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3.4基本不等式(第1课时)


3.4

基本不等式 第一课时

a?b ab ? 2

问题提出

1.不等式有许多基本性质,同时还有一 些显而易见的结论,如a2≥0,|a|≥0, |a|≥a等,这些性质都是研究不等式问 题的理论依据.在实际应用中,我们还需 要有相应的不等式原理.

2.如图是在北京召开的第24界国际数 学家大会的会标,它是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使 它看上去象一个风车,代表中国人民热 情好客.在这个图案中既有一些相等关系, 也有一些不等关系, 对这 些等与不等的关系, 我们作些相应研究.

探究(一):基本不等式的原理

思考1:将图中的“风车” 抽象成如图,在正方形 ABCD中有4个全等的直角 三角形.设直角三角形的 两条直角边长为a,b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 分别为多少?
a 2 ? b2

D G H F E B C

A

a ?b
2

2

| a- b |

思考2:图中正方形ABCD的面积与4个直 角三角形的面积之和有什么不等关系? 由此可得到一个什么不等式? D

a2+b2≥2ab

A

G H

F E B

C

思考3:从图形分析,上述不等式在什么 情况下取等号?

当直角三角形为等腰直角三角形,即 a=b时, a2+b2=2ab.

思考4:在上面的图形背景中,a,b都是 正数,那么当a,b∈R时,不等式 a2+b2≥2ab成立吗?为什么? D
A G H

F
E B

C

一般地,对于任意实数a,b,有: a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.

重要不等式

思考5:特别地,如果a>0,b>0,我们 用 a 、 b 分别代替a、b ,可得什么不 等式?

a ? b ? 2 ab
a

a?b ? ab (a >0, b>0) 2

当且仅当a=b时等号成立.

a?b 思考6:不等式 ? ab (a >0, b>0) 2

称为基本不等式,它沟通了两个正数的 和与积的不等关系,在实际问题中有广 泛的应用,你能用分析法证明吗?
a

a+b 2

a+b 思考7:我们称 和 ab 分别为a, 2

b的算术平均数和几何平均数,如何用 文字语言表述基本不等式?
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

均值不等式

对基本不等式的几何意义作进 一步探究:

P

A

a

o

Q b

B

如图,AB是圆o的 直径,Q是AB上任 一点,AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ,连AP,BP,

ab 则PQ=____,

a?b 半径AO=_____ 2

几何意义:圆的半径不小于圆内半弦长

探究(二):基本不等式与最值原理

思考1:在基本不等式 a ? b ? 2 ab
(a>0,b>0)中,如果a· b=P为定值, 能得到什么原理? 原理一:若两个正数的积为定值,则当 这两个正数相等时它们的和取最小值.

思考2:在基本不等式 a ? b ? 2 ab

(a>0,b>0)中,如果a+b=S为定值, 又能得到什么原理?

原理二:若两个正数的和为定值,则当 这两个正数相等时它们的积取最大值 .

1 1 思考3:能否由 x ? ? 2 x ? ? 2 x x 1 得函数 y = x + 的最小值是2吗?
x

思考4:当x≥4时,能否由 1 2 2 1 x ? ?2 x ? ?2 x ?4 x x 1 2 得函数 y = x + 的最小值是4吗? x

思考5:当x∈(0,π )时,能否由
2 2 sin x ? ? 2 sin x ? ? 2 2 ,得函数 sin x sin x 2 的最小值是 2 2 吗? y = sin x + sin x

思考6:利用基本不等式求两个变量的和 的最小值(或积的最大值),应具备哪些 基本条件? 一正二定三相等

应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小

和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

探究(二)基本不等式求最值的实际应用

【背景材料】在农村,为防止家畜家禽 对菜地的破坏,常用篱笆围成一个菜园. 如果菜园的面积一定,为节省材料,就 应考虑所用篱笆最短的问题;如果所用 篱笆的长度一定,为了充分利用材料, 就用考虑所围菜园面积最大的问题

例1:(1)用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形
菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x? y ? xy ? x ? y ? 2 100, 2 2( x ? y) ? 40 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10.
因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最 短,最短的篱笆是40m.

强调:两个正变量积为定值,则和有最小值, 当且仅当两值相等时取最值。

(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少?
解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2( x + y )= 36 , x + y = 18

矩形菜园的面积为xym2
得 xy

?

x? y xy ? =18/2=9 2

81

当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立

因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大, 最大面积是81m2

强调:两个正变量和为定值,则积有最大值, 当且仅当两值相等时取最值。

(3)若矩形菜园的一边靠墙,另外三边 用一段长为36m的篱笆围成,如何设计这 个矩形菜园的长和宽,才能使菜园的面 积最大,最大面积是多少?
2

.

矩形的长为18m,宽为9m时,菜园的面 积最大,最大面积是162m2.

1. 两个不等式: (1)重要不等式:

a, b ? R, 那么a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当a ? b时取" ?"号)

(2)基本不等式:

a?b ab ? (a>0,b>0) 2
(当且仅当a=b时,等号成立)

注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正,二定,三相等”

应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小

和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

作业:

课本练习:第1、2、3、4题


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