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浙江省金华市磐安二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016 学年浙江省金华市磐安二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.设集合 P={0,1},那么集合 P 的子集个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知集合 A={x|x ﹣1=0},则下列式子表示正确的有( ①1∈A;②{﹣1}∈A;③??A;④{1,﹣1}?A. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( )
2 2



) D.y=

B.y=

C.y=

4.设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( A.f:x B.f:x C.f:x D.f:x



5.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +1 的图象恒过定点( A. (1,1) B. (1,2) C. (2,1) D. (1,0) 6.下列大小关系正确的是(
3 0.4 3

x﹣1




0.4

A.0.4 <3 <log40.3 B.0.4 <log40.3<3 3 0.4 0.4 3 C.log40.3<0.4 <3 D.log40.3<3 <0.4 7.已知 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=logax 的图象可能是(
x



A.

B.

C.

D.

8.已知函数 f(x)= 那么 f(log A.3 b)的值是( ) D.﹣2

+1 (a>0,a≠1) ,如果 f(log3b)=5(b>0,b≠1) ,

B.﹣3 C.5

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. )

9.已知函数 f(x)取最小值.

,则 f(x)的定义域为

;当 x=

时,

10. (1)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2,8) ,则 f(x)= (2)已知 g(x+1)=2x+3,则 g(x)= .



11.设函数 f(x)=

,则 f(﹣2)=

.若 f(a)=1,则实数

a=

. ,当 x>0 时,f(x)=lg

12.已知 f(x)是定义在[m,4m+5]上的奇函数,则 m= (x+1) ,则当 x<0 时,f(x)= .

13.已知函数

的定义域为

,则该函数值域为



14.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,则 a 的取值范 围是 .

15.定义 A°B= ﹣A?B 的最小值为

,A?B= .

,设 x>0,A=

,B=x,则 A° B

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.已知全集为 R,集合 A={x|x<0 或 x>2},B={x|1<x<3},求 (1)A∩B; (2)A∪B; (3)?RA. 17.计算: (1) ;

(2)log39+log26﹣log23+log43×log316. 18.已知函数 .

(1)当函数 f(x)为奇函数时,求 a 的值;

(2)判断函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论. 19.已知函数 f(x)=lg(x+m)﹣lg(1﹣x) . (Ⅰ)当 m=1 时,判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)若不等式 f(x)<1 的解集为 A,且 ,求实数 m 的取值范围.

20.已知函数

有如下性质:该函数在

上是减函数,在

上是增函数. (1)若 a=4,求 f(x)在区间[1,3]上的最大值与最小值; (2)若 x∈[1,3]时,不等式 f(x)≥2 恒成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年浙江省金华市磐安二中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.设集合 P={0,1},那么集合 P 的子集个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】子集与真子集. 【专题】集合. n 【分析】本题考察集合子集的个数,集合中若有 n 个元素,则有 2 个子集. 2 【解答】解:集合 P={0,1},则有 2 =4 个子集:?,{0},{1},{0,1}. 故选:D. 【点评】本题考查集合子集个数,属于基础题目,较简单. 2.已知集合 A={x|x ﹣1=0},则下列式子表示正确的有( ) ①1∈A;②{﹣1}∈A;③??A;④{1,﹣1}?A. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答时,可以先将集合 A 的元素进行 确定.然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可. 【解答】解:因为 A={x|x ﹣1=0}, ∴A={﹣1,1} 对于①1∈A 显然正确; 对于②{﹣1}∈A,是集合与集合之间的关系,显然用∈不对; 对③??A,根据集合与集合之间的关系易知正确; 对④{1,﹣1}?A.同上可知正确. 故选 C. 【点评】本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答的过程当中充分体现了解方程的 思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识.值得同学们体会反思. 3.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( )
2 2 2

) D.y=

B.y=

C.y=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】探究型;函数的性质及应用. 【分析】 已知函数的定义域是 R, 分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致 即可. 【解答】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数.

C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对 应关系是否一致,否则不是同一函数. 4.设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( A.f:x B.f:x C.f:x D.f:x )

【考点】映射. 【专题】阅读型. 【分析】通过举反例,按照对应法则 f,集合 A 中的元素 6,在后一个集合 B 中没有元素与之 对应,故选项 A 不是映射,从而选出答案. 【解答】解:A 不是映射,按照对应法则 f,集合 A 中的元素 6,在后一个集合 B 中没有元素 与之对应,故不满足映射的定义. B、C、D 是映射,因为按照对应法则 f,集合 A 中的每一个元素,在后一个集合 B 中都有唯 一的一个元素与之对应, 故 B、C、D 满足映射的定义, 故选 A. 【点评】本题考查映射的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一 种简单有效的方法. 5.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +1 的图象恒过定点( ) A. (1,1) B. (1,2) C. (2,1) D. (1,0) 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题;规律型;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】已知函数 f(x)=a +1,根据指数函数的性质,求出其过的定点. x﹣1 【解答】解:∵函数 f(x)=a +1,其中 a>0,a≠1, x﹣1 令 x﹣1=0,可得 x=1,a =1, ∴f(x)=1+1=2, ∴点 A 的坐标为(1,2) , 故选:B. 【点评】此题主要考查指数函数的性质及其特殊点,是一道基础题. 6.下列大小关系正确的是(
3 0.4 3 x﹣1 x﹣1


0.4

A.0.4 <3 <log40.3 B.0.4 <log40.3<3 3 0.4 0.4 3 C.log40.3<0.4 <3 D.log40.3<3 <0.4 【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】常规题型. x x 【分析】结合函数 y=0.4 ,y=3 ,y=log4x 的单调性判断各函数值与 0 和 1 的大小,从而比较 大小. 3 0 0.4 0 【解答】解:∵0<0.4 <0.4 =1,3 >3 =1,log40.3<log0.41=0 3 0.4 ∴log40.3<0.4 <3 故选 C

【点评】本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用,在比较指数(对数)式的大小时, 若是同底的,一般直接借助于指数(对数)函数的单调性,若不同底数,也不同指(真)数, 一般与 1(0)比较大小. 7.已知 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=logax 的图象可能是(
x



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. x 【分析】由指数函数与对数函数的性质可知,函数 f(x)=a 与函数 g(x)=logax 的图象关于 y=x 对称且单调性相同,从而解得. 【解答】解:由反函数知, 函数 f(x)=a 与函数 g(x)=logax 的图象关于 y=x 对称, 由函数的单调性可知, x 函数 f(x)=a 与函数 g(x)=logax 的单调性相同, 故排除 A,C,D; 故选:B. 【点评】本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的关系应用,考查了数形结合的思想应 用及排除法的应用. 8.已知函数 f(x)= 那么 f(log b)的值是( ) +1 (a>0,a≠1) ,如果 f(log3b)=5(b>0,b≠1) ,
x

A.3 B.﹣3 C.5 D.﹣2 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】求出 f(x)+f(﹣x)= 出. 【解答】解:∵f(﹣x)= ∴f(x)+f(﹣x)= +1 = =2, ∴f(log3b)+f(log b) +2 , +1=2 即可得

=f(log3b)+f(﹣log3b) =2, ∵f(log3b)=5 ∴f(log b)=﹣3 故选:B. 【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9.已知函数 ,则 f(x)的定义域为 [﹣2,2] ;当 x= ±2 时,f(x)

取最小值. 【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 2 【分析】由题意得 4﹣x ≥0,从而求函数的值域,再确定函数的最小值点. 2 【解答】解:由题意得,4﹣x ≥0, 解得,x∈[﹣2,2]; 当 x=±2 时,f(x)有最小值 0; 故答案为;[﹣2,2],±2. 【点评】本题考查了函数的定义域的求法及函数的最值的确定. 10. (1)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2,8) ,则 f(x)= x ; (2)已知 g(x+1)=2x+3,则 g(x)= 2x+1 . 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设出幂函数的解析式,利用幂函数经过的特殊点求解即可. (2)利用配凑法,求解函数的解析式即可. 【解答】解: (1)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2,8) , a a 设 f(x)=x ,8=2 ,a=3, 3 则 f(x)=x 3 故答案为:x . (2)g(x+1)=2x+3=2(x+1)+1, 可得 g(x)=2x+1. 故答案为:2x+1. 【点评】本题考查函数的解析式的求法,基本知识的考查.
3

11.设函数 f(x)=

,则 f(﹣2)= 4 .若 f(a)=1,则实数 a= 2 或

0 . 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】先根据函数 f(x)的解析式,求出 f(﹣2)的值,再讨论 a 的值,求出 f(a)=1 时, 实数 a 的值.

【解答】解:∵设函数 f(x)=



∴f(﹣2)= 又∵f(a)=1, ∴当 a≤0 时,

=2 =4;

2

=1,解得 a=0,满足题意;

当 a>0 时,log2a=1,解得 a=2,满足题意; 综上,实数 a 的值为 2 或 0. 故答案为:4;2 或 0. 【点评】本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题,也考查了由函数值求自变量的 应用问题,是基础题目. 12.已知 f(x)是定义在[m,4m+5]上的奇函数,则 m= ﹣1 ,当 x>0 时,f(x)=lg(x+1) , 则当 x<0 时,f(x)= ﹣lg(1﹣x) . 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称,可得 m+4m+5=0,即可求出 m 的值; 当 x<0 时,﹣x>0,由已知表达式可求得 f(﹣x) ,由奇函数的性质可得 f(x)与 f(﹣x) 的关系,从而可求出 f(x) . 【解答】解:由于奇函数的定义域必然关于原点对称,由已知必有 m+4m+5=0,得 m=﹣1. ∵f(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时,﹣x>0, ∴f(﹣x)=lg(﹣x+1)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣lg(1﹣x) ,x<0, 故答案为:﹣1,﹣lg(1﹣x) . 【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质,属基础题

13.已知函数

的定义域为

,则该函数值域为

[0,3] .

【考点】函数的值域. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】由对数函数的单调性得 log2x∈[﹣2,3],从而求值域. 【解答】解:∵x∈ ,∴log2x∈[﹣2,3],

∴|log2x|∈[0,3], 故函数的值域为:[0,3]; 故答案为:[0,3]. 【点评】本题考查了对数函数的单调性的应用及函数的值域的求法.

14.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,则 a 的取值范 围是 .

【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 f(1﹣a)<f(2a﹣1) ,严格应用函数的单调性.要注意定义域. 【解答】解:∵f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1)



,∴

故答案为: 【点评】本题主要考查应用单调性解题,一定要注意变量的取值范围.

15.定义 A°B=

,A?B=

,设 x>0,A=

,B=x,则 A° B

﹣A?B 的最小值为 . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】由题意化简 AB﹣A﹣B= + ﹣ ﹣x=﹣ <0,从而可得 A°B﹣A?B=(x+1)

﹣2,从而由基本不等式求最小值.

【解答】解:由题意, AB﹣A﹣B= =﹣ <0; ﹣ ﹣x

故 A°B﹣A?B=A+B﹣AB = ≥2 =(x+1)+ ﹣2, ,即 x= ﹣1 时,等号成立) ; ﹣2

(当且仅当 x+1=

故答案为: . 【点评】本题考查了抽象函数的定义与基本不等式的应用,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.已知全集为 R,集合 A={x|x<0 或 x>2},B={x|1<x<3},求 (1)A∩B; (2)A∪B; (3)?RA.

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;规律型;集合思想;集合. 【分析】利用已知条件直接求解(1)A∩B; (2)A∪B; (3)CRA. 【解答】解: (1)A∩B={x|2<x<3}…(5 分) (2)A∪B={x|x<0 或 x>1}…(10 分) (3)CRA={x|0≤x≤2}. …(15 分) 【点评】本题考查集合的基本运算,基本知识的考查. 17.计算: (1) ;

(2)log39+log26﹣log23+log43×log316. 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可. (2)利用对数运算法则化简求解即可. 【解答】解:原式= =25﹣1+3…6 分 =27…(7 分) (2) 解:原式= =2+1+2…(13 分) =5 …(14 分) 【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用,是基础题. 18.已知函数 . . .

(1)当函数 f(x)为奇函数时,求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)求出函数的定义域,利用函数 f(x)为奇函数,f(0)=0,即可求 a 的值; (2 判断函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是减函数,然后用定义证明即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为 R, 由于定义域为 R 的奇函数有 f(0)=0,…(4 分) 故 ,解得 .…(7 分) …(8 分)

(2)函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是减函数. 证明:任取 x1<x2,有 ,

则 =

,…(13 分) 即 f(x1)<f(x2) ,所以函数 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是减函数. …(15 分) (注:在本小题中若取 证明,其它无误,则扣 2 分)

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用以及函数的单调性的证明,考查计算能力. 19.已知函数 f(x)=lg(x+m)﹣lg(1﹣x) . (Ⅰ)当 m=1 时,判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)若不等式 f(x)<1 的解集为 A,且 ,求实数 m 的取值范围.

【考点】对数的运算性质;集合关系中的参数取值问题;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)当 m=1 时,f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x) ,f(﹣x)=lg(﹣x+1)﹣lg(1+x) , 由此能够证明 f(x)为奇函数. (Ⅱ)由 f(x)<1,知 lg(x+m)<lg(1﹣x)+1,故 0<x+m<10﹣10x,由 A?(﹣ 能求出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 m=1 时,f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x) , f(﹣x)=lg(﹣x+1)﹣lg(1+x) , ∴f(x)=f(﹣x) ,即 f(x)为奇函数. (3 分) (Ⅱ)∵f(x)<1, ∴lg(x+m)<lg(1﹣x)+1, ∴0<x+m<10﹣10x, ∵A?(﹣ ∴ ) , , ) ,







. (8 分)

【点评】本题考查函数奇偶性的判断和求解实数的取值范围,是基础题.解题时要认真审题, 仔细解答.

20.已知函数

有如下性质:该函数在

上是减函数,在

上是增函数. (1)若 a=4,求 f(x)在区间[1,3]上的最大值与最小值; (2)若 x∈[1,3]时,不等式 f(x)≥2 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)由题意可得 f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,可得 f(x)的最 小值为 f(2) ,最大值为 f(3) ; (2)讨论①若 即 0<a≤1,②若 即 1<a<9,③若 出单调性,可得最小值,解不等式即可得到所求 a 的范围. 【解答】解: (1)a=4 时,f(x)= , 即 a≥9,求

则 f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增, fmin(x)=f(2)=4, fmax(x)=max {f(1) ,f(3)}= ;

(2)①若 即 0<a≤1, 则 f(x)在[1,3]上单调递增,fmin(x)=f(1)=1+a. 所以,1+a≥2,即 a≥1,所以 a=1. ②若 即 1<a<9, 则 f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,3]上单调递增, fmin(x)=f( )=2 .所以,2 ∴1<a<9 ③若 即 a≥9, 则 f(x)在[1,3]上单调递减, fmin(x)=f(3)=3+ ≥2, 得 a≥﹣3,又 a≥9,∴a≥9. 综上,a 的取值范围是 a≥1. 【点评】本题考查函数的最值的求法,注意运用单调性,考查不等式恒成立问题的解法,注 意运用分类讨论的思想方法和单调性的运用,属于中档题. ≥2,得 a≥1,又 1<a<9,


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