案


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2013 陕西中考数学试题及解析
一、选择题(每小题只有一个正确答案) 1.下列四个数中最小的数是( ) A. ? 2 B. 0 C. ?

1 3

D. 5

考点:此题一般考查的内容简单,有相反数、倒数、绝对值、具有相反意义的量的表示及 正负数的概念等简单的知识点,本题考查简单的数的比较大小。 解析:引入正负数时了解正数大于 0,负数小于 0,正数大于一切负数,两个负数比较大小: 绝对值大的反而小,此题故选 A. 2.如图,下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的,则它的俯视图是( )
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A B C D 第 2 题图 考点:一般几何体的三视图的画法 解析:此类题主要考查学生们的空间想象能力,一般考查常见的简单的几何体有圆柱,正 方体及其组合体。应注意看的见的轮廓线与看不见的轮廓线的画法与圆锥与圆柱的视图的 区别是否有圆心,相对来说考查的较为简单,此题故选 D. E 3.如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D 的大小( ) A A. 65° B. 55° C.45° D. 35° 考点:平行线的性质应用与互余的定义。 解析:此类题主要考查学生们的平面几何的性质应用的能力, C 一般考查常见较为简单的两直线平行而同位角和内错角相等 第 3 题图 的应用,而问题的设置也是求角度或者是找角的关系。 因为 AB∥CD,所以∠D=∠BED,因为∠CED=90°,∠AEC=35°所以∠BED=180°-90°-35° =55°,此题故选 B
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B

D

1 ? ?x ? ? 0 4.不等式组 ? 的解集为( 2 ? ?1 ? 2 x ? 3
A. x ?



1 2

B. x ? ?1

C. ? 1 ? x ?

1 2

D. x ? ?

1 2

考点:不等式的解法及不等式组的解集的选取。 解析:此题一般考不等式组或者是一元一次方程的应用等简单的计算能力考查。易错就是 不等式的性质 3,乘除负数时不等号的方向应改变。解集的选取应尊循: “大大取大;小小 取小;大小小大取中间;大大小小取不了”的原则。第 1 个不等式解得: x ? 不等式解得: x ? ?1 ;因此不等式组的解集为: x ?

1 ;第 2 个 2

1 ;此题故选 A 2

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5.我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为:111,96,47,68,70,77,105, 则这七天空气质量指数的平均数是( ) A.71.8 B.77 C.82 D.95.7 考点:此题一般考查统三个计量(平均数,中位数、众数)的选择和计算。年年的必考的 知识点。
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解析: x ?

1 (111 ? 96 ? 47 ? 68 ? 70 ? 77 ? 105 ) ? 82 ;故选 C. 7


6. 如果一个正比例函数的图象经过不同 象限的两点 A (2,m) , B (n, 3) , 那么一定有 ( ..
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A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 考点:一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式。 解析:因为 A,B 是不同象限的点,而正比例函数的图象要不在一、 三象限或在二、四象限, 由点 A 与点 B 的横纵坐标可以知:点 A 与点 B 在一、三象限时:横纵坐标的符号应一致, 显然此题不可能,点 A 与点 B 在二、四象限:点 A 在四象限得 m<0,点 B 在二象限得 n<0, 故选 D.(另解:就有两种情况一、三或二、四象限,代入特值即可判定) A 7.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AB=AD,CB=CD, 若连接 AC、BD 相交于点 O,则图中全等三角形共有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 B O 考点:全等三角形的判定。 D 解析:AB=AD,CB=CD,AC 公用,因此△ABC≌△ADC(SSS) , 所以 ? BAO= ? DAO, ? BCO= ? DCO, 所以△BAO≌△DAO(SAS) , C △BCO≌△DCO(SAS) ,故选 C 8.根据下表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的对应值,可得 p 的值为( ) 第 7 题图 x y -2 3 0 p 1 0

A.1 B.-1 C.3 D.-3 考点:待定系数法求一次函数的解析式及由自变量的值确定对应的函数值。 解析:设 y=kx+b,将表格中的对应的 x,y 的值代入得二元一次方程组,解方程组得 k,b 的 值,回代 x=0 时,对应的 y 的值即可。
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设 y=kx+b,?

?? 2 k ? b ? 3 解得:k=-1,b=1,所以所以 y=-x+1,当 x=0 时,得 y=1,故选 A. ?k ? b ? 0

9.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,点 M、N 分别在边 AD、BC 是,连接 BM、DN,若 四边形 MBND 是菱形,则

AM 等于 MD
C.





M A

D

A.

3 8

B.

2 3

3 5

D.

4 5

B

考点:矩形的性质及菱形的性质应用。 解析:矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题,菱形的性质应用较 常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值,所以在解决过程 中取特殊值法较为简单。设 AB=1,则 AD=2,因为四边形 MBND 是菱形,所以 MB=MD,
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N 第 9 题图

C

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2 2 2

又因为矩形 ABCD,所以 ? A=90°,设 AM=x,则 MB=2-x,由勾股定理得:AB +AM =MB ,

3 3 3 5 AM 4 3 2 2 2 所以 x +1 =(2-x) 解得: x ? ,所以 MD= 2 ? ? , ? ? ,故选 C. 4 4 4 MD 5 5 4
10.已知两点 A(?5, y1 ), B(3, y 2 ) 均在抛物线 y ? ax 2 ? bc ? c(a ? 0) 上,点 C ( x0 , y 0 ) 是该抛物线的顶点,若 y1 ? y 2 ? y 0 ,则 x 0 的取值范围是(
A. x 0 ? ?5 B. x 0 ? ?1 C. ? 5 ? x0 ? ?1


D. ? 2 ? x 0 ? 3

考点:二次函数图象性质的应用及对称性的考查。 解析:由点 C ( x0 , y 0 ) 是该抛物线的顶点,且 y1 ? y 2 ? y 0 ,所以 y 0 为函数的最小值,即得 出抛物线的开口向上,因为 y1 ? y 2 ? y 0 ,所以得出点 A、B 可能在对称轴的两侧或者是在 对称轴的左侧,当在对称轴的左侧时,y 随 x 的增大而减小,因此 x 0 >3,当在对称轴的两 侧时, 点 B 距离对称轴的距离小于点 A 到对称轴的距离, 即得 x 0 (-5) >3- x 0 ,解得 x 0 ? ?1 , 综上所得: x 0 ? ?1 ,故选 B

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,计 18 分) 11.计算: (?2) ? ( 3 ? 1) ?
3 0

共 90 分)



考点:本题经常实数的简单计算、特殊角的三角函数值及零(负)指数幂及绝对值的计算。 解析:原式= ? 8 ? 1 ? ?7 12.一元二次方程 x ? 3x ? 0 的根是 . 考点:一元二次方程的解法。 解析:四种解一元二次方程的解法即:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法。此 12 题的位置一般是简单的题,因此注意识别使用简单的方法进行求解。
2
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由 x ? 3x ? 0 得, x( x ? 3) ? 0 ,解得 x1=0,x2=3
2

13.请从以下两个小题中任选一个 作答,若多选,则按所选的第一题计分. ....

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A.在平面直角坐标第中,线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A(?2,1), B(1,3) ,将线段 AB 经过平移后得到线段 A / B / ,若点 A 的对应点为 A (3,2) ,则点 B 的对应点 B / 的坐标 是 . 考点:点的平移与坐标之间的关系。 解析: 点 A 与 A / 对应, 从坐标来看是将点 A 向右平移 5 个单位后再向上平移 1 个单位得到, 所以点 B 的坐标也是向右平移 5 个单位后再向上平移 1 个单位得 B (6,4)
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B.比较大小: 8 cos31

?

35 (填“>” , “=” , “<” ) .

考点:科学计算器的使用:数的开方及三角函数值。 解析:按键顺序:易得填“>” 14.如图, 四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O,且 BD 平分 AC, 若 BD=8, AC=6, ∠BOC=120°,则四边形 ABCD 的面积为 .(结果保留根号) A D 考点:三角形面积的求法及特殊角的应用。 H O 解析:BD 平分 AC,所以 OA=OC=3,因为∠BOC=120°,
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所以∠DOC=∠A0B=60°,过 C 作 CH⊥BD 于 H, 过 A 作 AG⊥BD 于 G,在△CHO 中,∠C0H=60°,
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B

G C 第 14 题图

3 3 OC=3,所以 CH= 3 ,同理:AG= 3, 2 2

3 所以四边形 ABCD 的面积= S ?ABD ? S ?CBD ? 8 ? 3 ? 12 3 。 2 6 15.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数 y ? 的图象交 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,那 x
么 ( x2 ? x1 )( y 2 ? y1 ) 值为 .

文并茂

考点:正比例函数与反比例函数的交点的对称性的考查。 解析:因为 A,B 在反比例函数 y ?

6 上,所以 x1 y1 ? 6 ,我们知道正比例函数与反比例 x

函数的交点坐标关于原点成中心对称,因此 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 中有 x2 ? ? x1 , y 2 ? ? y1 , 所以 ( x2 ? x1 )( y 2 ? y1 ) ? (? x1 ? x1 )( ? y1 ? y1 ) ? 4 x1 y1 ? 4 ? 6 ? 24 G C C H

E F 16.如图,AB 是⊙O 的一条弦,点 C 是⊙O 上一动点, A B 且∠ACB=30°,点 E、F 分别是 AC、BC 的中点, 第 16 题图 直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点,若⊙O 的半径为 7, 则 GE+FH 的最大值为 . 考点:此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周 角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。 解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接 OA,OB, 因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以 OA=OB=AB=7,因为 E、F 中 AC、BC 的中点,
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所以 EF=

1 AB =3.5,因为 GE+FH=GH-EF,要使 GE+FH 最大,而 EF 为定值,所以 GH 取最大 2

值时 GE+FH 有最大值,所以当 GH 为直径时,GE+FH 的最大值为 14-3.5=10.5 三、解答题(共 9 小题,计 72 分.解答应写过程) 17. (本题满分 5 分) 解分式方程:

2 x ? ? 1. x ?4 x?2
2

考点:解分式方程,解题步骤是(1)对分子分母分解因式, (2)去分母化分式方程为整式 方程, (3)检验; (此题陕西命题的规律一般是分式化简与分式方程轮流考。 ) 。 解析:去分母得: 2 ? x( x ? 2) ? x ? 4
2
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2 2
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整理得: 2 ? x ? 2 x ? x ? 4 解得: x ? ?3 经检验得, x ? ?3 是原分式方程的根. 18. (本题满分 6 分) 如图,∠AOB=90°,OA=0B,直线 l 经过点 O,分别过 A、B 两点作 AC⊥ l 交 l 于点 C,BD⊥ l 交 l 于点 D. 求证:AD=OD. 考点:互余的性质应用、垂直的性质及三角形全等的判定。 解析: ∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠BOD=90° ∵AC⊥ l ,BD⊥ l ∴∠ACO=∠BDO=90° ∴∠A+∠AOC=90°∴∠A=∠BOD 又∵OA=OB ∴△AOC≌△OBD(AAS) ∴AC=OD 19. (本题满分 7 分) 我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛开展节约教育的通知》 ,通知中要求各学 校全面持续开展“光盘行动”. 某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度(程度分为: “A了解很多” , “B-了解较多” , “C-了解较少” , “D-不了解” ) ,对本市一所中学的学生进行了抽 样调查,我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.根据以上信息,解答下列问题: (1)本次抽样调查了多少名学生? (2)补全两幅统计图; (3)若该中学共有 1800 名学生,请你估计这所中学的所有学生中,对“节约教育”内 容“了解较多”的有多少名?
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被调查学生对“节约教育”内容了解程度的统计图
C 人数 D 60 50 40 30 20 10 0

B 45%

A 30%

36 24 6 A B C D 了解程度

考点:条形统计图,扇形统计图;此题陕西中考形式,难度与考点相对稳定。 解析:此题考查的是统计思想,从统计图表中读取信息,条形统计图能得知个体的数目, 扇形统计图能得出个体与总体的百分比。从而并能做出正确的判断。 解析: (1)抽样调查的学生人数为:36÷30%=120(名) (2)B 的人数:120×45%=54(名)
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C 的百分比:

24 ? 100 % ? 20% 120
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D 的百分比:

6 ? 100 % ? 5% 120

补全统计图如图所示;

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被调查学生对“节约教育”内容了解程度的统计图
C 20% 人数 D 5% 60 50 40 30 20 10 0 54 36 24 6 A B C D 了解程度
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B 45%

A 30%

(3)对“节约教育”内容“了解较多”的学生人数为:1800×45%=810(名) 20. (本题满分 8 分) 一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度,如图,当李明走到点 A 处时,张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等,接着李明沿 AC 方向继续向前 走,走到点 B 处时,李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB,并测得 AB=1.25m。已知李明 直立时的身高为 1.75m,求路灯的高 CD 的长.(结果精确到 0.1m) D

M

N

E

B A 第 21 题图

C

考点:此题考查稳定,就是考查解直角三角形,或者考查的是相似三角形的应用测量高度, 宽度等线段的长度的具体计算,将问题转换成方程(组)来求解,经常设置的具体的实际 情景得到与测量相关的计算; 解析:本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量,而此问题设置基本上就是应用 相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决, 解:如图,设 CD 长为 x m ∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA ∴MA∥CD,BN∥CD,∴EC=CD= x ,∴△ABN∽△ACD ∴ 即

BN AB ? CD AC

1.75 1.25 ? x x ? 1.75

解得 x ? 6.125 ? 6.1

所以路灯高 CD 约为 6.1 米 21. (本题满分 8 分) “五一节 “期间, 申老师一家自驾游去了离家 170 千米的某地, 下面是分们离家的距离 y (千 米)与汽车行驶时间 x (小时)之间的函数图象。
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(1) 求他们出发半小时时,离家多少千米? (2) 求出 AB 段图象的函数表达式 (3) 他们出发 2 小时时,离目的地还有多少千米?; 考点:此题考题与考点相对稳定,就是考查一次函数的应用及一次函数的增减性的判定, 也有可能考查一元一次不等式组的应用及方案问题。 解析:此题主要是将实际问题转化为函数的问题来解决,利用待定系数法来确定一次函数 的表达式,给出自变量的值来求出相应的函数值。 解: (1)由图象可设 OA 段图象的函数表达式为 y=kx y/千米 当 x=1.5 时,y=90; B 所以:1.5k=90 解得 k=60 即 y=60x, (0≤x≤1.5) 170 当 x=0.5 时,y=60×0.5=30 答:行驶半小时时,他们离家 30 千米。 A / (2)由图象可设 AB 段图象的函数表达式为 y ? k x ? b 90
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因为 A(1.5,90),B(2.5,170)在 AB 上,代入得

?90 ? 1.5k / ? b / 解得: k ? 80, b ? ?30 ? / ?170 ? 2.5k ? b
所以 y ? 80 x ? 30(1.5 ? x ? 2.5)

O

1.5 第 21 题图

2.5

x/小时

(3)当 x=2 时,代入得:y=80×2-30=130 所以 170-130=40 答:他们出发 2 小时时,离目的地还有 40 千米. 22. (本题满分 8 分) 甲、 乙两人用手指玩游戏, 规则如下: i)每次游戏时, 两人同时随机地各伸出一根手指; ii)两人伸出的手指中,大拇指只胜食指,食指只胜中指,中指只胜无名指,无名指只胜小 拇指,小拇指只胜大拇指,否则不分胜负,依据上述规则,当甲、乙两人同时随机地各伸出 一根手指时, (1)求甲伸出小拇指取胜的概率; (2)求乙取胜的概率. 考点:考查随机事件的概率的求法;列表法或画树状图法。考点稳定。 解析:对于随机事件的概率实质是本事件可能出现的结果与所有结果数的比为该事件的概 率,画树状图求概率时一定要分清楚具体每一步可能出现的结果,分布在仔细。
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解:设用 A、B、C、D、E 分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指,列表如下:

乙 甲 A B C D E

A AA BA CA DA EA

B AB BB CB DB EB

C AC BC CC DC EC

D AD BD CD DD ED

E AE BE CE DE EE

由表格可知:共有 25 种等可能的结果.
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(1) 所以甲伸出小指导取胜有 1 种可能的结果, P(甲伸出小拇指取胜)=

1 25

(2)由上表可知,乙取胜有 5 种可能的结果 所以 P(乙取胜)=

5 1 ? . 25 5
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23. (本题满分 8 分) 如图,直线 l 与⊙O 相切于点 D,过圆心 O 作 EF∥ l 交⊙O 于 E、F 两点,点 A 是⊙O A 上一点,连接 AE,AF,并分别延长交直线 l 于 B、C 两点; (1)求证:∠ABC+∠ACB=90°; (2)若⊙O 的半径 R ? 5 ,BD=12,求 tan∠ACB 的值. E O F 考点:切线的性质应用,圆内角的性质的应用, 正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及 正切值的求法。构造矩形的过程与 12 年的类似。 B D 解析:切线的性质的应用是:有切线,连切点, 第 23 题图 得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。

C

l

(1) 证明:如图,∵EF 是⊙O 的直径,∴∠EAF=90°,∴∠ABC+∠ACB=90° (2) 解:连接 OD,则 OD⊥BD.过点 E 作 EH⊥BC,垂足为点 H, A ∴ EH∥OD ∵EF∥BC,EH∥OD OE=OD ∴四边形 EODH 是正方形 .∴EH=HD=OD=5 ∵BD=12,∴BH=7, E O F BH 7 在 Rt△BEH 中,tan∠BEH= ?

EH

5

又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BEH
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B

H

∴tan∠ACB ?

7 . 5

D 第 23 题图

C

l

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24. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,一个二次函灵敏的图象经过点 A(1,0) 、B(3,0)两点. y (1)写出这个二次函数的对称轴; 3 (2)设这个二次函数的顶点为 D,与 y 轴交于点 C,

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它的对称轴与 x 轴交于点 E,连接 AD、DE 和 DB, 当△AOC 与△DEB 相似时,求这个二次函数的表达式。 [提示:如果一个二次函数的图象与 x 轴的交点
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2
1

为 A( x1 ,0), B( x2 ,0) A,那么它的表达式可表示 为: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ]
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-2 -1

O

-1

1

2

3

x

考点:此题在陕西的中考中也较固定,第(1)问主要考查待定 (第 24 题图) 系数法求二次函数的解析式,二次函数与坐标轴的交点坐标, 抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题;包括 最短距离与面积的最值等(等腰三角形,平行四边形,正方形,相似三角形,相似,全等 等问题。考查问题的综合能力要求较高,基本上都是转化为求点的坐标的过程。 解析:本题中(1)由抛物线的轴对称性可知,与 x 轴的两个交点关于对称轴对称,易求出
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对称轴; (2)由提示中可以设出函数的解析式,将顶点 D 与 E 的坐标表示出来,从而将两个三角形 的边长表示出来,而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题; 解: (1)对称轴为直线:x=2。 (2)∵A(1,0) 、B(3,0) ,所以设 y ? a( x ? 1)( x ? 3) 即 y ? ax ? 4ax ? 3a
2

当 x=0 时,y=3a,当 x=2 时,y= ? a ∴C(0,3a) ,D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A(1,0) 、E(2,0) , ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC 与△DEB 中, ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当

AO DE 时,△AOC∽△DEB ? OC EB

∴ 当 ∴

3 3 1 |a| 时,解得 a ? 或a ? ? ? 3 3 | 3a | 1

AO EB 时,△AOC∽△BED ? OC DE
1 1 时,此方程无解, ? | 3a | | a |
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综上所得:所求二次函数的表达式为:

y?

3 2 4 3 2 4 x ? 3x ? 3 或 y ? ? x ? 3x ? 3 3 3 3 3

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25. (本题满分 12 分)

问题探究 (1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M 是正方形 ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中 一条直线必须过点 M),使它们将正方形 ABCD 的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB+CD=BC,点 P 是 AD 的中点,如果 AB= a ,CD= b ,且 b ? a ,那么在边 BC 上是否存在一点 Q,使 PQ 所在直线将四边 形 ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在, 求出 BQ 的长; 若不存在, 说明理由.
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A

M

D D P A

图①

B 图②

C

B

图③

C

(第 25 题图)

考点:本题陕西近年来考查的有:折叠问题,勾股定理,矩形性质,正方形的 性质,面积问题及最值问题,位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分 问题。 解析:此题主要考查学生的阅读问题的能力,综合问题的能力,动手操作能力, 问题的转化能力,分析图形能力和知识的迁徙能力,从特殊图形到一般的过渡, 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。 (1)问较易解决,圆内两条互相垂直的直径即达到目的。 (2)问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线 的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊, 常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查,此题有 这些知识的积累足够解决。 (3)问中可以考虑构造( 1) (2)中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点 的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用,一是中线(倍长中线 构造全等三角形或者是平行四边形)二是中位线的应用。 解: (1)如图①所示. (2)如图②,连接 AC、BD 相交于点 O,作直线 OM 分别交 AD、BC 于 P、 Q 两点,过点 O 作用 OM 的垂线分别交 AB、CD 于 E、F 两点,则直线 OM、 EF 将正方形 ABCD 的面积四等分. 理由如下:
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P A M D F E B 答图① (第 25 题答案图) 答图② O Q C

∵点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,∴点 O 是正方形 ABCD 的对称中心 ∴AP=CQ,EB=DF, D 在△AOP 和△EOB 中, ∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE ∴∠AOP=∠BOE
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∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB ∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为 d . 1 1 1 1 ∴ ( AP ? AE)d ? ( BE ? BQ)d ? (CQ ? CF )d ? ( PD ? DF )d 2 2 2 2
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∴ S四边形 APOE ? S四边形 BEOQ ? S四边形 CQOF ? S四边形 POFD ∴直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分 另解:∵点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,∴点 O 是正方形 ABCD 的 中心 ∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45° ∵PQ⊥EF,∴∠POD+∠DOF=90°,∠POD+∠POA=90° ∴∠POA=∠DOF 同理:∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ ∴△ AOP≌△ BOE≌△ COQ≌△ DOF 1 ∴ S四边形 APOE ? S四边形 BEOQ ? S四边形 CQOF ? S四边形 POFD ? S 正方形 ABCD 4 ∴直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分 (3) 存在.当 BQ=CD= b 时,PQ 将四边形 ABCD 面积二等分. E F 理由如下:如图③,延长 BA 至点 E,使 AE= b , 延长 CD 至点 F,使 DF= a ,连接 EF. D ∴BE∥CF,BE=CF ∴四边形 BCFE 为平行四边形, P ∵BC=BE= a + b ,∴平行四边形 DBFE 为菱形 M A 连接 BF 交 AD 于点 M,则△MAB≌△MDF ∴AM=DM.即点 P、M 重合. B C ∴点 P 是菱形 EBCF 对角线的交点, 答图③ Q 在 BC 上截取 BQ=CD= b ,则 CQ=AB= a . (第 25 题答案图) 设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d
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∴ S ?ABP ? S ?QBP ?

1 1 ( AB ? BQ)d ? (CQ ? CD)d ? S ?CQP ? S ?CDP 2 2

所以当 BQ= b 时,直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.

另解:存在.当 BQ=CD= b 时,PQ 将四边形 ABCD 面积二等分. 理由如下:如图④,连接 BP 并延长 BP 交 CD 延长线于点 F,连接 CP ∵点 P 是 AD 的中点,∴PA=PD ∵AB∥CD,∴∠ABP=∠DFP,∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF ∴AB=DF,PB=PF,所以 CP 是△CBF 的中线,∴ S ?CPB ∵AB+CD=BC,DF+CD=BC,即:CB=CF,∴∠CBF=∠CFB ∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP 即 PB 是角平分线. ∴点 P 到 AB 与 CB 的距离相等, ∵BQ= b ,所以 CQ=AB= a
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答图④

Q

C

(第 25 题答案图)

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∴ S ?ABP

? S ?CQP ? S四边形 QCDP

∴ S四边形 ABQP

所以当 BQ= b 时,直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.

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