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第七章——不等式


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第七章

不等式

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考纲要求 备考策略 不等式是中学数学的主体内容之一,湖 南省 2011 年高考对本章内容考查的是 7、 10、 22 题,共计 23 分.一般以选择、填空题的形 式考查不等式的性质,简单不等式、绝对值 不等式的解法,求参数范围,比较大小等; 解答题主要考查含参不等式的解法、求恒成 立时的参数范围、证明不等式、最值型综合 题以及实际应用题等. 复习时采用以下应对策略: 1.在复习中要深刻理解不等式的基本性 质,在不等式变形中严格按照其性质进行, 熟练掌握不等式的解法,分类讨论、换元、 数形结合是解不等式的常用方法. 2.证明不等式的方法灵活多样,但比较 法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基 本方法,在证明不等式前,要依据题设和待 证不等式的结构特点、内在联系,选择适当 的证明方法. 3.不等式应用问题体现了一定的综合 性,这类问题大致可以分为两类:一类是建 立不等式、解不等式;另一类是建立函数式 求最大值或最小值. 4.不等式与函数一样,综合性极强,高 考时有关不等式的解答题通常都安排在比较 靠后的位置,甚至很多是压轴题,虽然如此, 在高考复习时还是要控制难度,以免做无用 功.

1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了 解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等 式模型; (2)通过函数图象了解一元二次不等式与 相应的二次函数、一元二次方程的联系; (3)会解一元二次不等式,对给定的一元 二次不等式,会设计求解的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单线性规划问 题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等 式组; (2)了解二元一次不等式组的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组; (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二 元线性规划问题,并能加以解决. a+b 4.基本不等式: ≥ ab(a,b≥0) 2 (1)了解基本不等式的证明过程; (2)会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.

知识网络

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7.1
考点诠释

不等式的性质

重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问 题. 难点:用不等式(组)正确表示不等关系,要求理解不等式的基本性质,并能解决一些简 单的问题.

典例精析
题型一 比较两个式子(或数)的大小 【例 1】比较下列各组中两个代数式的大小: (1)(x-3)2 与(x-2)(x-4); (2)当 x>1 时,x3 与 x2-x+1; (3) 7+ 10与 2+ 13. 【思路分析】(1)(2)可直接利用作差法比较大小;(3)应先平方再作差比较大小. 【解析】(1)(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0, 所以(x-3)2>(x-2)(x-4). (2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1), 因为 x>1,所以 x3-(x2-x+1) >0, 所以当 x>1 时,x3>x2-x+1. (3)因为 7+ 10>0,2+ 13>0,且 ( 7+ 10)2-(2+ 13)2=2 70-4 13=2 70-2 52>0, 所以 7+ 10>2+ 13. 【方法归纳】比较两个代数式的大小,通常采用作差比较法,当两个代数式都有根号, 作差后不好变形时,可以作平方差,但要注意只有两个代数式同号时,才可以作平方差比较 大小,否则要先将两代数式变形后再比较. 【举一反三】1.已知 a>0,a≠1,P=loga(a3-a+1),Q=loga(a2-a+1),试比较 P 与 Q 的大小. 【解析】因为 a3-a+1-(a2-a+1)=a2(a-1), 当 a>1 时,a3-a+1>a2-a+1,P>Q; 当 0<a<1 时,a3-a+1<a2-a+1,P>Q; 综上所述,当 a>0,a≠1 时,P>Q. 题型二 确定取值范围 π π α +β α -β 【例 2】已知- ≤α <β≤ ,求 , 的取值范围. 2 2 2 2 【思路分析】根据已知不等关系,按照不等式性质进行变形得出结果. π π 【解析】因为- ≤α<β≤ , 2 2 π α π π β π 所以- ≤ < ,- < ≤ , 4 2 4 4 2 4 π α+β π 两式相加得- < < . 2 2 2 π -β π π α-β π 又- ≤ < ,所以- ≤ < , 4 2 4 2 2 2 α-β 又因为 α<β,所以 <0, 2 π α-β 所以- ≤ <0, 2 2

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π α+β π π α-β 综上,- < < ,- ≤ <0 为所求范围. 2 2 2 2 2 【方法归纳】在利用不等式基本性质求范围时,一定要强调不等式性质中条件的作用, 不等式的两边同乘以(或除以)一个含有字母的式子时,一定要知道它的值是正还是负,并且 不能为零,才能得到正确结论.同向不等式只能相加,不能相减. 【举一反三】2.已知函数 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值 范围. 【解析】由已知-4≤f(1)=a-c≤-1,-1≤f(2)=4a-c≤5. 令 f(3)=9a-c=γ(a-c)+μ(4a-c), 5 γ=-3, ?γ+4μ=9, ? 所以? ? 8 ? ?-γ-μ=-1 μ= . 3 5 8 故 f(3)=- (a-c)+ (4a-c)∈[-1,20]. 3 3 题型三 开放性问题 c d 【例 3】已知三个不等式:①ab>0;② > ;③bc>ad.以其中两个作条件,余下的一 a b 个作结论,则能组成多少个正确命题? 【思路分析】这类开放性问题,可以把其中两个不等式作条件,利用不等式的性质,讨 论是否能推得另一个不等式,即可判断正误. 【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式②作等价变形: c d bc-ad > ? >0. a b ab bc-ad (1)由 ab>0,bc>ad? >0,即①③?②; ab bc-ad (2)由 ab>0, >0?bc-ad>0?bc>ad, ab 即①②?③; bc-ad (3)由 bc-ad>0, >0?ab>0,即②③?①. ab 故可组成 3 个正确命题. 【方法归纳】这是一类开放性问题,要求熟练掌握不等式的相关性质,并能对题目条件 进行恰当的等价变形. a c 【举一反三】3.a、b、c、d 均为实数,使不等式 > >0 和 ad<bc 都成立的一组值(a,b, b d c,d)是 (2,1,-3,-2) (只要写出符合条件的一组即可). 2 4 4 【解析】写出一个等比式子,如 = >0.此时内项的积和外项的积相等,减小 的分子, 1 2 2 2 3 2 -3 把上式变成不等式 > >0, 此时不符合 ad<bc 的条件, 进行变换可得 > >0, 此时 2×(- 1 2 1 -2 2)<1×(-3).故(2,1,-3,-2)是符合要求的一组值.

? ? ?

体验高考
1 1 (2011 浙江)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的( ) b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 【解析】当 0<ab<1 时,若 b>0,则有 a< ;若 b<0,则 a<0,从而有 b> .故“0<ab<1”是 b a 1 1 1 1 “a< 或 b> ”的充分条件.反之,取 b=1,a=-2,则有 a< 或 b> ,但 ab<0.故选 A. b a b a 【举一反三】(2011 大纲全国)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是( A )
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A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 【解析】由 a>b+1 得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不能得出 a>b+1,因此,使 a>b 成 立的充分不必要条件是 a>b+1,故选 A.

7.2 简单不等式的解法
考点诠释
重点: 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型, 结合相应的二次函数图象求解不等式, 体现数形结合的思想. 难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.

典例精析
题型一 一元二次不等式的解法 【例 1】(1)解不等式 x2-2x-3>0; (2)已知 A={x|3x2-7x+2<0},B={x|-2x2+x+1≤0},求 A∪B,(?RA)∩B. 【思路分析】解出相应的一元二次方程的根,再结合相应的二次函数图象写出一元二次 不等式的解集. 【解析】(1)方程两根为 x1=-1,x2=3, 所以原不等式解集为{x|x<-1 或 x>3}. 1 1 1 (2)因为 A={x| <x<2},?RA={x|x≤ 或 x≥2},B={x|x≤- 或 x≥1}, 3 3 2 1 1 所以 A∪B={x|x≤- 或 x> }, 2 3 1 (?RA)∩B={x|x≤- 或 x≥2}. 2 【方法归纳】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密,要注意互 相转化,同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于 Δ>0 的 不等式的解集简记为“大于取两端,小于取中间” . ?-2(x>0), ? 【举一反三】1.设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x ? ?x +bx+c(x≤0), 的不等式 f(x)≤1 的解集为( C ) A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1] C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞) 【解析】由已知当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,且 f(-4)=f(0),知其对称轴为 x=-2,故 b - =-2?b=4. 2 ? ?-2(x>0), 又 f(-2)=0,代入得 c=4,故 f(x)=? 2 ?x +4x+4(x≤0). ? ? ? ?-2≤1, ?x≤0, 因此 f(x)≤1?? 或? 2 ? ? ?x>0 ?x +4x+4≤1, 解得不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题 【例 2】解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0 (a∈R). 【思路分析】原不等式可变形为(x-a)(x-a2)>0,故需比较(x-a)(x-a2)=0 的两根 a 与 2 a 的大小,从而确定对 a 进行分类的标准. 【解析】原不等式可变形为(x-a)(x-a2)>0, 则方程(x-a)(x-a2)=0 的两个根为 x1=a,x2=a2. 当 a<0 时,有 a<a2,所以 x<a 或 x>a2, 此时原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,有 a>a2,所以 x<a2 或 x>a,
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此时原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a>1 时,有 a2>a,所以 x<a 或 x>a2, 此时原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 a=0 时,有 x≠0, 此时原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; 当 a=1 时,有 x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠1}. 综上可知:当 a<0 或 a>1 时, 原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; 当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠1}. 【方法归纳】对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式, 再对参数进行讨论;若不易因式分解,可对判别式分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系 数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便 确定解集的形式,最后对相应的方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. ax-1 【举一反三】2.解关于 x 的不等式 >0. x+1 【解析】原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x<-1}; 1 当 a>0 时,不等式的解集为{x|x> 或 x<-1}; a 1 当-1<a<0 时,不等式的解集为{x| <x<-1}; a 当 a=-1 时,不等式的解集为?; 1 当 a<-1 时,不等式的解集为{x|-1<x< }. a 题型三 含参数的一元二次不等式恒成立问题 【例 3】当 a 为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是全体实数. 【思路分析】若 ax2+bx+c<0 恒成立,则先考虑 a=0 的情形,然后按照 【解析】①当 a2-1≠0,即 a≠± 时,原不等式的解集为 R 的条件是 1 求解.

3 解得- <a<1. 5 2 ②当 a -1=0,即 a=± 时, 1 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0, 1 即 x< ,不符合题目要求,舍去. 2 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式的解集为全体实数. 5 【方法归纳】(1)解决恒成立问题一定要弄清楚哪个是自变量,哪个是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 【举一反三】3.已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞, -1)时, f(x)在[-1, +∞)上单调递增, min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a f(x)
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恒成立,只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1.

体验高考
(2011 山东)不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( ) A.[-5,7] B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 【解析】当 x≤-3 时,不等式化为 5-x-x-3≥10,即 x≤-4; 当-3<x<5 时,不等式化为 5-x+x+3≥10,即 8≥10,故 x∈ ? ; 当 x≥5 时,不等式化为 x-5+x+3≥10,即 x≥6. 综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞),故选 D. 【举一反三】(2011 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( C ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 2 2(x2-x-2) 4 2(x -x-2) 【解析】 f′(x)=2x-2- = , f′(x)>0, 则 也就是 >0, 得-1<x<0 x x x 或 x>2,又 f(x)的定义域为(0,+∞),所以不等式的解集为(2,+∞),故选 C.

7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考点诠释
重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区域表示二元一次不等式(组). 难点:二元一次不等式表示平面区域的探究过程.

典例精析
题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域

【例 1】(1)画出不等式组

表示的平面区域;

(2)如图,△ABC 中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出△ABC 区域 所表示的二元一次不等式组. 【思路分析】(1)分别画出每个不等式所表示的平面区域,然后取其公 共部分;(2)先由两点式分别求出直线 AB、AC、BC 的方程,然后写出不等 式组. 【解析】(1)不等式 x<3 表示 x=3 左侧点的集合. 不等式 2y≥x 表示 x-2y=0 上及其左上方点的集合. 不等式 3x+2y≥6 表示直线 3x+2y-6=0 上及右上方点的集合. 不等式 3y<x+9 表示直线 3y-x-9=0 右下方点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域如图所示. (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为: 直线 AB:x+2y-2=0, 直线 BC:x-y+4=0, 直线 CA:5x-2y+2=0. 所以原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可 ?x+2y-2≥0, 得不等式组为?x-y+4≥0,

?

?5x-2y+2≤0. ?
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【方法归纳】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法: (1)直线定界,特殊点定域.注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有 等号时直线画成实线.若直线不过原点,特殊点常选取原点;若直线过原点,则特殊点常选 取(1,0)或(0,1)来验证. (2)同号上,异号下.即当 B(Ax+By+C)>0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的上方,当 B(Ax+By+C)<0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的下方. ?x+y+1≥0, 【举一反三】1.(1)由不等式组?x-y+1≥0,所表示的平面区域的面积是( B )

?

?x≤0 ?

A.2

B.1

1 C. 2

D.4

?x≥0, ? 4 (2)若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ?3x+y≤4 ?
则 k 的值是( A ) 7 A. 3 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4

【解析】 (1)不等式组表示的平面区域为图中阴影部分三角形, 面积为 1 ×1×2=1. 2 (2)由图可知,不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及内部,y=kx 4 4 4 + 恰过 A(0, ),y=kx+ 将区域平均分成面积相等两部分,故过 BC 3 3 3 1 5 5 1 4 7 的中点 D( , ), =k× + ,k= . 2 2 2 2 3 3 题型二 利用线性规划求最值 ?x-y+2≥0, 【例 2】已知?x+y-4≥0,求:

?

?2x-y-5≤0. ?

(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的取值范围. x+1 【思路分析】(1)中 z 的最大值可通过平移直线求得;(2)中 z 的几何意义表示平面区域内 1 一点到定点(0,5)的距离的平方;(3)中 z 的几何意义表示平面区域内一点到定点(-1,- ) 2 的斜率的 2 倍. 【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)易知直线 x+2y-4=z 过点 C 时,z 最大.所以 x=7,y=9 时,z 取最大值 21. (2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的 距离的平方, 过点 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, |0-5+2| 2 9 故 z 的最小值是( )= . 2 2 1 y-(- ) 2 (3)z=2· 表示可行域内任一点(x, y)与定点 Q(-1, - x-(-1)

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1 )连线斜率的 2 倍. 2 7 3 3 7 因为 kQA= ,kQB= ,所以 z 的取值范围为[ , ]. 4 8 4 2 【方法归纳】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得,充 分理解目标函数的几何意义是本例的关键. ?x+2y-5>0, 【举一反三】2.设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0,若 x,y 为整数,则 3x+4y 的最

?

?x≥0,y≥0. ?

小值是( B ) A.14 B.16 C.17 D.19 【解析】画出可行域如图. 其最优解是点 M(3,1)附近的整点.考虑到线性目标函数,只要 横坐标增加 1 即可.故最优点为整点(4,1),其最小值为 16,故选 B. 题型三 线性规划的实际应用 【例 3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72 m3,第二种有 56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需要用第一种木料 0.18 m3,第二 种木料 0.08 m3, 可获利润 6 元, 生产一个衣柜需要用第一种木料 0.09 m3, 第二种木料 0.28 m3, 可获利润 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最 大?最大利润是多少? 【思路分析】设出自变量,用不等式组表示出约束条件,作出可行域,即可求出最优解. 【解析】设圆桌生产的张数为 x,衣柜生产的个数为 y,所获利润为 z,则 z=6x+10y, 0.18x+0.09y≤72,

? ?0.08x+0.28y≤56, 则? x≥0, ?y≥0, ? ?2x+y≤800, ?2x+7y≤1 400, 即? 作出可行域如图, x≥0, ?y≥0, ?

? ? ?2x+y=800, ?x=350, 由? 得? 即 M(350,100). ? ? ?2x+7y=1 400 ?y=100, 当直线 l:6x+10y=0 平移到经过点 M(350,100)时,z=6x+10y 最大. zmax=6×350+10×100=3 100, 所以生产圆桌 350 张,衣柜 100 个可获得最大利润 3 100 元. 【方法归纳】解答实际线性规划问题,首先设出变量,建立不等式模型表示出约束条件, 一定要注意问题的实际意义(如本题中 x≥0,y≥0),然后画出可行域,利用图形求解. 【举一反三】3.某实验室需购某种化工原料至少 106 千克,现在市场上该原料有两种包 装:一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元.在满足需 要的条件下,最少要花费 500 元. 【解析】设需 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋,则目标函数 z=140x+120y,约束条件为 ?35x+24y≥106, ? 71 ? 当 x=1 时,y≥ ,即 y=3,这时 zmin=140+120×3=500. 24 ? ?x,y∈N,

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体验高考 ?y≥x, ? (2011 湖南)设 m>1,在约束条件?y≤mx,下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m ?x+y≤1 ?
的取值范围为( ) A.(1,1+ 2) B.(1+ 2,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞) 1 z 1 【解析】变换目标函数为 y=- x+ ,由于 m>1,所以-1<- <0,不等式组表示的平 m m m 面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义,只有直线 y 1 z =- x+ 在 y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点 A m m 1 m 处取得最大值,由 y=mx,x+y=1,得 A( , ),所以目标函数 1+m 1+m 1 m2 的最大值 + <2,即 m2-2m-1<0,解得 1- 2<m<1+ 2,故 1+m 1+m m 的取值范围是(1,1+ 2).选 A. 【举一反三】(2011 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区域 x+y≥2, ? ? → → ?x≤1, 上的一个动点,则OA·OM的取值范围是( C )

?y≤2 ?

A.[-1,0]

B.[0,1]

C.[0,2]

D.[-1,2]

【解析】平面区域如图中阴影部分所示的△BDN,N(0,2),D(1,1),设点 M(x,y),因 → → 点 A(-1,1),则 z=OA·OM=-x+y.由图可知,当目标函数 z=-x+y 过点 D 时,zmin= -1+1=0;当目标函数 z=-x+y 过点 N 时,zmax=0+2=2,故 z 的取值范围为[0,2],即 → → OA·OM的取值范围为[0,2],故选 C.

7.4 基本不等式及应用
考点诠释
a+b 重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式, 并从不同角度探索基本不等式 ab≤ 的 2 证明过程. 难点:用基本不等式求最大值和最小值.

典例精析
题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】(1)设 x,y∈R+,且 xy-(x+y)=1,则( ) A.x+y≥2( 2+1) B.x+y≤2( 2+1) C.x+y≤2( 2+1)2 D.x+y≥( 2+1)2 a+b a2+b2 2ab (2)已知 a,b∈R+,则 ab, , , 的大小顺序是 . 2 2 a+b x+y 2 (x+y)2 【思路分析】(1)根据基本不等式得 xy≤( )= ,把 x+y 看作整体解一元二 2 4 次不等式可得;(2)利用基本不等式把各式变形比较大小. 【解析】(1)选 A.由已知得 xy=1+(x+y), x+y 2 x+y 2 又 xy≤( ) ,所以( ) ≥1+(x+y). 2 2
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解得 x+y≥2( 2+1)或 x+y≤2(1- 2). 因为 x+y>0,所以 x+y≥2( 2+1). a+b (2)由 ≥ ab有 a+b≥2 ab, 2 2ab 2ab 即 a+b≥ ,所以 ab≥ . a+b ab a+b a2+2ab+b2 2(a2+b2) = ≤ , 2 4 4 a2+b2 a+b 所以 ≥ , 2 2 a2+b2 a+b 2ab 所以 ≥ ≥ ab≥ . 2 2 a+b 【方法归纳】对于式中的两个正数的积或和,可以利用基本不等式进行转化用来比较大 a2+b2 a+b 2ab 小.并且还要记住基本不等式常见的几种变形形式,如 ≥ ≥ ab≥ . 2 2 a+b λ 1 1 【举一反三】 a>b>c, 1.设 不等式 + > 恒成立, λ 的取值范围是 λ<4 . 则 a-b b-c a-c 【解析】因为 a>b>c, 所以 a-b>0,b-c>0,a-c>0. 1 1 1 1 而(a-c)( + )=[(a-b)+(b-c)]( + )≥4,所以 λ<4. a-b b-c a-b b-c 题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】求下列各题的最值: 2 5 (1)已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 z= + 的最小值; x y 12 (2)x>0,求 f(x)= +3x 的最小值; x 4 (3)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. x-3 12 【思路分析】 (1)由条件 lg x+lg y=1 得定值 xy=10, 故可用基本不等式; (2)由 x>0, · 3x x 4 4 =36 是常数,故可直接利用基本不等式;(3)因为 ·x 不是常数,故需变形为 f(x)= + x-3 x-3 x-3+3,又 x-3<0,故需变号. 【解析】(1)由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 2y+5x 2 10xy 则 + = ≥ =2. x y 10 10 2 5 ∴( + )min=2. x y 当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号成立. (2)∵x>0, 12 12 ∴f(x)= +3x≥2 ·3x=12, x x 12 等号成立的条件是 =3x,即 x=2, x ∴f(x)的最小值是 12. (3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0, 4 4 ∴f(x)= +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 4 =-[ +(3-x)]+3 3-x 又
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系统集成·数学(理)

4 · (3-x)+3=-1, 3-x 4 当且仅当 =3-x,即 x=1 时,等号成立.故 f(x)的最大值为-1. 3-x 【方法归纳】在利用基本不等式“和式≥积式”求最值时要注意三点:一是各项为正; 二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合 理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件. 5 1 【举一反三】2.(1)已知 x< ,则函数 y=4x-2+ 的最大值为 1 ; 4 4x-5 (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导函数 f′(x),f′(0)>0,对任意实数 x,有 f(x)≥0, f(1) 则 的最小值为( C ) f′(0) 5 3 A.3 B. C.2 D. 2 2 5 【解析】(1)因为 x< ,所以 5-4x>0. 4 1 1 所以 y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 所以 x=1 时,ymax=1. ?a>0, ? (2)因为 f(x)≥0,所以? 2 ? ?Δ=b -4ac≤0. 2 b 所以 c≥ . 4a 又 f′(x)=2ax+b,所以 f′(0)=b>0, f(1) a+b+c a+c 4a2+b2 2 4a2b2 = =1+ ≥1+ ≥1+ =2, b b 4ab 4ab f′(0) b2 当且仅当 c= 且 4a2=b2 时等号成立. 4a 题型三 应用基本不等式解实际应用问题 【例 3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才 能使用); (2)若提供面粉的公司规定: 当一次购买面粉不少于 210 吨时, 其价格可享受 9 折优惠(即 原价的 90%),问该厂是否可以利用此优惠条件?请说明理由. 【思路分析】首先根据题意设出自变量 x,并用 x 的表达式表示因变量 y(每天平均支付 的费用),建立数学模型,利用基本不等式或函数单调性求最值. 【解析】(1)设该厂 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨,面粉的保管等其他费用为 3[6x+ 6(x-1)+?+6×2+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1,则 1 900 900 y1= [9x(x+1)+900]+6×1 800= +9x+10 809≥2 ·9x+10 809=10 989, x x x 900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时,取等号. x 即该厂应 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少应 35 天购买一次面粉,设该厂利用此优惠条件后, 每 x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2,则 1 900 y2= [9x(x+1)+900]+6×1 800×0.9= +9x+9 729(x≥35). x x ≤-2
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系统集成·数学(理)

900 因为 y2′=9- 2 ,当 x≥35 时,y2′>0. x 900 所以 y2= +9x+9 729 在[35,+∞)上是增函数. x 70 488 所以 x=35 时,y2 取最小值 . 7 70 488 由 <10 989 知,该厂可以利用此优惠条件. 7 【方法归纳】解决这类应用题,首先要依题意构造出相应的数学模型,并通过适当的变 形使所得到的模型符合基本不等式的结构,再求最值.当等号不能成立时,常利用函数的单 调性来处理. 【举一反三】3.如图所示,动物园要围相同面积的长方形虎笼四间,一面 可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时, 可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎 笼的钢筋网总长最小? 【解析】(1)设每间的长与宽分别为 x,y. 4x+6y=36,2 6xy≤2x+3y=18, 27 9 S=xy≤ ,当且仅当 x= ,y=3 时等号成立. 2 2 (2)xy=24,l=4x+6y≥2 24xy=48, 当且仅当 x=6,y=4 时等号成立.

体验高考
1 1 (2011 湖南)设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x2+ 2)( 2+4y2)的最小值为________. y x 【解析】因为 x,y∈R 且 xy≠0, 1 1 1 1 2 所以(x2+ 2)( 2+4y2)=5+ 2 2+4x2y2≥5+2×2=9, 当且仅当 2 2=4x2y2, xy=± 时, 即 y x xy xy 2 取得最小值 9. 2 10 【举一反三】(2011 浙江)设 x,y 为实数.若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是 . 5 3 3 2x+y 2 5 【解析】依题意有(2x+y)2=1+3xy=1+ ×2xy≤1+ ·( ) ,得 (2x+y)2≤1,即|2x 2 2 2 8 2 10 +y|≤ . 5 10 2 10 当且仅当 2x=y= 时,2x+y 达到最大值 . 5 5

7.5 不等式的综合应用
考点诠释
重点:利用不等式研究函数的定义域、值域、单调性,求函数的最值,解决实际问题中 的优化问题. 难点:解决含参数的不等式问题.

典例精析
题型一 含参数的不等式问题

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系统集成·数学(理)

【例 1】若不等式组

的解集中所含整数解只有-2,求 k

的取值范围. 【思路分析】首先解出两个不等式,然后根据题意画出数轴表示各自解集,借助图形得 出 k 的取值范围. 【解析】由 x2-x-2>0 有 x<-1 或 x>2,由 2x2+(5+2k)x+5k<0 有(2x+5)(x+k)< 0. 因为-2 是原不等式组的解,所以 k<2. 5 由(2x+5)(x+k)<0 有- <x<-k. 2 因为原不等式组的整数解只有-2,如图,所以-2<-k≤3,即 -3≤k<2, 故 k 的取值范围是[-3,2). 【方法归纳】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时,借助数轴分析,往往更直观、 简洁. 【举一反三】1.若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=
2

【解析】如图,直线 y=k(x+2)- 2过定点(-2,- 2). ∵ 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,3],∴b=3. 又∵b-a=2, ∴3-a=2, ∴a=1, ∴直线与圆的交点为 A(1, 2), 2 代入直线 y=k(x+2)- 2得 k= 2. 题型二 不等式在函数中的应用 2x-a 【例 2】已知函数 f(x)= 2 在区间[-1,1]上是增函数. x +2 (1)求实数 a 的值组成的集合 A; 1 (2)设 x1,x2 是关于 x 的方程 f(x)= 的两个相异实根,若对任意 a∈A 及 t∈[-1,1],不 x 等式 m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求实数 m 的取值范围. 【思路分析】(1)由题意知 f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立,从而有 解得 a 的

范围;(2)中先求出 x1-x2 的最大值,转化为 m2+tm-2≥0 在 t∈[-1,1]上的恒成立问题, 再利用 解得 m 的范围.

4+2ax-2x2 , (x2+2)2 因为 f(x)在[-1,1]上是增函数, 所以当 x∈[-1,1]时,f′(x)≥0 恒成立, 令 φ(x)=x2-ax-2,即 x2-ax-2≤0 恒成立. 【解析】(1)f′(x)=

所以 A={a|-1≤a≤1}. 1 (2)由 f(x)= 得 x2-ax-2=0. x 设 x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个根, 所以 x1+x2=a,x1x2=-2. 从而|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= a2+8, 因为 a∈[-1,1],所以 a2+8≤3,即|x1-x2|max=3.
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系统集成·数学(理)

又不等式对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 故有 m2+tm-2≥0 恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+m2-2,则 ?g(1)=m2+m-2≥0, ?
? 2 ? ?g(-1)=m -m-2≥0,

解得 m≥2 或 m≤-2. 故 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 【方法归纳】对于在给定区间上恒成立的不等式问题,通常可以转化为给定区间上的函 数最大值(最小值)大于零(或小于零)问题,也可利用分离变量或者数形结合的方法,分离变量 和数形结合更加简单明了. 【举一反三】2.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; (x+5)(x+2) (2)设 x>-1,求函数 y= 的最值. x+1 【解析】(1)∵x>0,a>2x, 1 1 2x+(a-2x) 2 a2 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x)≤ ×[ ]= , 2 2 2 8 2 a a 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)∵x>-1,∴x+1>0. 设 x+1=z>0,则 x=z-1, (z+4)(z+1) z2+5z+4 4 4 ∴y= = =z+ +5≥2 z· +5=9, z z z z 当且仅当 z=2,即 x=1 时上式取等号. ∴当 x=1 时,函数 y 有最小值 9,无最大值. 题型三 不等式在实际问题中的应用 【例 3】某森林发生火灾,火势正以 100 m2/分钟的速度顺风蔓延,消防站接到报警立即 派消防队员前往,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人灭火 50 m2/分钟,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为人均 125 元/分钟,另附加每次救火所耗损 的车辆、器械和装备等费用人均 100 元,而烧毁森林的损失费为 60 元/m2,问应该派多少名 消防队员前往救火才能使总损失最少? 5×100 【思路分析】首先设出自变量 x,并用 x 表示出灭火时间为 (分钟),然后用 x 表 50x-100 示出总损失 y,利用基本不等式求解. 5×100 【解析】 设派 x 名消防队员前去救火, t 分钟将火扑灭, 用 总损失为 y, t= 则 = 50x-100 10 , x-2 y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费 =125xt+100x+60(500+100t) 10 60 000 =125x× +100x+30 000+ x-2 x-2 62 500 =100(x-2)+ +31 450 x-2 62 500 ≥2 100(x-2)· +31 450=36 450, x-2 62 500 当且仅当 100(x-2)= , x-2 即 x=27 时,y 有最小值 36 450,故应派 27 人前去救火才能使总损失最少,最少损失 36 450 元. 【方法归纳】本题需要把实际问题抽象为数学问题,建立不等式模型,利用基本不等式 求最值.
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【举一反三】3.某学校拟建一块周长为 400 m 的操场,如图所示, 操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区 域, 为了能让学生的做操区域尽可能大, 试问如何设计矩形的长和宽? 【解析】设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m,中间的矩形区域面积为 S,则半圆 πy 的周长为 , 2 πy 因为操场周长为 400 m,所以 2x+2× =400, 2 400 即 2x+πy=400(0<x<200,0<y< ), π 2x+πy 2 1 1 20 000 所以 S=xy= ·(2x)· (πy)≤ ·( )= , 2 2π 2π π ?x=100, ?2x=πy, ? ? 由? 解得? 200 ? ?2x+πy=400, ?y= π . ? x=100, ? 所以当且仅当?

?

?y= π ?

200 时等号成立,

200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 m 时,矩形区域面积最大. π

体验高考
(2011 新课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1), B 在直线 y=-3 上, 点 → → → → → → 点 M 满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在点 P 处的切线,求点 O 到 l 距离的最小值. 【解析】(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). → → → 所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2). → → → 再由题意可知(MA+MB)· =0, AB 即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0. 1 所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. 4 1 1 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x2-2 上一点,因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2y+2y0-x0=0. 2 |2y0-x2| 0 则点 O 到 l 的距离 d= 2 . x0+4 1 2 x +4 2 0 1 2 1 4 又 y0= x0-2,所以 d= 2 = ( x2+4+ 2 )≥2, 0 4 2 x0+4 x0+4 当 x0=0 时取等号,所以点 O 到 l 距离的最小值为 2. 0≤x≤ 2, 【举一反三】 (2011 广东)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y≤2, 2y → → 定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM·OA的最大值为( C ) A.4 2 B.3 2 C.4 D.3 【解析】如图作出区域 D(阴影部分),目标函数 z= 2x+y
15

? ? ?x≤



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过点 B( 2,2)时取最大值,故 z 的最大值为 2× 2+2=4,故选 C.

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