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2.3.2 第2课时双曲线方程及性质的应用


第2课时 双曲线方程及性质的应用

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第二章 圆锥曲线与方程

栏目导引

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.掌握直线与双曲线的位置关系. 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题. 3.了解与双曲线有关的应用问题.

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点;
2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命

题,而且命题形式灵活,各种题型均有可能出现.

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第二章 圆锥曲线与方程

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.双曲线 4x2-9y2=-36,则 a= 2 ,b= 3 ,c= 焦点坐标为 (0,± 13) , 顶点坐标为 (0,±2)

13 , 13 , 离心率为 2 ,

2 y=± x 渐近线方程为 3

.

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第二章 圆锥曲线与方程

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2.如图,A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相

距6 km,C在B的北偏西30°并相距4 km,P为敌炮阵地,某时刻
A处发现敌炮阵地的某处信号,由于B,C两地比A距P远,因此4 s后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s),A 若炮击P地. 那么炮击的方位角应该为多少度?

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① x2 y2 双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)② 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行, a
2 2 2

直线与双曲线 C 相交于一点.

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第二章 圆锥曲线与方程

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b (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时, a
2 2 2

Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.

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第二章 圆锥曲线与方程

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2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = = 1 1+k2|y1-y2| 1 1+k2 ?y1+y2?2-4y1y2.

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.过点

? b? P?-1,-a?的直线 ? ?

x2 y2 l 与双曲线 2- 2=1 有且仅有一个公 a b

共点,且这个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲线的实半轴长等于 ( ) A.2 C.1 或 2 B.4 D.2 或 4

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第二章 圆锥曲线与方程

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解析:

依题意知,过点 P 的直线 l 与双曲线相切或与双曲线的

b -a b b 渐近线 y=- x 平行,所以 a=1 或 =- , a a -1+a 解得 a=1 或 a=2.所以实半轴长等于 1 或 2,故选 C.

答案: C

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第二章 圆锥曲线与方程

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2.如图,ax-y+b=0和bx2 +ay2 =ab(ab≠0)所表示的曲线 只可能是( )

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第二章 圆锥曲线与方程

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解析: ax-y+b=0 可化为 y=ax+b, x2 y2 bx2+ay2=ab 可化为 a + b =1. 若 ab>0,则 A 中曲线错误,B 中曲线不存在. 若 ab<0,则 D 中曲线错误,故选 C.

答案: C

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第二章 圆锥曲线与方程

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3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两
点,那么k的取值范围是________.
解析:
?x2-y2=6 ? ? ?y=kx+2 ?



x2-(kx+2)2=6,(1-k2)x2-4kx-10=0 有两个不同的 正根. ?Δ=40-24k2>0, ? ?x1+x2= 4k 2>0, 1-k 则? ? -10 ?x1x2= >0. 1-k2 ?

15 解得- 3 <k<-1.

答案:
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? ? ?- ?

? 15 ? ,-1? 3 ?
第二章 圆锥曲线与方程

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y2 4.已知双曲线 x2- 3 =1,过 P(2,1)点作一直线交双曲 线于 A、B 两点.若 P 为 AB 的中点, (1)求直线 AB 的方程; (2)求弦 AB 的长.

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第二章 圆锥曲线与方程

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解析: (1)易知直线 AB 的斜率存在. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入双曲线方程 3x2-y2=3,得
2 2 3x1-y2=3,3x2-y2=3, 1 2

两式相减得:3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), y1-y2 y1+y2 即 · =3. x1-x2 x1+x2 所以直线 AB 的斜率 x1+x2 y1-y2 3?x1+x2? 3× 2 3×2 kAB= = = = 1 =6. x1-x2 y1+y2 y1+y2 2 所以直线 AB 的方程为 6x-y-11=0.
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第二章 圆锥曲线与方程

(2)将 y=6x-11 代入 3x2-y2=3,得 33x2-132x+124 =0. 由弦长公式|AB|= ?1+k2?|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 得|AB|= 1322-4· 124 33· ?1+36?× , 332

4 所以|AB|=33 2 442.

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第二章 圆锥曲线与方程

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第二章 圆锥曲线与方程

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已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4. (1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点, k 的 求 取值范围; (2)若直线与双曲线没有公共点,求 k 的取值范围.

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第二章 圆锥曲线与方程

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第二章 圆锥曲线与方程

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[解题过程]

?y=kx-1, ? (1)联立方程组? 2 2 ?x -y =4, ?

消去 y

得方程(1-k2)x2+2kx-5=0, 由题意得,此方程有两个不等的正根. ?4k2+20?1-k2?>0, ? ?- 2k 2>0, ∴? 1-k ? -5 ? 2>0. ?1-k 5 解得 1<k< 2 . ? ?- 5<k< 5, 2 ? 2 即? ?k>1或-1<k<0, ?k>1或k<-1. ?

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第二章 圆锥曲线与方程

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?y=kx-1 ? (2)由? 2 2 ?x -y =4 ?

得(1-k2)x2+2kx-5=0(*)

易知此方程无解.
?1-k2≠0 ? 由? ?Δ=4k2+20?1-k2?<0 ?

5 5 得 k> 2 或 k<- 2 ,

5 5 则 k 的取值范围为 k> 2 或 k<- 2 .

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第二章 圆锥曲线与方程

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[题后感悟]

直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程组,

消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程,要注意根与系 数的关系,根的判别式的应用.若与向量有关,则将向量用坐 标表示,并寻找其坐标间的关系,结合根与系数的关系求解.

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第二章 圆锥曲线与方程

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y2 1.已知双曲线 x2- 4 =1,过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有 一个公共点,求直线 l 的斜率 k 的值.
解析:

①当直线l的斜率不存在时,l:x=1与双曲线相切,

符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1, 代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.

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第二章 圆锥曲线与方程

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当 4-k2=0,即 k=± 时,l 与双曲线的渐近线平行,l 2 与双曲线只有一个公共点; 5 当 4-k ≠0 时,令 Δ=0,所以 k= . 2
2

5 综上所述,当 k=2或 k=± 或斜率不存在时满足题意. 2

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第二章 圆锥曲线与方程

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y2 π 2 过双曲线 x - =1 的左焦点 F1,作倾斜角为 的弦 3 6 AB,求|AB|的长.

写出直线方程,代入双曲线方程.消去y得x的一元二次 方程,利用根与系数的关系和弦长公式求得.

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第二章 圆锥曲线与方程

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[规范作答]

双曲线焦点为 F1(-2,0)、F2(2,0),将直线

3 AB 的方程 y= 3 (x+2)代入双曲线方程,得 8x2-4x-13= 0.4 分 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 1 13 ∴x1+x2=2,x1x2=- 8 .6 分

∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x28 分 = 1 1+3·
?1? ? 13? 2 ? ? -4×?- ?=312 8? ?2? ?



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第二章 圆锥曲线与方程

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[题后感悟] 如何求解与弦长有关的问题? (1)列直线方程与曲线方程构成的方程组; (2)化为一元二次方程后,据韦达定理求出 x1+x2,x1·2 x 的表达式; (3)据弦长公式|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]求解.

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第二章 圆锥曲线与方程

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x2 y2 2.已知斜率为 2 的直线被双曲线 - =1 所截得的弦长 3 2 为 4,求直线 l 的方程.

解析: 设直线 l 方程为 y=2x+m x2 y2 设 l 与双曲线 3 - 2 =1 的交点为 A(x1,y1)B(x2,y2)
2 2 ?x y ? - =1 由? 3 2 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0 ?y=2x+m ?

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第二章 圆锥曲线与方程

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3?m2+2? 6m 则 x1+x2=- ,x1·2= x 5 10 |AB|= ?1+22?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2

?? 6m? 3?m2+2?? ? 5??- ?2-4× =4 ? 5? 10 ? ? ? ?

70 210 ∴m = ,∴m=± 3 3 210 ∴所求直线 l 的方程为 y=2x± 3 .

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第二章 圆锥曲线与方程

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已知双曲线方程为2x2-y2=2.过定点P(2,1)作直线交双

曲线于P1,P2 两点,当点P(2,1)是弦P1P2的中点时,求此直线方
程.

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第二章 圆锥曲线与方程

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[解题过程] 若直线斜率不存在,即 P1P2⊥Ox,则由双 曲线的对称性知弦 P1P2 中点在 x 轴上,不可能是点 P(2,1), 所以直线 l 斜率存在. 故可设直线 l 方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx-2k+1.
?2x2-y2=2, ? 由? ?y=kx-2k+1 ?

消 y 并化简,得(2-k2)x2+2k(2k-1)x

-4k2+4k2-3=0.

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第二章 圆锥曲线与方程

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设直线 l 与双曲线的交点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 2k?2k-1? 当 2-k ≠0,即 k ≠2 时,有 x1+x2=- . 2-k2
2 2

2k?2k-1? 又点 P(2,1)是弦 P1P2 的中点,∴- 2 =2,解得 k=4. 2-k 当 k=4 时,Δ=4k2(2k-1)2 -4(2-k2)(-4k2 +4k-3)= 56×5>0,

当 k2=2,即 k=± 2时,此时,与渐近线的斜率相等, 即 k=± 2的直线 l 与双曲线不可能有两个交点. 综上所述,所求直线方程为 y=4x-7.
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第二章 圆锥曲线与方程

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[题后感悟] 如何解决中点弦问题?
(1)与弦中点有关的问题:

①中点弦所在直线方程问题,如本例;
②弦中点轨迹问题. (2)如何处理弦中点问题? ①用待定系数法.设直线方程与双曲线方程,联立解方程 组,化为一元二次方程后,据韦达定理(不需求出方程的根),结 合中点坐标公式,求出待定系数,这也是解决直线与曲线位置 关系问题常用方法.

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第二章 圆锥曲线与方程

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②用“点差法”求斜率.即设该端点坐标,代入双曲线 方程,通过作差,分解因式,结合中点坐标,可求斜率 k= y1-y2 .这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦 x1-x2 中点轨迹问题,此方法依然有效. (3)注意:待定系数法要考虑 k 不存在和 k=± 2情况, 用点差法求出了 k,但要检验是否正确.

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第二章 圆锥曲线与方程

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3.过点P(8,3)的直线与双曲线9x2 -16y2 =144相交于A,B两 点,求弦AB中点M的轨迹方程.
解析: 设动点 M(x,y),弦 AB 端点 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 y1+y2 则 2 =x, 2 =y,即 x1+x2=2x,y1+y2=2y.
?9x2-16y2=144, ? 1 1 ? 2 且 ?9x2-16y2=144. ? 2

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第二章 圆锥曲线与方程

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2 2 两式作差,得 9(x2-x2)-16(y2-y2)=0, 1 1

∴9(x1+x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 ①当 x1≠x2 时,9(x1+x2)-16(y1+y2)· =0. x1-x2 又∵弦 AB 过点 P(8,3),且中点为 M(x,y). y-3 ∴可得 9×2x-16×2y· =0. x-8 ?x-4?2 化简 - =1, 12 27 4
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第二章 圆锥曲线与方程

? 3?2 ?y- ? 2? ?

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②当 x1=x2 时,弦 AB 中点 M(8,0)满足方程要求. ?x-4?2 综上,弦 AB 中点 M 的轨迹方程为 12 - 27 =1. 4
? 3?2 ?y- ? 2? ?

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第二章 圆锥曲线与方程

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1.如何理解直线和双曲线的位置关系 以过原点的直线和过焦点的直线为例. x2 y2 (1)设直线 y=kx,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0). a b b b ①当-a<k<a时,直线和双曲线的两支相交,有两个交 点. b b ②当 ≤k 或 k≤- 时,直线和双曲线没有交点. a a

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第二章 圆锥曲线与方程

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x2 y2 (2)设过焦点 F(c,0)的直线 y=k(x-c),双曲线a2-b2=1. b ①当 k=± 时,直线和双曲线相交,有一个交点. a b b ②当-a<k<a时,直线和双曲线两支相交,有两个交点. b b ③当 k<-a或 k>a时,直线和双曲线一支相交,有两个 交点.

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2.如何求弦长及中点弦的问题
求弦长可采取两种方法.一种是求交点坐标,另一种是利

用弦长公式.
中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率.

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第二章 圆锥曲线与方程

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y2 ◎给定双曲线 x2- 2 =1,过点 B(1,1)是否能作直线 m, 使它与所给的双曲线交于两点 Q1 及 Q2, 且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?这样的 m 如果存在,求出它的方程,如果不存在, 说明理由.

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【错解】

假设存在 m 过 B 与双曲线交于 Q1、Q2,且

B 是 Q1Q2 的中点,当 m 斜率不存在时,显然只与双曲线有 一个交点;当 m 斜率存在时,设 m 的方程为 y-1=k(x-1), ?y-1=k?x-1? ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1 ? 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0,
设该方程的两根为 x1,x2.由根与系数的关系, 2k2-2k 得 x1+x2= 2 =2,解得 k=2. k -2 故存在 m,其方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.
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【错因】

对于圆、椭圆这种封闭的曲线,以其内部一点

为中点的弦是存在的,而对于双曲线,这样的弦就不一定存在, 故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.

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【正解】 假设存在直线 m 过 B 与双曲线交于 Q1、Q2, 且 B 是 Q1Q2 的中点,当直线 m 的斜率不存在时,显然只与 双曲线有一个交点; 当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y-1=k(x -1), ?y-1=k?x-1? ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1 ? 3)=0, 知(2-k2)x2+(2k2 -2k)x-(k2 -2k+

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第二章 圆锥曲线与方程

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设该方程的两根为 x1、x2,由根与系数的关系, 2k2-2k 得 x1+x2= 2 =2,解得 k=2. k -2 当 k=2 时,Δ=(2k2-2k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0, 因此不存在满足题意的直线.

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