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2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时训练新人教A版必修4

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式
如图,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O ,以 Ox 为始边作角?, ? ,它们的终边与单位圆 O 的交点分 别为 A, B ,则 OA ? (cos? ,sin? ),OB ? (cos ? ,sin ? ) . 由向量数量积的坐标表示,有 OA?OB ? (cos? ,sin ? ) ? (cos ? ,sin ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .

设 OA 与 OB 的夹角为? ,则 OA?OB ?| OA | ? | OB | cos? ? cos? ? cos? cos ? ? sin? sin ? .

另一方面,由图(1)可知,? ? 2kπ ? ? ?? ;由图(2)可知,? ? 2kπ ? ? ?? .于是? ? ? ? 2kπ ?? , k ? Z .

所以 cos(? ? ? ) ? cos? ,也有 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? .

所以,对于任意角?, ? 有 cos(? ? ? ) ? ____________________.此公式给出了任意角?, ? 的正弦、余弦

值与其差角? ? ? 的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作 C(? ?? ) . 有了公式 C(? ?? ) 以后,我们只要知道 cos?, cos ? ,sin?,sin ? 的值,就可以求得 cos(? ? ? ) 的值了.
2.两角和的余弦公式
比较 cos(? ? ? ) 与 cos(? ? ? ) ,并注意到? ? ? 与 ? ? ? 之间的联系: ? ? ? ? ? ? (?? ) ,则由公式

C(? ?? ) ,有 cos(? ? ? ) ? cos[? ? (?? )] ? cos? cos(?? ) ? sin? sin(?? ) ? ____________________.

于是,我们得到了两角和的余弦公式,简记作 C(? ?? ) .
3.两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式

运用差角的余弦公式 C(? ?? ) 和诱导公式,得

sin(? ? ? ) ? cos[ π ? (? ? ? )] ? cos[( π ??) ? ? ] ? cos( π ?? ) cos ? ? sin( π ?? )sin ? ? __________

2

2

2

2

__________.
于是,我们得到了两角和的正弦公式,简记作 S(? ?? ) .
(2)两角差的正弦公式
在公式 S(? ?? ) 中,用 ?? 代替 ? ,可以得到 sin(? ? ? ) ? sin[? ? (?? )] ? sin? cos(?? ) ? cos? sin(?? ) ? ____________________.

于是,我们得到了两角差的正弦公式,简记作 S(? ?? ) .
4.两角和与差的正切公式 (1)两角和的正切公式
当 cos(? ? ? ) ? 0 时,将公式 S(? ?? ) , C(? ?? ) 的两边分别相除,有 tan(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ,若 cos? cos? ? 0,将分子,分母分别除以
cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ? cos? cos ? ,得 tan(? ? ? ) ? ____________________,将其简记为 T(? ?? ) ,此为和角的正切公式.

(2)两角差的正切公式



T(? ??

)

中用

??

代替

?

,则

tan(?

?

?)

?

tan[?

?

(??

)]

?

tan? ? tan(?? ) 1? tan? tan(?? )

,又

tan(?? ) ? sin(?? ) ? ? sin ? ? ? tan ? , 所 以 t a n?( ? ? ?) ____________________ , 将 其 简 记 为 cos(?? ) cos ?

T(? ?? ) ,此为差角的正切公式.
(3)和角公式和差角公式
公式 S(? ?? ) ,C(? ?? ) ,T(? ?? ) 给出了任意角? , ? 的三角函数值与其和角? ? ? 的三角函数值之间的关系, 为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地,公式 S(? ?? ) ,C(? ?? ) ,T(? ?? ) 都叫做差角公式.
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角的正弦公式
对于公式 sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ,令? ? ? ,则

sin 2? ? sin(? ??) ? sin? cos? ? cos? sin? ? 2sin? cos? ,即 sin 2? ? ____________________,

简记为 S2? ,称为二倍角的正弦公式.

(2)二倍角的余弦公式
对于公式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ,令? ? ? ,则 cos 2? ? cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin2 ? ,

即 cos 2? ? ____________________,简记为 C2? ,称为二倍角的余弦公式.
(3)二倍角的正切公式

对于公式 tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ,令? ? ? ,则 1? tan? tan ?

tan 2?

?

tan(?

??)

?

tan? ? tan? 1? tan? tan?

?

2 tan? 1? tan2 ?

,即 tan 2?

? ____________________,简记为 T2?



称为二倍角的正切公式.

参考答案:

1. cos? cos ? ? sin? sin ?

2. cos? cos ? ? sin? sin ?

3.(1) sin? cos ? ? cos? sin ? (2) sin? cos ? ? cos? sin ?

4.(1) tan? ? tan ? (2) tan? ? tan ?

1? tan? tan ?

1? tan? tan ?

5.(1)

2sin?

cos?

(2)

cos2

?

?

sin2

?

(3)

2 tan? 1? tan2 ?

重点
难点 易错

两角差的余弦公式的推导,两角和的余弦公式、两角和与差的正弦、正切公式的应用,二倍 角公式的应用 两角差的余弦公式的探索和推导 求三角函数值时忽略角的范围

一、和、差角公式及二倍角公式的应用 1.正用和、差角公式时,要注意三角函数值的符号,把非特殊角的三角函数化为特殊角的和或差的三角函 数,或把非特殊角转化为题目中已知角的和或差. 在逆用和、差角公式时,应准确找出所给式子与公式右边的异同,创造条件逆用公式,同时应注意所给角
的关系,逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角?, ? . 2.已知? 的某个三角函数值,求 2? 的三角函数值,一般先根据已知角? 的取值范围,确定 2? 的取值范围,

再根据已知的某个三角函数值和二倍角公式,求得 2? 的三角函数值.注意观察题中角度间的关系,发现其特
征,并能根据式子的特点构造出二倍角的形式,正用、逆用二倍角公式求值.
【例 1】(1)求值: 1? sin20 ; cos10 ? sin170

(2)求证:

.

【解析】(1)原式=

sin210 ? cos210 ? 2sin10 cos10

sin10 ? cos10 ?

? cos10 ? sin10 ? 1.

cos10 ? sin170

cos10 ? sin10 cos10 ? sin10

(2)方法一:

sin x

左边

?

cosx

?

sinx

?

cos

2 x

?

cosxcos x ? sinxsin x

2

2

cos x

?

cos

? ??

x

cos

? x

x 2

? ??

?

1

?

右边,

2

2

2

原式成立.

方法二:

左边 ? cos2

x ? sin2

x ? 2sin

x cos x

sin x 2

? cos2

x ? sin2

x ? 2sin

x sin

x

? cos2

x ? sin2

x

2

2

2 2 cos x

2

2

22

2

2

2

右边, 原式成立.

二、给值求值

1.解给值求值型问题的一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同 角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 2. 注 意 找 已 知 式 与 待 求 式 之 间 角 的 差 异 , 实 现 角 的 变 换 . 常 见 角 的 变 换 如 下 :
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?,

2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,2? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?,2? ? ? ? (? ? ?) ??,2? ? ? ? (? ? ? ) ?? ,

? ?? ?? ?? ?? ,? ?? ?? ?? ?? .

2

2

2

2

3.在给值求值的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围.

【例 2】若 tan α = ,则 cos2α +2sin 2α =

A.

B.

C.1

D.

【答案】A

【解析】方法一:由 tan α =

,cos2α +sin2α =1,得



,则 sin 2α =2sin

α cosα = ,则 cos2α +2sin 2α = +

.

方法二:cos2α +2sin 2α = cos2? ? 4sin?cos? ? 1? 4tan? ? 1? 3 ? 64 .故选 A.

cos2? ? sin2?

1? tan2? 1? 9 25

16

【例 3】(1)已知 sin? ? cos ? ? 3 , cos? ? sin ? ? ? 5 ,求 sin ?? ? ? ? 的值;

4

4

(2)已知 sin? ? sin ? ? 2 , cos? ? cos ? ? 7 ,求 cos?? ? ? ? 的值;

3

9

(3)已知

,求

的值.

【解析】(1)已知 sin? ? cos ? ? 3 ①, cos? ? sin ? ? ? 5 ② .

4

4

①2 ? ②2 得 sin2 ? ? 2sin? cos ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos? sin ? ? sin2 ? ? ( 3)2 ? (? 5)2 .

4

4

∵ sin2 ? ? cos2 ? ?1,sin2 ? ? cos2 ? ?1,sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin ?? ? ? ?,

∴ 2 ? 2sin ?? ? ? ? ? 34 ,即 sin?? ? ? ? ? 1 .

16

16

(2)已知 sin α +sin β = ①,cos α +cos β = ②,

①2+②2 得 sin2α +2sin α sin β +sin2β +cos2α +2cos α cos β +cos2β =( )2+( )2.

∵sin2α +cos2α =1,sin2β +cos2β =1,cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β ), ∴2+2cos(α -β )= ,即 cos(α -β )=- .

(3)

=

= ,可得

,两边平方得

= ,即

= ? 12 ,即

.

25



,解得

,

所以

=

=

=

=

1? 2

2 2

?

? ??

?

4 5

?

3 5

? ??

?

3? 2

2 2

?

? ??

?

4 5

?

3 5

? ??

?

7

6? 20

2.

【名师点睛】对于形如 asin α +bsin β =c 和 asin α +bcos β =c 等的正弦、余弦的条件式,通过平方可得

到乘积项 sin α sin β 和 sin α cos β 等的形式,再结合 sin2θ +cos2θ =1 消去平方项,使之与两角和与差

的三角公式相符合,总之,平方相加是基本方法.

三、给值求角 对于给值求角的问题,需注意以下两个问题: (1)根据题设条件求角的某一三角函数值; (2)讨论角的范围,必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大小.
【例 4】已知 sin α +sin β =1- ,cos α +cos β = ,若 α -β ∈(0,π ),求 α -β 的值.

【解析】∵sin α +sin β =1- ,cos α +cos β = ,

∴(sin α +sin β )2+(cos α +cos β )2=(1- )2+( )2=2- .
又(sin α +sin β )2+(cos α +cos β )2=sin2α +2sin α sin β +sin2β +cos2α +2cos α cos β +cos2β =2+2(sin α sin β +cos α cos β ) =2+2cos(α -β ),∴2+2cos(α -β )=2- ,即 cos(α -β )=- .

又 α -β ∈(0,π ),∴α -β = .

【得分锦囊】已知三角函数值求角,选函数时,可按照下列原则:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正、 余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是(0, ),有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是

(- , ),选正弦函数较好;若角的范围是(0,π ),选余弦函数较好.

四、和、差角公式及二倍角公式与其他知识的综合

1.和、差角公式及二倍角公式与三角形相结合的问题,注意应用三角形的内角和为 180°求解,另外,记住

些常用结论,可以简化求解过程,达到事半功倍的效果,如:在△ABC 中,

sin(A ? B) ? sin C,cos(A ? B) ? ? cosC, sin A ? B ? cos C , tan( A ? B) ? ? tan C 等.

2

2

2.由于差角的余弦公式是由向量的数量积推导而得的,而三角变换的作用是研究三角函数的性质的,因此以

三角变换为载体考查三角函数的图象和性质,或以向量的坐标表示为载体考查三角变换公式,都是常见的考

查点,注意掌握.

【例 5】已知 , , 为 △ABC 的三个内角,且

的值.

【解析】∵



,∴



,sinB ? 4 ,cos ?2A ? C ? ? ? 4 ,求 cos2 A

5

5



.∵

,∴











,∴











【名师点睛】本题在三角形中考查了两角差的正弦函数,三角函数的求值,属于基本知识的考查,由已知

可求得 的值,即可求出

的值.

五、求三角函数值时忽略角的范围

【例 6】已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α ,β ∈(0,π ),则 2α -β =

A. π B. ? π

4

4

C. ? 3π D. π 或 ? 3π 44 4

【错解】因为 tan

2(α



2tan ?? ? ? ?
)=
1? tan2 ?? ? ? ?

2? 1 ?2
1? (1)2

?

4, 3

2

所以 tan(2α



)=tan[2(α



)+β

tan2?? ? ? ? ? tan? ]= 1? tan2?? ? ? ? tan?

?

4 3

?

? ??

?

1 7

? ??

1

?

4 3

?

? ??

?

1 7

? ??

=1,则 2α



=

π 4

或 ? 3π 4

.故

选 D.

【错因分析】错解中没有根据题设条件确定 2α -β 的取值范围,从而产生增解.

【正解】因为 tan

2(α



2tan ?? ? ? ?
)=
1? tan2 ?? ? ? ?

2? 1 ?2
1? (1)2

?

4, 3

2

所以 tan(2α



)=tan[2(α



)+β

tan2?? ? ? ? ? tan? ]= 1? tan2?? ? ? ? tan?

?

4 3

?

? ??

?

1 7

? ??

1

?

4 3

?

? ??

?

1 7

? ??

=1.

又 tan

α

=tan[(α



)+β

tan ?? ? ? ? ? tan? ]= 1? tan ?? ? ? ? tan?

?

1 2

?

? ??

?

1 7

? ??

1?

1 2

?

? ??

?

1 7

? ??

?1 3

,

α ∈(0,π ),所以 0<α < .又 <β <π ,所以-π <2α -β <0,所以 2α -β =- .故选 C.

【名师点睛】利用三角函数值求角时,不仅要注意已经明确给出的有关角的范围,还要结合有关角的三角 函数值尽可能地缩小角的范围.

1.cos45°·cos15°+sin45°·sin15°=
A. 1 B. 3 22

C. 3 D. 3 3
2.已知 sin? ? cos? ? ? 1 ,则 5
A. 12 25
C. 24 D. ? 12 25 25

的值为

B. ? 24 25

3.已知角 α ,β 均为锐角,且 cos? ? 3 ,tan(α -β )= ,则 tanβ = 5

A. B.

C. D.3

4.若 A 是△ABC 的内角, cos A ? 7 ,则 25
A. B.
C. D.

5.化简:

sin

? ??

π 3

??

? ??

?

sin

? ??

π 3

??

? ??

=

.

cos

? ??

π 3

?

?

? ??

?

cos

? ??

π 3

?

?

? ??

6.若 cosxcosy+sinxsiny= 1 ,则 cos(2x-2y)=

.

3

7.若锐角 满足

,则

.

8.已知

,

, cos ? ? ?? ? ? 2 .

10

(1)求 的值; (2)求 的值.
9.在△ABC 中,cos A= ,tan B=2,求 tan(2A+2B)的值.
10.已知 tan α =- ,cos β = ,α ,β ∈(0,π ). (1)求 tan(α +β )的值;
(2)求函数 f ? x? ? 2 sin ? x ?? ? ? cos? x ? ? ? 的最大值.

11.如果 A.锐角三角形 C.钝角三角形

,那么以 A,B,C 为内角的△ABC 是
B.直角三角形 D.任意三角形

12.若 A.

且 B.

C.

D.



的值为

13.已知

,则 在

上的最大值为

.

14.已知 (1)若

. ,求 的值.

(2)若

,求

的值.

15.在△ABC 中,A,B 为锐角,且 B<A,sin A= ,sin 2B= .
(1)求角 C 的值; (2)求证:5cos Acos(A+3B)=2sin B.

16.(2015 新课标全国Ⅰ) sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =

A. ? 3 B. 3 C. ? 1 D. 1

2

2

22

17.(2014 新课标全国Ⅰ)设? ? (0, π), ? ? (0, π) 且 tan? ? 1? sin ? , 则

2

2

cos ?

A. 3? ? ? ? π B. 3? ? ? ? π

2

2

C. 2? ? ? ? π D. 2? ? ? ? π

2

2

18.(2016 新课标全国Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ + π )= 3 ,则 tan(θ – π )=

.

45

4

19.(2015 广东)已知 tan ? ? 2 .

(1)求

tan

????

?

π 4

? ??

的值;

(2)求

sin 2?

的值.

sin2 ? ? sin ? cos? ? cos 2? ?1

1.B【解析】cos45°·cos15°+sin45°·sin15°=

.故选 B.

2.C【解析】由题意得

,两边同时平方得

故选 C.

3.D【解析】因为 均为锐角,所以

,所以 tan? ? tan ??? ? ?? ? ? ??? ?

tan? ? tan ?? ? ? ? 1? tan ?? ? ? ? tan?

4?1

? 33

1?

? ??

?

1 3

? ??

?

4 3

?

3 ,故选

D.

4.D【解析】因为

,所以

,又 A 是△ABC 的内角,所以

,

,

所以

.故选 D.

2sin π cos?

5. 【解析】原式=

3

=tan

.

2cos π cos?

3

6.- 【解析】由 cos xcos y+sin xsin y= ,可知 cos(x-y)= ,则 cos(2x-2y)=2cos2(x-y)-1=2×( )2-1=- .

7. 【解析】由



角,

故填

,

tan? ? tan ? ? 1? tan? tan ?

3 ,又 α ,β 都是锐

2an ?

8.【解析】(1)∵tan



,∴tanα



1

?

tan

2 2?



,

2

? sin?



? ?

cos

?

?

4 3

解得 sin α = (sin α =

).

??sin2? ? cos2? ? 1

(2)由(1)知 cos α =

=,

又 0<α < <β <π ,∴β -α ∈(0,π ),而 cos(β -α )= ,∴sin(β -α )=

=,

于是 sinβ =sin[α +(β -α )]=sin α cos(β -α )+cos α sin(β -α )= .

又 β ∈( ),∴β = .

9.【解析】方法一:在△ABC 中,由 cos A= ,0<A<π ,得 sin A= 1? cos2 A ? 1? ( 4)2 ? 3 ,∴tan A=

.

55

又 tan

B=2,∴tan(A+B)= tanA ? tanB 1? tanAtanB

3?2 ?4
1? 3?2

=-

.

4

∴tan(2A+2B)=tan 2(A+B)=

2tan ? A ? B?

?

2

?

? ??

?

11 2

? ??

?

44

.

1? tan2 ? A ? B? 1? (? 11)2 117

2

方法二:在△ABC 中,由 cos A= ,0<A<π ,得 sin A= ,

∴tan A=

,∴tan

2A= 2tanA 1? tan2 A

2? 3 ?4
1? (3)2

?

24 . 7

4

又 tan

B=2,∴tan

2B= 2tanB 1? tan2B

?

2?2 1? 22

=-

,

∴tan(2A+2B)= tan2 A ? tan2B ?

24 7

?

? ??

?

4 3

? ??

? 44 .

1? tan2Atan2B

1

?

24 7

?

? ??

?

4 3

? ??

117

10.【解析】(1)由 cos β = ,β ∈(0,π ),得 sin β = 2 5 ,tan β =2, 5

tan? ? tan?

所以

tan(α



)=
1? tan? tan?

=1.

(2)因为 tan α =- ,α ∈(0,π ),所以 sin α = ,cos α =- ,

f(x)=- sin x- cos x+ cos x- sin x=- sin x,

所以 f(x)的最大值为 .

11.A【解析】 ,所以

= tan A ? tan B ,又 1? tan A tan B
=

=

,则

=

,显然,△ABC 是锐角三角形.

12.D【解析】

,即

,所以

,

由同角三角函数的基本关系知,

,由 ②得

,所以

.故选 D.

13. 【解析】

= ? 3 sin2x ? 1? cos2x =

2

2

.因为



所以

2

x

?

π 6

?

????

2π 3

,

π 6

? ??

,所以当



时, 有最大值,为 .

14.【解析】(1)因为

,所以 sin? ? cos? ? 1 ,平方得 2sin? ? cos? ? 24 ,

5

25

即 sin 2? ? 24 . 25

(2)因为 a ? (1,sin? ) , b ? (1, cos? ) ,所以



所以 sin? ? cos? ? 0 ,得 tan? ? ?1, 所以 sin? ? 2 cos? ? tan? ? 2 ? ?1? 2 ? ? 1 .
2sin? ? cos? 2 tan? ?1 ?2 ?1 3

15.【解析】(1)∵A 为锐角,sin A= ,∴cosA= 1? ( 5 )2 ? 2 .

5

5

又∵B<A,sin A=

,∴B<45°,

∵sin 2B= ,∴cos 2B= 1? 9 ? 4 , 25 5

∴cosB= 1? cos2B ? 3 ,sin B= .

2

10

∴cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sin Asin B=-

+

=- ,

∴C=135°.

(2)由(1)知 A+B=45°,

∴cos(A+3B)=cos(45°+2B)=cos 45°cos 2B-sin 45°sin 2B= -

,

∴左边=5cos Acos(A+3B)=5× 2 ? 2 ? 10 ,右边=2sin B=2×

,

5 10 5

∴5cos Acos(A+3B)=2sin B 成立. 16.D【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o = 1 ,故选 D.
2

17.C【解析】由已知得 tan ? ? sin? ? 1? sin ? ,去分母得 sin? cos ? ? cos? ? cos? sin ? ,所以 cos? cos ?

sin? cos ? ? cos? sin ? ? cos? ,即 sin(? ? ? ) ? cos? ? sin( π ??) ,又因为 ? π ? ? ? ? ? π ,

2

2

2

0 ? π ?? ? π ,所以? ? ? ? π ?? ,即 2? ? ? ? π ,选 C.

2

2

2

2

18 .

?4 3

【解析】由题意,

sin(?

?

π) ? 4

3 , cos(? 5

?

π) ? 4

4, 5

?

???sin ? ? ???cos?

cos cos

π 4 π 4

? cos? ? sin?

sin sin

π 4 π 4

? ?

3 5 4 5

,解得

???s i n? ? ?cos? ??

?1 ?5 2
?7 52

,所以 tan?

?

?

1 7

, tan(?

?

π) 4

?

tan? ? tan π 4
1? tan? tan π 4

? 1 ?1 ?7
1? 1 ?1 7

?

?

4. 3

19.【解析】(1) tan ????

?

π 4

? ??

?

tan? ? tan π 4
1? tan? tan π

?

tan? ?1 1? tan?

? 2?1 1? 2

?

?3 .

4

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