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编号31 2.2.1(2)分析法


2.2.1(2)分析法

a+b 探究一:分析基本不等式: 2 ?

ab

(a>0,b>0)的证明.
a+b ? ab 证明:要证 2 只需证 a + b ? 2 ab

只需证 a + b ? 2 ab ? 0 只需证 ( a ? b ) ? 0
2

因为 ( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab 成立

a+b ? 分析基本不等式: 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

还原成综合法: 证明:
2 ( a ? b ) ?0 因为;

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
( a ? b) ? 0 只需证;
2

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

a+b ? ab 成立 所以 2 ab成立

从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一 步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明的方 法叫做分析法. 这个明显成立的条件可以是: 已知条件、定理、定义、公理等

特点: 执果索因 逆流而上 即: 要证结果Q,只需找条件P
分析法的框图表示
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3

???

得到一个明显 成立的条件P

分析法的特点 (1)思维特点:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”, 其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的充分条件的过程. (2)思维过程:由结果追溯原因,即寻求结果成立的充分条 件. (3)优点:容易探路且探路与表述合一;缺点:表述烦琐且不 习惯,容易出错. (4)作用:在实际解题时,常常先以分析法为主寻求解题思路, 再用综合法有条理地表述过程.

例1:求证

3? 7 ?2 5

证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数, 所以要证明 3? 7 ?2 5 只需证明 ( 3 ? 7)2 ? (2 5)2

展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 21 ? 5 只需证明21<25,因为21<25成立,
所以不等式
3 ? 7 ? 2 5 成立。

用分析法证明不等式时应注意的问题: (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分 条件是已知(或已证)的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好 反推符号“?”或“要证明”、“只需证明”、 “即证明”等词语.

◎求证: 3+ 6< 4+ 5.

【错解】

证明:由不等式 3+ 6< 4+ 5,

平方得 9+6 2<9+4 5, 即 3 2<2 5,所以 18<20. 因为 18<20, 所以 3+ 6< 4+ 5.

【错因】 没有按照分析法的过程来证明 以论证“若A,则B”为例,分析法的书写格式为:欲证 命题B成立,只需证命题B1成立,只需证命题B2成立,?, 只需证A成立.由已知A成立,故B必成立.

【正解】 证明:欲证不等式 3+ 6< 4+ 5成立, 只需证 3+2 18+6<4+2 20+5 成立, 即证 18< 20成立, 即证 18<20 成立. 由于 18<20 显然成立,故 3+ 6< 4+ 5.

例 2 如图 2.2 ? 1 所示 , SA ? 平面ABC, AB ? BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF ? SC.

S
F

E A

C

分析 本例所给的已知条件 B 图2.2 ? 1 中,垂直条件较多 ,我们不容易 确定如何在证明中使用 它们 ,因而用综合法比 较困难 .这时,可以从结论出发 , 逐步反推 ,寻求使 当前命题成立的充分条 件. 在立体几何中 , 通常可以把证明两条直 线互相垂直 的问题,转化为证明直线与平面 垂直的问题 .

在本例中,可以考虑 F 证AF ? 平面SBC或 E 证SC ? 平面AEF.要 C A 证AF ? 平面SBC,需 B 要证AF ? SB, AF ? 图2.2 ? 1 BC成立;要证SC ? 平 面AEF,需要证SC ? AE, SC ? EF成立. 而已知条件 " 过E作SC的垂线 ,垂足为F(转化 为符号语言就是 EF ? SC)"已经满足了SC ? 平面 AEF 所需要的两个条件中的 一个,因此 可以朝证明SC ? 平面AEF这个方向努力 .

S

证明 要证 AF ? SC 只需证 SC ? 平面 AEF,

S
F

只需证 AE ? SC (因为 ), 只需证 AE ? 平面SBC, 只需证 AE ? BC (因为 ), 只需证 BC ? 平面SAB,
只需证 BC ? SA (因为

E A

C
B 图2.2 ? 1

),

由SA ? 平面ABC可知,上式成立 .所以, AF ? SC.

[证明过程] 用综合法表述 ∵SA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴SA⊥BC, 又∵AB⊥BC,AB∩SA=A,∴BC⊥平面SAB, ∵AE?平面SAB,∴BC⊥AE, ∵AE⊥SB,SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC, ∵SC?平面SBC,∴AE⊥SC, 又∵EF⊥SC,AE∩EF=E, ∴SC⊥平面AEF, ∴SC⊥AF,即AF⊥SC.

分析法与综合法的综合应用
π 已知 α,β≠kπ+2(k∈Z), 且 sin θ+cos θ=2sin α ①,sin θ· cos θ=sin2β ②. 1-tan2α 1-tan2β 求证: = . 1+tan2α 2?1+tan2β?

[思路点拨]

比较条件和结论 → 由①②式消去θ角

→ 得只含角α,β的等式 → 用分析法从结论出发化切为弦 → 整理得由条件推出的等式 → 问题得证

由①得(sin θ+cos θ)2=4sin2α, 即 1+2sin θcos θ=4sin2α 把②代入上式并整理得:4sin2α-2sin2β=1 ③ 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 2 = 2 , 1+tan α 2?1+tan β? sin2α sin2β 1-cos2α 1-cos2β 只需证 sin2α = ? sin2β ? 1+cos2α 2?1+cos2β? ? ?
1 即证 cos α-sin α=2(cos2β-sin2β),
2 2

2分 4分

6分
8分

1 只需证 1-2sin2α=2(1-2sin2β), 即证 4sin2α-2sin2β=1. 由于上式与③相同,于是问题得征. 10 分 12 分

用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 ,则上述过 程可用框图表示为:

P ? P1 P1 ? P2
Pn?1 ? Pn ? Qm?1 ? Qm

Q ? Q1 Q1 ? Q 2

???

???

“分析综合法”又叫混合型分析法,是同时 从已知条件与结论出发,寻找其之间的联系而沟通思路的方 法.在解题过程中,分析法和综合法是统一的,不能把分析法 和综合法孤立起来使用,分析和综合相辅相成,有时先分析后 综合,有时先综合后分析.分析综合法的方法结构如图所示: 已知条件 → 中间结果 ← 结论

例4:设a,b,c为一个三角形的三边,且S =2ab, 1 s = (a + b + c), 试证: S < 2a 2
s2 解:欲证S<2a,只需证 s ? b
即证b<S,也即证 b ? 1 (a ? b ? c)
2

2

即证b<a+c 因为a,b,c为一个三角形的三边,所以b<a+c成立. 故S<2a成立.

直接证明方法有几种?

有两种: 综合法、分析法
证法有什么异同? 相同

都是直接证明
公理、定理为依据,逐步下推,直到推出 要证明的结论为止 分析法:从问题的结论出发,追溯导致结 论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成 立的条件和已知条件吻合为止

不同 综合法:从已知条件出发,以已知的定义、

直接证明
综合法和分析法的推证过程如下: 综合法
已知条件

????? 结论

分析法
结论

????? 已知条件

[类题通法] 综合法与分析法的适用范围 (1)综合法适用的范围: ①定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件 的等式或不等式问题等; ②已知条件明确, 且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结 论的题型. (2)分析法适用的范围: 分析法的适用范围是已知条件不明确, 或已知条件简便而结论式 子较复杂的问题.

小结: 由 因 导 果 顺 藤 摸 瓜

得心应手

执 果 索 因 逆 推 破 案


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