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基本不等式第一课时(修改后)


课题导入

上图是在北京召开的第 24届国际数学家大会 的 会标,会标是根据中国 古代数学家赵爽的"弦 图 "设计的.你能在这个 图中找出一些相等关系 或 不等关系吗?

基本不等式
第一课时

目标引领
1、掌握基本不等式的证明过程. 2、能利用基本不等式证明简单

不等式.

独立自学
? 阅读课本P97~P98页内容,回答问题: ? 1、S直角三角形=?S正方形ABCD=?两者有什么 关系? ? 2、如果a>0,b>0 ,用 a , b 分别代替a,b. 我们将得到什么结果?

引导探究
“风车”中有哪些相等 关系和不等关系?【面 1 积】 S ? ab
直角三角形

S正方形ABCD

2 2 2 ? a ?b

a ? b ? 2ab
2 2

S正方形ABCD ? 4S直角三角形

引导探究一
A D

a ?b
2

2

b

H E F G

不等关系 S大正方形 ? 4S直角三角形
当小正方形EFGH缩为一个点,

a
B

C 即 a=b 时,“ = ”成立。
由上述不等关系可得

a ? b ? 2ab
2 2

重要不等式
定理:如果
2

a, b ? R
2

,那么 “=”号)

a ? b ? 2ab
(当且仅当

a?b

时取

引导探究二:


引导探究
分别代替 a 2

a ? 0, b ? 0 时,能用 a 、 b 中的 a 、b 吗?会得到什么结果?

? b ? 2ab
2

若aa>0 ∈R,b ,b>0 ∈R
2 2 那么 a + b 那么a +b ≥2 ≥2 aab b
(当且仅当 a=b 时,取得“ = ”号)

如何从数的角度证明:

a ? b ? 2ab
2 2

如果a>0,b>0 ,用 a , b 分别代替a,b. 我们将得到什么结果?

a?b ? ab 2

(a ? 0, b ? 0)

几何平均数 算术平均数 不小于 如何从数列角度认识它?

基本不等式
a?b ? 当且仅当 a ? b 时, 2
a?b ? 2 ab ( a ? 0, b ? 0)

ab

算术平均数

几何平均数

1.两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
2.两个正数的等差中项大于或等于它们正的等比中项。

a ? b 证明基本不等式: ? ab 2 a ? b 要证: ①
2 只要证: a ? b ? 2 ab ? ab

引导探究

(a ? 0, b ? 0)

② ③ ④

要证②,只要证 要证③,只要证

a ? b ? 2 ab ? 0

( a ? b )2 ? 0

④式显然成立.当且仅当a=b时, ④中的等号成立.

分析法:执果索因

练习:

引导探究

大 值 为 ____; 1 . 已 知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 8, 则 ab的 最 ___ 16 2 . 已 知 a ? 0, b ? 0, a ? 2 b ? 8, 则 ab的 最大 ___ 值 为 ____; 8

6 ____; 2 4.已知a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? 2b的最 小 ___ 值为

小 3.已知a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? b的最 _ __ 值为 ____; 6

总结: 注意从不同角度认识基本不等式

S (1)a ? b ? S (定值),则(ab) max ? 4 (2) ab ? p (定值),则(a+b) min =2 p

a ? b ? 2 a b (积定和有最小值) 2 ? a ? b ? (和定积有最大值) ab ? ? ? ? 2 ?

a?b ≥ ab 2

a ? 0, b ? 0

2

目标再现
1、两个不等式:

⑴ a 2 ? b 2 ? 2ab (a, b ? R ) ⑵
当且仅当 a ? b 时,等号成立。
a?b ab ? , (a ? 0, b ? 0) 2

2、基本不等式的两个变形:

当且仅当 a ? b 时,等号成立。
一、正;二、定;三、相等。

⑴ a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0) a?b 2 ⑵ ab ? ( ) (a ? 0, b ? 0) 2

3、利用基本不等式求最值的三个条件:

当堂诊学
必做题
1 (1)当x ? 0时,x ? 的最小值是? 此时x的值是? x 1 (2)当x ? 0时,x ? 的最值是?此时 x的取值是? x
x? x x?0 1 x

4 求f ( x) ? ? x值域 ? x

提高题

提高题
4 . 已知 x ? 3, 求f ( x) ? ? x的最小值。 x ?3

强化补清
? 课本100页练习3.4 A组第1、2题

12 (3)若x>0,求f(x)= ? 3x的最小值。 x

1 1 ? ? (1)a ? ? 2( a ? R ) a ? ? ?2( a ? R ) a a b a b a (2) ? ? 2( a, b同号) ? ? -2( a, b异号) a b a b

必做题

当堂诊学

提高题

12 (4)若x<0,求f(x)= ? 3 x的最大值。 x

12 (5)若x ? 0,求f(x)=| ? 3 x|的最小值。 x

引导探究
a,b均为正数,证明不等式

2 (1) ab ? 1 1 a ? b

a ?b a?b (2) ? . 2 2
2 2

总结:不等式链
2 a?b a ?b ? ab ? ? 1 1 ? 2 2 a b
2 2

调和平均数<=几何平均数<=算术平均数<=平方平均数


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