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北京市海淀区2015届高三数学上学期期中练习试题 文


北京市海淀区 2015 届高三数学上学期期中练习试题 文(扫描版)

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)A (6)A (3)D (7)C (4)B

2014.11

(8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) ? 3 (12) (10)1 (13) 2 (11) 2 (14) {a2 , a3}

1 1 ; 2 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f (

4π 4π 4π π ) ? sin ? sin( ? ) ? 0 . 3 3 3 3 π (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) 3 π π ? sin x ? (sin x cos ? cos x sin ) 3 3

????? 3 分

????? 5 分

1 3 1 3 π ? sin x ? ( sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 2 2 2 2 3
????? 9 分 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ? 由 2kπ ?

π π , 2kπ ? ](k ? Z) , 2 2

π π π ≤x ? ≤2kπ ? (k ? Z) , ????? 11 分 2 3 2 π 5π (k ? Z) . 得 2kπ ? ≤x≤2kπ ? 6 6 π 5π ](k ? Z) . ????? 13 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2kπ ? , 2kπ ? 6 6
(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ )由题意可知: a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d . 因为 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1成等比数列, ?????? 2 分

所以 (a2 ?1)2 ? a1 (a3 ?1) . 因为 a1 ? 1 , 所以 d ? 2d .
2

??????4 分

若 d ? 0 ,则 a2 ?1 ? 0 ,与 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1成等比数列矛盾. 所以 d ? 0 . 所以 d ? 2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ )因为 ?????? 7 分 ??????9 分 ????? 11 分

b2 a2 ? 1 ? ? 2 , b1 ? a1 ? 1 , b1 a1

所以 等比数列 {bn } 的首项为 1 ,公比为 2 .

1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 . 所以 Tn ? 1? 2
(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?D ? 2?B , cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

?????? 13 分

3 , 3
1 . 3
?????? 3 分

因为 ?D ? (0, π) ,

所以 sin D ? 1 ? cos D ?
2

2 2 . 3

?????? 5 分

因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ?1? 3 ? ? 2 . ????? 7 分 2 2 3

2 2 2 (Ⅱ)在△ ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 .

所以 AC ? 2 3 . 因为 BC ? 2 3 ,

?????? 9 分

AC AB ? , sin B sin ?ACB

?????? 11 分

所以

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin( π ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
?????? 13 分

所以 AB ? 4 .

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ) a 的值是 0. (Ⅱ) f ?( x) ? x2 ? 2ax . 当 a ? 0 时, f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 (??, ??) 内单调递增; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 2a ; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得: 2a ? x ? 0 . ?????? 7 分 ?????? 2 分 ?????? 4 分

综上所述,当 a ? 0 时,无递减区间;当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, 2a) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (2a, 0) . (Ⅲ) 因为 f ( x) ? 1 在区间 [3,??) 上恒成立, 即 所以 a ?

1 3 x ? ax 2 ? 0 在区间 [3,??) 上恒成立. 3
??????10 分

1 x 在区间 [3,??) 上恒成立. 3

因为 x ≥ 3 , 所以

1 x ≥1. 3

?????? 11 分 ?????? 13 分 ?????? 14 分

所以 a ? 1 . 所以 若 f ( x) ? 1 在区间 [3,??) 上恒成立, a 的最大值为 1.

(19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意知: S 2 ? 所以 a2 ? 2a1 . 因为 a2 ? 2 , 所以 a1 ? 1 . ?????? 3 分

3a2 3a ,即 a1 ? a2 ? 2 . 2 2
?????? 2 分

(Ⅱ)证明: 因为 S n ?

an (n ? 1) (n ? 1, 2,3, ) , 2 a (n ? 1 ? 1) 所以 S n ?1 ? n ?1 ( n ≥ 2 ). 2
因为 an ? Sn ? Sn?1 , 所以 an ?

?????? 4 分 ?????? 6 分

(n ? 1)an ? nan ?1 ,即 (n ? 1)an ? nan?1 . 2 n an ?1 . n ?1

因为 n ≥ 2 , 所以 an ? ?????? 8 分 ??????9 分

(Ⅲ)数列 {an } 是等差数列.理由如下: 由(Ⅱ)得: 所以

an an ?1 ? (n ? 2,3, 4, ) . n n ?1
?????? 11 分

an ? a1 ? 1(n ? 2) ,即 an ? n(n ? 2) . n

由(Ⅰ)知: a1 ? 1 ,所以 an ? n(n ? 1) . 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列. ?????? 13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) ①0 是 f ( x) ? x 的“? -点” ;
3

②0 不是 f ( x) ? sin x 的“? -点”. (Ⅱ)当 a ?

?????? 2 分

1 2 1 1 时, f ( x ) ? x ? ln x .其定义域为 (0, ??) , f '( x) ? x ? ( x ? 0 ). 2 2 x 1 (ⅰ)因为 f '(1) ? 2 , f (1) ? . 2 1 所以 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) , 2 3 即 y ? 2x ? . ?????? 4 分 2
令 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? ) ?

3 2

1 2 3 x ? ln x ? 2 x ? . 2 2
?????? 5 分

则 g '( x) ? x ? 因为 x ? 0 ,

1 ( x ? 1) 2 ?2 ? . x x

所以 g '( x) ?

( x ? 1) 2 x

≥ 0.

所以 函数 g ( x) 是 (0, ??) 上的增函数.

?????? 7 分

所以 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ? 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ?

3 ; 2

3 ; 2 3 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x ? . 2
所以 1 是函数 y ? f ( x) 的 “? -点”. (ⅱ)若函数 y ? f ( x) 存在“? -点” ,则 a 的取值范围是 a ? 0 . ????? 10 分

?????? 14 分


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