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2018版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第3讲随机事件的概率理


第3讲
一、选择题

随机事件的概率

1.把 12 人平均分成两组,再从每组里任意指定正、副组长各一人,其中甲被指定为正组长 的概率是( 1 A. 12 ) 1 B. 6 1 C. 4 1 D. 3

1 解析 甲所在的小组有 6 人,则甲被指定正组长的概率为 . 6 答案 B 2.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为( A. ) D.

1 1 1 、 、 , 70 69 68 1 70

3 68

B.

3 69

C.

3 70

解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 p ? 1 ? 答案 C 3.盒中装有 10 个乒乓球,其中 6 个新球,4 个旧球.不放回地依次取出 2 个球使用,在第 一次取出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为 ( 3 A. 5 B. 1 10 5 C. 9 ). D. 2 5

69 68 67 3 ? ? ? . 70 69 68 70

解析 第一次结果一定,盒中仅有 9 个乒乓球,5 个新球 4 个旧球,所以第二次也取到 5 新球的概率为 . 9 答案 C 4. 把一枚硬币连续抛两次, 记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面”为事件 B, 则 P(B|A)等于 1 A. 2 B. 1 4 1 C. 6 ( ). D. 1 8

1 P?AB? 4 1 解析 法一 P(B|A)= = = . P?A? 1 2 2 法二 A 包括的基本事件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本事件为{正,正},因此

1

P(B|A)= .
答案 A 5.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ( 1 A. 6 ). 1 B. 3 1 C. 9 1 D. 2

1 2

解析 采用枚举法:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:{1,2}, {1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个,符合“一个数是另一个数的两倍”的 1 基本事件有{1,2},{2,4},共 2 个,所以所求的概率为 . 3 答案 B 6.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概 率是 1 A. 10 B. 3 10 3 C. 5 D. 9 10 ( ).

解析 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球通过列举知共有 10 个基本事件;所 取的 3 个球中至少有 1 个白球的反面为“3 个球均为红色”,有 1 个基本事件,所以所 1 9 取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 1- = . 10 10 答案 D 二、填空题 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两次都击中飞机},B={两次都没击 中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是 ________,互为对立事件的是________. 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为 A∩B=?,A∩C=?,B∩C= ?,B∩D=?.故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件,而 B∩D=?,B∪D=I, 故 B 与 D 互为对立事件. 答案 A 与 B、A 与 C、B 与 C、B 与 D

B与D

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方 体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为 a、b,则满足条件的三角形有两个解的概率是 _______. 解析 要使△ ABC 有两个解,需满足的条件是 ?
?a>bsinA, ? ?b>a ?

因为 A =30°,所以

2

?b<2a, ? ? ?b>a ?

满足此条件的 a,b 的值有 b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,

a=4;b=6,a=4;b=6,a=5,共 6 种情况,所以满足条件的 三角形有两个解的概
6 1 率是 = . 36 6 答案 1 6

9.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别 为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________. 解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 1 - (1 -

0.8)(1-0.75)=0.95. 答案 0.95 10.在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一 件,则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________. C5 解析 设 A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品},则 P(AB)= 2 ,所以 C100 5×4 100×99 P?AB? 4 P(B|A)= = = P?A? 5 99 100 答案 4 99
2

三、解答题 11.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 解 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5,Bj 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4. (1)记 A 表示事件:再赛 2 局结束比赛.

A=A3A4+B3B4.
由于各局比赛结果相互独立,故

P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)
=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. (2)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲
3

先胜 2 局,从而

B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5,
由于各局比赛结果相互独立,故

P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648. 12.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4,且 只乘一种交通工具去开会. (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率; (2)求他不乘轮船去开会的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为 0.5, 请问他有可能是乘何种交通工具去开会 的? 解 (1)记“他乘火车去开会”为事件 A1, “他乘轮船去开会”为事件 A2, “他乘汽车去 开会”为事件 A3,“他乘飞机去开会”为事件 A4,这四个事件不可能同时发生,故它们 是彼此互斥的.故 P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为 P, 则 P=1-P(A2)=1-0.2=0.8. (3)由于 0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.1+0.4)=0.5, 故他有可能乘火车或轮船去开会,也有可能乘汽车或飞机去开会. 13.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: 血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血, 问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A′,B′,C′,D′, 它们是彼此互斥的.由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′) =0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′+D′.根据 互斥事件的概率加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64. (2)法一 由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′ +C′,且 P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
4

法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的人”是对 立事件,故由对立事件的概率公式,有 P(B′+D′]) = 1-P(B′+ D′)= 1- 0.64= 0.36. 即:任找一人,其血可以输给小明的概率为 0.64,其血不能输给小明的概率为 0.36. 14. 如图, A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2, 据统计, 通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟)

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择 路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1) 知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.
5


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