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(附答案)湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学(文)试题


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(附答案) 湖北省黄冈中学 2013 届高三 10 月月考数学 (理) 试题
命题人:袁小幼 审稿人:蔡盛 校对:周永林 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

i 的共轭复数为 1? i
( )

A. ?

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

【答案】 C 【解析】

i i ? (1 ? i ) ?1 ? i 1 1 ? ? ?? ? i 1? i 2 2 2 2

2.设 ? ? ??2, ?1, ? , ,1, 2? ,则使 f ( x) ? x? 为奇函数且在 (0, ??) 单调递减的 ? 的值 的个数是 ( ) B.2

? ?

1 1 2 2

? ?

A.1 【答案】A

C.3

D.4

【解析】仅有 ? ? ?1 时满足题意 3.以下说法错误的是( ) ..
2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”. 2 B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题.
2 2 D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .

【答案】C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p 、q 至少有一个为假命题即可。 4 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前

0 n 项 和 为 Sn , 若 a3 ? a9 ? a1 5? a 1 7? , 则 S21 的 值 是
C. 0 D.不能确定

A. 1 【答案】 C

( ) B. ?1

【解析】 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 4a11 ? 0,? a11 ? 0 , S21 ? 21a11 ? 0

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5.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的 俯视图的是 ( )

A. , (1)(3) B. (1)(4) , C. (2)(4) , D. , , , (1) (2) (3) (4) 【答案】A 【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一 个球. 6.一同学在电脑中打出如下若干个圆:○● ○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此规律继续下 去,得到一系列的圆,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是 ( ) A.61 B.62 C.63 D.64 【答案】A 【解析】作 如下分类○●,○○●,○○○●,○○○○●,……, n?n+3? n?n+3? ∴第 n 个●前共有小球的个数为 由题意知 ≤2012∴n=61. 2 2 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ? 7.已知:如图, | OA |?| OB |? 1 , OA 与 OB 的夹角为 120 , OC 与 OA 的夹角为 30 ,若
???? ??? ? ??? ? ? OC ? ? OA ? ? OB ( ?、? ? R )则 等于

?





A.

3 2
1 2

B.

2 3 3

C B O A

C.

D.2

【答案】D 【解析】应用向量加法三角形法则知

? 1 =2 ? ? sin 30?

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8. ?ABC 中, A ?

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为 ( ) B. 4 3 sin ? B ?

A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

C. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 3?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

【答案】D 【解析】方法 1:由正弦定理得

b c b?c b?c , ? ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C 2? sin sin B ? sin( ? B) 3 3 2? ? 得 b+c= 2 3 [sinB+sin( -B)]= 6 sin( B ? ) .故三角形的周长为:3+b+c= 3 6 3 ?

?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 . 6? ?
方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B= C.

? ,周长应为 3 3 +3, 故排除 A、B、 6

a b 9. 已知实数 a , b 满足等式 2 ? 3 , 下列五个关系式: 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ①

④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其中可能 成立的关系式有 ( ) B.①②⑤
a b

A.①②③ 【答案】B

C.①③⑤

D.③④⑤

【解析】设 2 ? 3 ? k , 则 a ? log2 k , b ? log3 k ,分别画出 y ? log2 x, y ? log3 x 的图 像可得. 10.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 ,a2 ,……,an n

的“平均和”, 已知数列 a1 ,a2 , ……,a500 的“平均和”为 2004, 那么数列 2, a1 ,a2 , ……,

a500 的“平均和”为

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A.2002 【答案】A 【解析】
2004 ?

( ) B.2004

C.2006

D.2008

500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 501? 2 ? 500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 ,? ? 2002 500 501

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上 ) 11. sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? . 【答案】
1 2

【解析】 sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? sin163? sin 223? ? sin(163? ? 90?)sin(223? ? 90?)
1 ? sin163? sin 223? ? cos163? cos 223? ? cos(223? ? 163?) ? cos60? ? . 2

12.不等式 2x ? 1 ? 5 ? x 的解集是 【答案】 (?? ,?6) ? ( ,?? )



4 3

【解析】两边平方转化为一元二次不等式. 13.曲线 f ( x) ? x 3 ? x 2 f ' (1) 在点 (2, m) 处的切线斜率为 【答案】0 【解析】 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 f ?(1) x , x ? 1 , 令 可得 f ?(1) ? ?3 , x ? 2 , 令 可得 f ?(2) ? 0 14.函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 1 有 【答案】2 【解析】分别画出 y ? .

?

?

个零点.

1 与 y ? x ? 2 ? x 的图像,可得它们有 2 个交点. x

15. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图 所示,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? 【答案】 2 2 ? 2 【解析】由图象知 . 2 0

y

2

6

x

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? ? 0, ? ?

2? ? ?x , 其 图 象 关 于 ?4,0?, x ? 2, x ? 6 对 称 知 , ? ,? f ? x ? ? 2 sin T 4 4

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ?8? ? 0, ?T ? 8, 2012 ? 251? 8 ? 4, ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ?
2? 3? 4? ? ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? 4 ? ? 2 ? sin ? sin ? sin ? sin 4 4 4 4 ? ? ? ? 2 2 ? 2. ?

CD 16.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB ∥ , AD ? CD ? 1, AB ? 3 ,动点 P 在 BCD 内运 动

( 含 边 界 ) 设 AP ? ? AD ? ? AB , 则 ? ? ? 的 最 大 值 , 是 【答案】 .

??? ?

????

??? ?

4 3

【解析】以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系, 设 P( x, y) ,则

AD ? (0,1), AB ? (3,0) ,? x ? 3? , y ? ? ,? ? ? , ? ? y ,
x 4 ? y 由线性规划知识知在点 C (1,1) 处取得最大值 . 3 3 5 17.若 ?x ? (1, ) ,使函数 g ( x) ? log2 (tx2 ? 2x ? 2) 有意义,则 t 的取值范围为 . 2 1 【答案】 t ? ? 2 5 2 2 5 2 【解析】不等式 tx ? 2 x ? 2 ? 0 有属于 (1, ) 的解,即 t ? 2 ? 有属于 (1, ) 的解.又 x x 2 2 5 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ? x ? 时, ? ? 1 ,所以 2 ? = 2( ? ) ? ∈? , 0) .故 t ? ? . [ 2 5 x x x x 2 2 2 2 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

x 3

?? ? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(Ⅰ )当 m =3 时,求 A ? (?R B) ; (Ⅱ )若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 【解析】由

6 x?5 ? 1, 得 ? 0, ??1 ? x ? 5 ? A ? {x | ?1 ? x ? 5} , x ?1 x ?1

(Ⅰ )当 m=3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 ?R B ? {x | x ? ?1或x ? 3}

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? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5}
(Ⅱ ? A ? {x | ?1 ? x ? 5}, A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, )

? 有4 2 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解得m ? 8 ,
此时 B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 19. (本小题满分 12 分) 已知 x ?

?

6 (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )作出函数 f (x) 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图(不要求书写作图过程) .

是函数 f ( x) ? (a sin x ? cos x) cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

1 2 1 1 a sin 2x ? cos 2x ,∴f (x) 最值是 ? a ?1 , 2 2 2 ? ? 1 2 ∵ ? 是函数 f (x) 图象的一条对称轴,∴f ( ) ? ? x a ?1 , 6 6 2 a 3 2 1 ? 1 ? 1 2 ) ? 0 ,∴ ? 3 ; a ∴ a sin 2( ) ? cos 2( ) ? ? a ? 1 , 整理得 ( ? 2 2 2 6 2 6 2
【解析】 )∵f ( x) ? (Ⅰ (Ⅱ f ( x ) ? sin( 2 x ? )

?

6

) ,画出其简图如下:

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20. (本小题满分 13 分) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固 定成本为 8 元.今 年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一 年多投入 100 万元(科技成本) ,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g (n) ?

8 ( n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售价保 n ?1

持不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n) 万元. (Ⅰ )求出 f (n) 的表达式; (Ⅱ )若今年是第 1 年,问第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】 ) f (n) ? (100 ? 10n) (10 ? (Ⅰ

8 n ?1

) ? 100n .

(Ⅱ )由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 21. (本小题满分 14 分) 已知 {an } 是正数组成的数列, a1 ? 1 ,且点 ( a n , an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ? x 2 ? 1 的图 象上.数列 {bn } 满足 b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? 3an (n ?N* ) . (Ⅰ )求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )若 cn ? 2an bn cosn? (n?N* ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 【解析】 )由已知得 an+ 1 = an + 1 , (Ⅰ ∴n = n. a ∴ an } 为首项为 1,公差为 1 的等差数列, {

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∵ n+ 1 - bn = 3n ,∴ n ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 ) ? 0 b b

= 31 + 32 + ? + 3n- 1 =
∴ n ? n , bn = a

1 n ?3 2

3(1 - 3n- 1 ) 3 n- 1 1 = (3 - 1) = ?3n 1- 3 2 2 3 . 2

3 , 2

??n(3n ? 3), 1 3 ? (Ⅱ Cn ? 2n ? ( ? 3n ? )cos n? ? ? n ) 2 2 ?n(3 ? 3), ?
∴ n 为偶数时 当

n为奇数, n为偶数.

Sn ? ?(31 ? 3) ? 2 ? (32 ? 3) ? 3 ? (33 ? 3) ? ? ? n(3n ? 3) ? (?31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? 5 ? 35 ? ? ? n ? 3n ) ? (3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 3n)
设 Tn = - 3 + 2 ?32 .

3?33

? + n 3n ,则 - 3Tn = 32 - 2 ?33

3?34

?- n 3n+ 1 ,

4 ∴ Tn = - 3 + 32 - 33 + 34 - ? + 3n + n 3n+ 1 ? ? ? (n ? ) ? 3n?1 ,

3 4

1 4

1 [?3 ? (4n ? 1) ? 3n?1 ] . 16 1 3 (4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 3 S ∴ n ? [?3 ? (4n ? 1) ? 3n ?1 ] ? ( ? n) ? . 16 2 16 ?(4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 21 当 n 为奇数时 S n ? S n ?1 ? cn ? , 16
∴n ? T
? ?(4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 21 , n为奇数. ? ? 16 ∴n ?? S n ?1 ? (4n ? 1) ? 3 ? 24n ? 3 , n为偶数. ? 16 ?

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ? x2 ? x ? R? . 1 ? x ? x2

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的极大值; (Ⅱ )若 et ? 2 x2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值 范围(这里 e 是自然对数的底数) ; (Ⅲ )求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有

?

?

?? ? a ? ? b ? 2 ? f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
【解析】 ) (Ⅰ

? ? a 2 ? ?b2 f? ? ???

? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 . ?≥? ? ? ??? ? ? ??? ?
2

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f ?? x? ?

?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ? x ? x ?

?

?

?

?

∴ f ? x? 的 增 区 间 为

? ?2
?

? 3 ,? 2 ?

?

3 , f ? x? 减 区 间 为

, ?? ?

? 2

? 3和

?

? ?2 ?

3, ?? .极大值为 f ?2 ? 3 ?
2 ?1 ? x 2 ? 1? x ? x
2

?

?

2 3 . 3

(Ⅱ )原不等式可化为 e ≥
t

由(Ⅰ )知, x ≤1 时, f (x) 的最大值为

2 3 . 3

2 ?1 ? x 2 ? 4 3 4 3 4 3 ∴ 的最大值为 ,由恒成立的意义知道 e t ≥ ,从而 t ≥ ln 2 3 3 3 1? x ? x
(Ⅲ )设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ?

1 ? x2 ? x ? x ? 0? 1 ? x ? x2
2 2

? ? x 2 ? 4 x ? 1?

?1 ? x ? x ?

?1 ? ?

x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ? x ?
2

2 2



∴ x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数, 当

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ? ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴ . ≤ ? ? ??? ? ??? ?
?? ? a ? ? b ? 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? ? ?? ? ? ? ? ?
2

2

? ? ? a ? ?b ?2 ? ?? ? ≥ ? ? ??? ? ?

? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 f? , ?? ??? ? ??? ?

2 ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b2 ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 即 f ?? . ?≥ ? ? ?? f ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?

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