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第六章不等式


第六章、不等式
一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

放缩法的方法有:
2 ⑴添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ; n( n ? 1) ? n

⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ? (

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意 分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) , 直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

n(n ? 1) ?

n ? (n ? 1) 2

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

⑷利用常用结论:Ⅰ、 k ? 1 ? k ?

1

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a2 ? b2 a?b 2 a?b 2 基本变形: a ? b ? ; ① ②若 a, b ? R , a 2 ? b 2 ? 2ab , 则 ?( ) ( ) ? ; 2 2 2
若 a, b ? 0 ,则 基本应用:①放缩,变形;②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定 积 大 。 当 ab ? p ( 常 数 ) 当 且 仅 当 时 , ; 当 a ? b ? S ( 常 数 ) 当 且 仅 当 , , 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方;如:①函数 y ? 4 x ? ②若正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 三、绝对值不等式: ? 四、常用的基本不等式:
2

1 k2 1 Ⅲ、 2 k
Ⅱ、

k ?1 ? k 1 1 1 ; ? ? ? k (k ? 1) k ? 1 k 1 1 ? 2 ? ? k ? 1 (k ? 1)( k ? 1)

?

1 2 k



1 1 1 1 (程度大) ? ? ? 2 k (k ? 1) k k ? 1 k 1 1 1 ( ? ) ; (程度小) 2 k ?1 k ?1

(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用 的换元有三角换元和代数换元。如: 已知 x ? y ? a ,可设 x ? a cos? , y ? a sin? ;
2 2 2

已知 x ? y ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin? ( 0 ? r ? 1 );
2 2

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2



1 1 。 ? 的最小值 x y (注意:上述等号“=”成立的条件; ? ?
2

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin? ; a2 b2 x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? ; a b
已知 (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ; Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ; (2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大 于零;注:要对 ? 进行讨论: (5)绝对值不等式:若 a ? 0 ,则 | x |? a ? 注意:(1).几何意义: | x | : ;| x ? m | : ;| x |? a ? ; ; ;

(1)设 a, b ? R ,则 a ? 0, (a ? b) ? 0 (当且仅当 (2) | a |? a (当且仅当 时取等号) | a |? ?a (当且仅当 ; ;

时取等号) 时取等号)

1 1 1 1 (3) a ? b, ab ? 0 ? ? ; ? ? a b a b

五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证…… (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
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(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、 等于、 小于零进行讨论去绝对值; ①若 a ? 0 则 | a |? ②若 a ? 0 则 | a |? ;③若 a ? 0 则 | a |?

;(3).通过两边平方去绝对值;需要注

意的是不等号两边为非负值。(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论” 的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x)

;⑵

f ( x) ?0? g ( x)



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f ( x) ?0? g ( x)

;⑷

f ( x) ?0? g ( x)



椭圆及其标准方程

(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是 这个不等式组 的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时, 首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一 般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元 二次方程根的状况(有时要分析△) ,比较两个根的大小,设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参 数,要分 x1 ? x2 、 x1 ? x2 、 x1 ? x2 讨论。 七、八、平面解析几何 (一)直线与圆知识要点 1.直线的倾斜角与斜率 k=tgα ?

?第一定义、第二定义 ? ?标准方程(注意焦点在哪个轴上) ? (a ?椭圆的简单几何性质: 、b、c、e的几何意义,准线方程,焦半径) ?椭圆的参数方程x ? a cos? , y ? b sin ? ,当点P在椭圆上时, ? ?   可用参数方程设点的坐标,把问题转化为三角函数问题。 ?
2.双曲线及其标准方程:
?第一定义、第二定义(注意与椭圆相类比) ? ?标准方程(注意焦点在哪个轴上) ?双曲线的简单几何性质: 、b、c、e的几何意义,准线方程,焦半径,渐近线) (a ?

3.抛物线及其标准方程:
?定义,以及定义在解题中的灵活应用 ? ?  (抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。) ? ?标准方程(注意焦点在哪个轴上,开口方向,p的几何意义)四种形式 ?抛物线的简单几何性质: (焦点坐标,准线方程,与焦点有关的结论) ?

y 2 ? y1 ( P1 ( x1,y1 )、P2 ( x 2,y 2 )) ,直线的倾斜角α一 x 2 ? x1
K

直线与圆锥曲线:
?位置关系,经常抓为方程的解的情况。 ? ?弦长。运用韦达定理解决 ?面积。注意合理分析 ?

定存在,范围是[0,π],但斜率不一定存在。牢记下列图像。 斜率的求法:依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标 2.直线方程的几种形式,能根据条件,合理的写出直线的方程;能够根据方 程,说出几何意义。 (1)点斜式

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 (x1,y1 ) ,且斜率为 k)。

O


π α

注意点: (1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 (2)要学会变形使用两点间距离公式

d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
1

(2)斜截式 y=kx+b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距)。(注意:(1)截距不 是距离;(2)过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征) (3)两点式
y ? y1 x ? x1 1 ? ( y1 ? y 2 ) ( P ( x1,y1 ) 、 P2 ( x 2,y 2 ) ( x1 y 2 ? y1 x 2 ? x1

,当已知直线 l 的斜率

? x 2 ))。

(4)一般式 Ax+By+C =0(其中 A、B 不同时为 0)。 3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。 (斜 率相等还有可能重合) 4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。 5.点到直线的距离公式。 6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。 8.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。

角 时,还可以得到 或 (3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论: 直线的倾斜角α的范围是[0,π) 直线的倾斜角与斜率的变化关系:当倾斜角是锐角是,斜率 k 随着倾斜角α的增大而增大。 当α是钝角时,k 与α同增减。 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 两条直线的平行和垂直 ( 1 ) 若 l1 : y ? k1 x ? b1,2 : y ? k 2 x ? b2 l

2 d ? 1 ? 2 y 2 ? y1 k 时,公式变形为 d ? 1 ? k x 2 ? x1 或 k ;当已知直线的倾斜 d ? x2 ? x1 ? sec? d ? y 2 ? y1 ? csc? ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin? 圆的参数方程: ?
掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。 (二) 、圆锥曲线
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l2 ?

k 1k 2 ? ?1 ( 2 ) 两 直 线 : l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0; l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

① l1//l2 ? k 1 ? k 2,b1 ? b 2



② l1 ⊥ ,

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0; l1 // l2 ?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2
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k ? k1 k ? k1 , 夹角? , tan? ? 2 两直线的到角公式:L1 到 L2 的角为θ, tan? ? 2 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2
(注意夹角和到角的区别) | Ax0 ? By0 ? C | 点到直线的距离公式, d ? (点 P x0,y 0 )直线 l: ? By ? C ? 0 ) ( , 。 Ax A2 ? B 2 两平行直线间距离的求法。 有关对称的一些结论 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 (a,-b)(-a,b)(-a,-b)(b,a) , , , 如何求点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于 点(a,b)对称的直线方程有时什么? 如何处理与光的入射与反射问题? 8.曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为: (1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴 (4)原点(5)直线 y=x (6)直线 y=-x (7)直线 x=a 9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 2 2 2 点 P?x0 , y 0 ? ,圆的方程: ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 2 2 如果 ?x0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r ? 点 P?x0 , y 0 ? 在圆外; 2 2 2 ? 如果 ?x0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r 点 P?x0 , y 0 ? 在圆内; 2 2 2 如果 ?x0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r ? 点 P?x0 , y 0 ? 在圆上; 2 2 2 10.圆上一点的切线方程:点 P?x0 , y 0 ? 在圆 x ? y ? r 上,那么过点 P 的切线方程为: 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴 垂直的直线。 (切线方程的求法) 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直 角三角形解决弦长问题。d>r ? 相离 d=r ? 相切 d<r ? 相交 13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆 心距为 d,两圆的半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 d=r+R ? 两圆相外切 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d=|R-r| ? 两圆相内切 ? 两圆内含 d<|R-r| d=0,两圆同心。 14.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x2+y2+D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 16.椭圆

MF 1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ? a

a2 a2 ( | PF1 |?| e( x ? ) |,PF2 |?| e( | ? x) | )。 M ?F 2 ? ?ex 0 ? a c c

(点 p 在左支或者右支的时候, 上面的公式都可以去绝对值符号的, 作题时自己灵活处理)
y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P .
2 2

通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. 抛物线 y2=2px 上的动点可设为 P (
2 y0 ,y 0 ) 或 P 2 pt 2,pt ) P x, )其中 y 2 ? 2 px 。 2 ( 或( y , 2p

(强烈建议理解:以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切) (2)三角形 PF1F2的面积如何计算 17、圆锥曲线的对称(中点、定比)问题:曲线 F(x,y)=0 关于点 P( x0,y 0 )成中 2 心对称的曲线是 F (2 x0 ? x,y 0 ? y ) ? 0 。(可以利用中点坐标公式推导之)。 17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
2 2 18.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: | AB |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 或

x0 x ? y 0 y ? r 2

1 k2 ?y ? kx ? b (注意和韦达定理结合使用) (弦端点A( x1,y1 ),B( x2,y 2 ),由方程 ? ? F ( x, y ) ? 0 2 消去y得到 ax ? bx ? c ? 0 ,△>0,α为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率,以上化简思 | AB |? (1 ? k 2 )( x 2 ? x1 ) 2 ? 1 ? k 2 x 2 ? x1 ? (1 ? k 2 ) ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?| y1 ? y 2 | 1 ?
路再结合韦达定理使用,是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧) 19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的 方程。 共轭双曲线的双曲线系方程: 曲线的渐近线为
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双

?

?

x2 a2
2

?
2

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ?

? x ? a cos ? 。(圆和椭圆的参数方程一定要过关) ? y ? b sin ?
a2 a2 ),PF2 |? e( ? x) 。可适当化简,“左加右减”. | c c
MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 | PF1 |? e( x ? 2 2
a b

双曲线

x

2

a2

?

y2 b2

?1 的 焦 半 径 公 式 “ 长 加 短 减 ” 原 则 :
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构成满足

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b 1 1 例如:若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2 x2 x2 y2 1 解:令双曲线的方程为: ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 4 2 20、直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、 4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与 渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 21.抛物线中与焦点有关的一些结论: (要记忆)
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