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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第二章函数2.4一次函数、二次函数


2.4

一次函数、二次函数

考纲要求 1.理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质. 2.会求二次函数在闭区间上的最值. 3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题.

1.一次函数、二次函数的定义及性质 函数 一次函数 名称 解析式 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0 图象
ZXXK]

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0
[来源:学#科#网 Z#X#X#K][来源:学。科。网]

[来源:Z_xx_k.Com]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网

定义域 值域 单调性

__________ __________ 在(-∞, +∞)上是 ______ 在(-∞, +∞) 上是______

奇偶性 周期性 顶点 对称性

当 b≠0 时,__________; 当 b=0 时,_____ _ 非周期函数

过原点时,关于____对称 k=0 时,关于____对称 2.二次函数的解析式 (1)一般式:f(x)=______________; (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为:f(x)=______________; (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为 x1,x2,则其解析式为 f(x)=______________. 1 1.在同一坐标系内,函数 y=xa(a<0)和 y=ax+ 的图象可能是如图中的( a ).

__________ __________ __________ 在________上 在________上 是减函数; 是增函数; 在________上 在________上 是增函数 是减函数 当 b≠0 时,__________; 当 b=0 时,______ 非周期 函数 ____________ 图 象关于直线________成轴对 称图形

2.“a<0”是“方程 ax2+1=0 有一个负数根”的( ). A.必要不充分 条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 .函数 f(x) = 4x2 - mx + 5 在区间 [ - 2 ,+∞) 上是增函数,则 f(1) 的取值范围是

__________. 4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=__________. 5.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的 最小值为__________.

一、一次函数的概念与性质的应用 【例 1-1】已知 f(x)是一次函数 ,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则函数 f(x)= __________. 【例 1-2】已知函数 y=(2m-1)x+1-3m,m 为何值时, (1)这个函数为正比例函数; (2)这个函数为一次函数; (3)函数值 y 随 x 的增大而减小. 方法提炼 一次函数 y=kx+b 中斜率 k 与截距 b 的认识:一次函数 y=kx+b 中的 k 满足 k≠0 这一 条件,当 k=0 时,函数 y=b,它不再是一次函数,通常称为常数函数,它的图象是一条与 x 轴平行或重合的直线. 请做演练巩固提升 3 二、求二次函数的解析式 【例 2】已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. 方法提炼 在求二次函数解析式时,要灵活地选择二次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般形式; (2)已知顶点坐标或对称轴或最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与 x 轴的交点坐标,应选择两根式. 提醒: 求二次函数的解析式时, 如果选用的形式不当, 引入的系数过多, 会加大运算量, 易出错. 请做演练巩固提升 2 三、二次函数的综合应用 【例 3-1】设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x )=0 只有一个实根; ③f(x)的图象关于(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实根. 其中正确的命题是( ). A.①④ B.①③ C.①②③ D.②④ 【例 3-2】(2012 北京高考)已知 f(x)=m(x-2m)· (x+m+3), g(x)=2x-2.若?x∈R,f(x) <0 或 g(x)<0,则 m 的取值范围是__________. 方法提炼 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与各系数间的关系: (1)a 与抛物线的开口方向有关; (2)c 与抛物线在 y 轴上的截距有关; b (3)- 与抛物线的对称轴有关; 2a (4)b2-4ac 与抛物线与 x 轴交点的个数有关. 2.关于不等式 ax2+bx+c>0(<0)在 R 上的恒成立问题:

? ? ?a>0, ?a=b=0, 解集为 R?? 或? ?Δ<0 ? ? ?c>0. ? ? ? ?a<0, ?a=b=0, ? 或? ?解集为R?? ? ?Δ<0 ?c<0. ? ? ? ?

请做演练巩固提升 5 分类讨论思想在二次函数中的应用 【典例】(12 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. 分析: (1)求 a 的取值范围, 是寻求关于 a 的不等式, 解不等式即可. (2)求 f(x)的最小值, 由于 f(x)可化为分段函数,分段函数的最值分段求,然后综合在一起.(3)对 a 讨论时,要找 到恰当的分类标准. 规范解答:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0, 即 a<0,由 a2≥1 知 a≤-1, 因此,a 的取值范围为(-∞ ,-1].(3 分) (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a2 ? ① x- ?2+ ,x>a, ?3? 3 =? ? 3? ②?5分? ? ??x+a?2-2a2,x≤a. 当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a? 2 2 当 a<0 时,f? ?3?=3a ,若 x>a, 2 则由①知 f(x)≥ a2. 3 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a2> a2. 3 2 2 此时 g(a)= a , 3 -2a ,a≥0 ? ? 综上,得 g(a)=?2a2 .(9 分) ,a<0 ? ?3 6 2 (3)①当 a∈?-∞,- ?∪? ,+∞?时,解集为(a,+∞); 2? ?2 ? ? 2 2 ?a+ 3-2a2 ? ②当 a∈?- , ?时,解集为? ,+∞?; ? 2 2? 3 ? ? 6 2 ③当 a∈?- ,- ?时,解集为 2? ? 2 ? a- 3-2a2?∪?a+ 3-2a2 ? ?a, ? ? ,+∞?.(12 分) 3 3 ? ? ? ?
2

答题指导:
1.分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一,本题充分体现了分类讨论的 思想方法. 2.在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时,讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围,易出错;二是求函数最

值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最后的结论. 3.解决函数问题时,以下几点容易造成失分: (1)含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误; (2)分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较出大小关 系; (3)解一元二次不等式时,不能与二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻. 4.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1 ,k2]时,利用配方法 4ac-b2 求函数的最值 是极其危险的,一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况, 4a 有时要讨论下列四种情况: k1+k2 b b k1+k2 b b ①- <k1;②k1≤- < ;③ ≤- <k2;④- ≥k2.对于这种情况,也 2a 2a 2 2 2a 2a 可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值.

1. 一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在 同一坐标系中的图象大致是(

).

2.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,则 f(x)=( ). 2 2 A.x +x B.x -x+1 C.x2+x-1 D.x2-x-1 3.已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=3x+2,则 f(x)=__________. 4.(2012 重庆高考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=__________. 5.函数 f(x)=ax2+ax-1,若 f(x)<0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是__________.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 4ac-b 4ac-b ? ? ? ?-∞,- b ? 1.R R R ? 2a? ? 4a ,+∞? ?-∞, 4a ? 增函数 减函数 ? b b b ?- ,+∞? ?-∞,- ? ?- ,+∞? 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 2a? ? 2a ? 2a ? ? ? 2 b b 4ac-b ? 偶函数 ?- , 原点 y 轴 x=- 2a 4a ? ? 2a 2.(1)ax2+bx+c(a≠0) (2)a(x-h)2+k(a≠0) (3)a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 基础自测 1.B 2.B m 3.[25,+∞) 解析:由题意知 ≤-2, 8 ∴m≤-16,∴f(1)=9-m≥25. 4.2 解析:∵f(x)=(x-1)2+1, ∴f(x)在[1,b]上是增函数, f(x)max=f(b), ∴f(b)=b,即 b2-2b+2=b. ∴b2-3b+2=0.∴b=2 或 b=1(舍). a+2 5.5 解析:由题意知- =1, 2 解得 a=-4,∴b=6. 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5, 当 x∈[-4,6]时,f(x)min=5. 考点探究突破 【例 1-1】 2x+7 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0),则 3f(x+1)-2f(x-1) =3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b] =3k(x+1)+3b-2k(x-1)-2b =kx+5k+b, 由题意得,kx+5k+b=2x+17, ? ? ?k=2, ?k=2, ∴? 解得? ?5k+b=17, ?b=7. ? ? ∴f(x)=2x+7. ? ?2m-1≠0, 【例 1-2】 解:(1)当? ?1-3m=0, ? 1 即 m= 时,函数为正比例函数. 3 1 (2)当 2m-1≠0,即 m≠ 时,函数为一次函数. 2 1 (3)当 2m-1<0,即 m< 时,函数为减函数,y 随 x 的增大而减小. 2 【例 2】 解:依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ . a
2 2

而 x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) 15? 90 =23-3×2×? ?1+ a ?=2- a , 90 ∴2- =17,则 a=-6. a ∴f(x)=-6x2+12x+9. 【例 3-1】 C 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x) 是奇函数,排除 D; b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c=0, ∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x< 0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c,只有一个实数根, 排除 A,B,故选 C. 【例 3-2】 (-4,0) 解析:由题意可知,m≥0 时不能保证对?x∈R,f(x)<0 或 g(x) <0 成立. (1)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象①,显然满足条件; ? ?-1<m<0, (2)当-1<m<0 时,2m>-(m+3),要使其满足条件,则需? 解得-1<m ?2m<1, ? <0,如图②; ? ?m<-1, (3)当 m<-1 时,-(m+3)>2m,要使其满足条件,则需? 解得-4<m ?-(m+3)<1, ? <-1,如图②.

综上可知,m 的取值范围为(-4,0). 演练巩固提升 1.C 2.B 解析:令 f(x)=ax2+bx+1(a≠0), ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴2 ax+(a+b)=2x. ? ? ?2a=2, ?a=1, ∴? 得? ?a+b=0, ?b=-1. ? ? 2 ∴f(x)=x -x+1,故选 B. 3. 3x+ 3-1 或- 3x- 3-1 解析:令 f(x)=ax+b, 则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
2 ? ?a= 3, ?a=- 3, ?a =3, ? ∴ ∴? 或? ?ab+b=2, ? ?b= 3-1 ?b=- 3-1.

∴f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1. 4.4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a.因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=x2+(4-a)x-4a= x2+(a-4)x-4a,a-4=4-a,a=4. 5.-4<a≤0 解析:当 a=0 时,f(x)=-1<0,

当 a≠0 时,若 f(x)<0 在 R 上恒成立, ?a<0, ? 则有? 即-4<a<0. 2 ? ?Δ=a +4a<0, 综上得-4<a≤0.


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