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高等流体力学例题复位势流量环量


例 1. 已知复位势为

(1) 分析流动由哪些基本势流组成; (2) 圆周 x2+y2=2 上的速度环量Г和流量 Q。 【解】: (1)

对比点源(汇),点涡,偶极子的复势,可以看出此流动由下列简单势流叠加而成: 位于原点的偶极子,其强度 M=2π,方向角(由点汇指向点源)β=π; 在点(0,1)和点(0,-1)各有一个点源和点涡,点源强度 Q1=2π,点涡强度Г1= 2π,方向为顺时针方向; 在点(0,2)和点(0,-2)各有一个点源和点涡,点源强度 Q2=4π,点涡强 度Г2=6π,方向为逆时针方向。

(2)

圆周 x +y =2 内部区域有两个同向涡点(强度为Г1),还有两个点源(强度为 Q1),
2 2

2

2

因此在圆周 x +y =2 上的速度环量和流量分别为



例 2. 势流由一个速度为 V∞,方向与 x 轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为 Q 的电源叠加而成,试求经过驻点的流线方程,并绘出该流线的大致形状。

【解】 :

驻点就是速度为零的点,令



可见,驻点的位置为







经过驻点的流线为

当θ=π/2 时,

当θ=0 时,

流线形状如图所示。

例 3. 求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知: V∞=5,Q=20π,a=2。

【解】 :

令:







下面求驻点位置:

所以



,即



当 x=-2,y=0(驻点)时,θ1=π+π/4,θ2=π-π/4,过驻点流线方程为

例 4. 已知平面流场的速度分布为 u=-x-y,v=y,试问(1)流场是否有旋?(2)沿如图所 示的曲线 ABCD 的速度环量Г时多少? 【解】 :

可见,流场内处处有旋,涡量为常数。使用 斯托克斯定理,可以使曲线 ABCD 的速度环量的计算变得简单

当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布,矩形每条边的平均速度等于两 端点的速度之和的一半,故 Г=-1×2+1/2×1-(-2)×4-1/2×1=2 答案虽然一样,但计算要复杂得多。

例 5. 已知速度分布为





试证流线和涡线平行,并求涡量与速度之间的数量关系,式中 k,C 为常数。

【解】:



涡线方程为

可以看出,涡线方程与流线方程完全相同。

例 6. 设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r),速度只是 r 的函 数,试证涡量为

【解】:不可压缩流体运动的连续性方程为

由于速度与θ无关,上式左边第二项为零,因此

流线的方程式为



涡量的表达式是

上式右边的第二项为零,因此


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