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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系B


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课时作业(五十三)B [第 53 讲 直线与圆锥曲线的位置关系] [时间:45 分钟 分值:100 分] x2 y2 1.双曲线 - =1 上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( ) 9 16 A.2 B.3 C.4 D.5 x2 2.斜率为 1 的直线被椭圆 +y2=1 截得的弦长的最大值为( ) 4 2 5 4 10 4 5 2 10 A. B. C. D. 5 5 5 5 3.过抛物线 y2=4x 的焦点作倾斜角为 135° 的弦 AB,则 AB 的长度是( ) A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 4.设抛物线 C 的顶点为原点,焦点 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点(2,2),则直线 l 的方程为________. 能力提升 5.动圆 M 的圆心 M 在抛物线 y2=4x 上移动,且动圆恒与直线 l:x=-1 相切,则动 圆 M 恒过点( ) A.(-1,0) B.(-2,0) C.(1,0) D.(2,0) x2 y2 2 2 6.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点, 则过点(m,n)的直线与椭圆 + = 9 4 1 的交点个数为( ) A.至多 1 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 x2 y2 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2 作倾斜角为 150° 的 a b 直线交双曲线左支于 M 点,若 MF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 8.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的 3 a 斜率为 ,则 的值为( ) 2 b 3 2 3 9 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 27 9.过原点的直线 l 被双曲线 y2-x2=1 截得的弦长为 2 2,则直线 l 的倾斜角为( ) A.30° 或 150° B.45° 或 135° C.60° 或 120° D.75° 或 105° x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为 A1、A2,一个虚轴端点为 B,若 a b 它的焦距为 4,则△A1A2B 面积的最大值为________. x2 y2 11.如图 K53-1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶 a b 点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30° ,则椭圆 E 的离心 率等于________. 基础热身

图 K53-1 12.抛物线 y2=4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________. x2 y2 13. 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个 a b 区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围是________. 14.(10 分)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两
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点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴,证明:直线 AC 经过原点 O.

15.(13 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1(- 3,0)、F2( 3,0)的距离之和是 4, 点 M 的轨迹是 C,直线 l:y=kx+ 2与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q. (1)求轨迹 C 的方程; (2)是否存在常数 k,使以线段 PQ 为直径的圆过原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存 在,请说明理由.

图 K53-2

x2 y2 16.(12 分) 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足|PF2| a b =|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 5 M,N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8

难点突破

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课时作业(五十三)B 【基础热身】 1.A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小,最小值为 2.故选 A. 2.B [解析] 当直线经过椭圆中心时,被椭圆截得的弦最长,将此时直线方程 y=x 代 2 2 4 10 入椭圆方程,得弦的一个端点的坐标为 M , ,于是弦长为 2|OM|= .故选 B. 5 5 5 3.C [解析] 抛物线的焦点为(1,0),设弦 AB 所在的直线方程为 y=-x+1 代入抛物线 方程,得 x2-6x+1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1x2=1,由弦长公式,得|AB| = 2×?62-4×1?=8.故选 C. 4.y=x [解析] 由题意知,抛物线 C 的方程 y2=4x. 2 ? ?y1=4x1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1≠x2,? 2 ?y2=4x2, ? y1-y2 4 2 y2 = =1, 1-y2=4(x1-x2),所以 x1-x2 y1+y2 l:y-2=x-2,即 y=x. 【能力提升】 5.C [解析] 因为直线 l 是抛物线的准线,根据抛物线的定义,圆心 M 到 F 的距离等 于 M 到抛物线准线 l 的距离.所以动圆 M 恒过抛物线的焦点 F(1,0).故选 C. |-4| 6.B [解析] 依题意,圆心到直线的距离大于半径,即 >2,所以 m2+n2<4, m2+n2 x2 y2 该不等式表明点(m,n)在以原点为圆心,2 为半径的圆内,而这个圆又在椭圆 + =1 内, 9 4 所以过点(m,n)的直线与椭圆有 2 个交点.故选 B. 7.C [解析] 由题意知△F1MF2 是直角三角形,且|F1F2|=2c,∠MF2F1=30° , 2 2 2 2 2 c 2c c 4 c c 4 c 所以|MF1|= ,于是点 M 坐标为?-c, ?.所以 2- 2=1,即 2- 2 2 =1,将 a 3b a 3?c -a ? 3? ? 3 c 1 e= 代入,化简整理,得 3e4-10e2+3=0,解得 e2= (舍去),或 e2=3,所以 e= 3.故选 a 3 C. 8.A [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=1-x 代入椭圆方程,得(a+b)x2-2bx+b x1+x2 b b -1=0,则 = ,即线段 AB 中点的横坐标为 ,代入直线方程 y=1-x 得纵坐 2 a+b a+b a a 3 标为 ,所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 = .故选 A. b 2 a+b 1 9.C [解析] 设直线 l 方程为 y=kx,代入双曲线方程得(k2-1)x2=1,∴x=± 2 , k -1 k y=± 2 , k -1 k ? ? 1 ∴两交点的坐标为 A? 2 , 2 ?, k -1? ? k -1 1 k ? ?, B?- 2 ,- 2 ? k -1 k -1? ? ? 2 ? ? 2k ?2=(2 2)2,解得 k=± 3, 由两点间距离公式得,|AB|2=? 2 ?2+? 2 ? ? k -1? ? k -1? ∴倾斜角为 60° 或 120° . a2+b2 c2 10.2 [解析] 依题意,S△A1A2B=ab≤ = =2,所以△A1A2B 面积的最大值为 2 2 2.

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2 2 11. 3 [解析] 设椭圆的半焦距为 c.因为四边形 OABC 为平行四边形, ∵BC∥OA, |BC| a 3b =|OA|,所以点 C 的横坐标为 ,代入椭圆方程得纵坐标为 .因为∠OAB=30° , 2 2 3b 3 a 所以 = × ,即 a=3b,a2=9a2-9c2, 2 3 2 2 2 所以 8a2=9c2,所以离心率 e= . 3 12.y2=2(x-1) [解析] 抛物线焦点为 F(1,0),设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 y1-y2 y 2 P(x, y), 则 y2 y2 =4x2, 作差得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)①.将 y1+y2=2y, = 1=4x1, x1-x2 x-1 y 代入①式,得 2y· =4, x-1 即 y2=2(x-1). ? ?b+2a>0, 13.(1, 5) [解析] 双曲线的渐近线为 bx± ay=0,依题意有? 即 b<2a,所 ?b-2a<0, ? c 以 c2-a2<4a2,那么 e= < 5.又 e>1,所以 e∈(1, 5). a p ? p 14.[解答] 证明:设过焦点 F? ?2,0?的直线 AB 的方程为 x=my+2,A(x1,y1),B(x2, y2). p ? ?x=my+2, 由? 消去 x,得 y2-2pmy-p2=0,

?y2=2px, ?

∴y1y2=-p2.

p ∵BC∥x 轴,且点 C 在准线 x=- 上, 2 p ? ∴点 C 的坐标为? ?-2,y2?. y2 2p y1 kCO= = = =kOA,故 AC 过原点 O. p y1 x1 - 2 15.[解答] (1)∵点 M 到(- 3,0),( 3,0)的距离之和是 4, ∴M 的轨迹 C 是长轴长为 4,焦点在 x 轴上,焦距为 2 3的椭圆, x2 其方程为 +y2=1. 4 (2)将 y=kx+ 2代入曲线 C 的方程, 消去 y,整理得(1+4k2)x2+8 2kx+4=0.① 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程①, 8 2k 4 得 x1+x2=- ,x x = .② 1+4k2 1 2 1+4k2 又 y1· y2=(kx1+ 2)(kx2+ 2)=k2x1x2+ 2k(x1+x2)+2.③ → → 若以 PQ 为直径的圆过原点,则OP· OQ=0, 所以 x1x2+y1y2=0, 6 将②、③代入上式,解得 k=± . 2 6 6 又因 k 的取值应满足 Δ>0, 即 4k2-1>0(*), 将 k=± 代入(*)式知符合题意. ∴k=± . 2 2 【难点突破】 16.[解答] (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c,整
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c? 2 c c c 1 1 理得 2? ?a? +a-1=0,得a=-1(舍),或a=2,所以 e=2. (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的方程为 y= 3 (x-c). 2 2 2 ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0.解得 x1 ?y= 3?x-c?,

?x1=0, 8 =0, x2= c.得方程组的解? 5 ?y1=- 3c,
所以|AB|=

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
2 2

8

8 3 3 ? 不妨设 A? c, B(0, - 3c), c , 5 ? ?5

?8c?2+?3 3c+ 3c?2 =16c. ?5 ? ? 5 ? 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN|?2 2 因为 d2+? ? 2 ? =4 , 3 所以 (2+c)2+c2=16,整理得 7c2+12c-52=0. 4 26 x2 y2 得 c=- (舍),或 c=2.所以椭圆方程为 + =1. 7 16 12

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