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高中数学人教版选修2-1课件:第三章 3-1 3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示_图文

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量基本定理 [提出问题] 如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4,在 AB, AD,AD1 上分别取单位向量 e1,e2,e3. 问题 1:e1,e2,e3 共面吗? 提示:不共面. ―→ 问题 2:试用 e1,e2,e3 表示 AB1 . ―→ 提示: AB1 =4e1+4e2+4e3. ―→ 问题 3:若 M 为 A1B1 的中点,能否用 e1,e1,e3 表示 AM ? ―→ 提示:能, AM =4e1+2e2+4e3. [导入新知] 空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc . 其中,{a,b,c}叫做空间的一个 基底 ,a,b,c 都叫做 基向量 . [化解疑难] 1. 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 基 底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. 2.由于 0 与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是 0. 3.向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都 可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础. 空间向量的正交分解及其坐标表示 [提出问题] {a,b,c}是空间的一个基底, {e1,e2,e3}是空间的单位正交 基底. 问题 1:基底中的每一个基向量一定是非零向量吗? 提示:一定. 问题 2:任一向量 p=xa+yb+zc,则数组(x,y,z)是唯一的 吗? 提示:是. 问题 3:单位正交基底之间的数量积 e1· e2,e1· e3,e2· e3, e1· e1,e2· e2,e3· e3 分别为多少? 提示:e1,e2,e3 是两两垂直的单位向量,故有 e1· e2=e2· e3 =e1· e3=0,e1· e1=e2· e2=e3· e3=1. [导入新知] 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底: 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1,e2,e3 称为 单位正交基底 . (2)空间直角坐标系: 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. (3)空间向量的坐标表示: 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移 ,使它 ―→ 的起点与原点 O 重合,得到向量 OP =p,由空间向量基本 定理可知, 存在有序实数组{x, y, z}, 使得 p= xe1+ye2+ze3 . 把 x,y,z 称作向量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标, 记作 p=(x,y,z) ,即点 P 的坐标为 (x,y,z) . [化解疑难] 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基 底为{e1,e2,e3},b=λe1+μe2+ke3,则 b 的坐标为(λ,μ,k). 空间向量基本定理的理解 [例 1] ―→ 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 OA =e1 ―→ ―→ +2e2-e3, OB =-3e1+e2+2e3, OC =e1+e2-e3,试判断 ―→ ―→ ―→ { OA , OB , OC }能否作为空间的一个基底. [解 ] ―→ ―→ ―→ 假设 OA , OB , OC 共面,由向量共面的充要条 ―→ ―→ ―→ 件知存在实数 x,y,使 OA =x OB +y OC 成立. ∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3). =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底, ∴e1,e2,e3 不共面, ?-3x+y=1, ? ∴?x+y=2, ?2x-y=-1, ? 此方程组无解, ―→ ―→ ―→ 即不存在实数 x,y,使 OA =x OB +y OC 成立. ―→ ―→ ―→ ∴ OA , OB , OC 不共面. ―→ ―→ ―→ 故{ OA , OB , OC }能作为空间的一个基底. [类题通法] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判 断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次 判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是 否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程 组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量 不共面. [活学活用] 设 x=a+b, y=b+c, z=c+a, 且{a, b, c}是空间的一个基底. 给 出下列向量组: ①{a,b,x}, ②{x,y,z}, ③{b,c,z}, ④{x,y,a+b+c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有______个. ―→ ―→ ―→ 解析: 如图, 所设 a= AB , b= AA1 , c= AD , ―→ ―→ ―→ ―→ 则 x= AB1 , y= AD1 , z= AC , a+b+c= AC1 . 由 A,B1,D,C 四点不共面可知向量 x,y,z 也不共面.同 理可知 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,可以作为空间 的基底.因 x=a+b,故 a,b,x 共面,故不能作为基底. 答案:3 空间向量基本定理的应用 [例 2] 如图, 四棱锥 POABC 的底面为一矩形, ―→ ―→ ―→ PO⊥平面 OABC, 设 OA =a, OC =b, OP =c, E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表 ―→ ―→ ―→ ―→ 示 BF , BE , AE , EF . [解] 连接 BO, ―→ 1―→ 1 ―→ ―→ 则 BF = BP = ( BO + OP ) 2 2 1 1 1 1 = (c-b-a)=- a- b+ c, 2 2 2