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[中考数学压轴题的解题策略12讲之十一]由面积公式产生的函数关系问题


三角形的面积策略: 确定底,构造高. 已知高,计算底. 相似三角形的面积比.

多边形的面积策略:割;补.

09金山25

动点D,AD=x, AB=3

1 AO = AC , 垂线交AD于E , 交AB于F 4
设五边形BCDEF的面积为S,求S关于x的函数解析式,并 写出自变量x的取值范围.

第一步 确定方法,寻找矛盾 确定方法,

AD = x, AB = 3, 1 AO = AC 4 AC = x 2 + 9 1 2 AO = x +9 4

割补

用x表示AE、AF

第二步 解决矛盾

AO =

1 1 2 AC = x +9 4 4

AE AC = AO x
AO ? AC x 2 + 9 AE = = x 4x

AF AC = AO 3 AO ? AC x 2 + 9 AF = = 3 12

第三步 整理变形

AO ? AC x 2 + 9 AE = = x 4x
AO ? AC x 2 + 9 AF = = 3 12

1 1 x 2 + 9 x 2 + 9 ? x 4 + 270 x 2 ? 81 S = 3x ? AE ? AF = 3 x ? × ? = 2 2 4x 12 96 x

这个解析式折磨你的自信! 这个解析式折磨你的自信!

定义域怎么办? 第四步 定义域怎么办?

先画两个夸张的图启迪一下思路 动点D,AD=x,AB=3
1 AO = AC , 垂线交AD于E , 交AB于F 4

定义域怎么办? 第四步 定义域怎么办?

再凭借经验考虑特殊性

AD = 3 AB = 3 3
3 AB = 3 3

AD =

小结
求函数解析式, 求函数解析式, 思路是顺畅的, 思路是顺畅的, 方法是明显的, 方法是明显的, 计算是麻烦的, 计算是麻烦的, 结果是罕见的! 结果是罕见的! 求函数解析式, 求函数解析式, 割补, 割补, 相似比, 相似比, 无理式、分式, 无理式、分式, 折磨你的自信! 折磨你的自信!
1 S = 3 x ? AE ? AF 2 1 x2 + 9 x2 + 9 = 3x ? × ? 2 4x 12 ? x 4 + 270 x 2 ? 81 = 96 x

小结
写函数定义域, 写函数定义域, 哪能直接写出来啊! 哪能直接写出来啊! 这是挑战满分的决定性的1分 这是挑战满分的决定性的 分!

思想不丰富, 思想不丰富, 经验最主要! 经验最主要! 先夸张画图, 先夸张画图, 再凭借经验思考, 再凭借经验思考, 后计算. 后计算

AD = 3 AB = 3 3

3 AD = AB = 3 3

09青浦25

动点P : A → B, v = 1, t 动点Q : B → C → D, v = 2, t

(点P不与A、B重合) 设△APE的面积为y,求出y关于 关于t的函数解析式,并写出 关于 函数的定义域.

读懂题目, 第一步 读懂题目,分类画图

动点P : A → B, v = 1, t 动点Q : B → C → D, v = 2, t

确定方法, 第二步 确定方法,寻找矛盾

确定底AP 构造高EN 怎样求EN

分类解决矛盾 解决矛盾——求EN 第三步 分类解决矛盾 求

相似三角形 对应高的比 等于对应边 的比

分类解决矛盾 解决矛盾——求EN 第三步 分类解决矛盾 求

2t EG = 8 8 ? EG 8t EN = EG = t+4

相似三角形 对应高的比 等于对应边 的比

8 EN = 16 ? 2t 8 ? EN
32 EN = 12 ? t

分类整理变形 第四步 分类整理变形

8t EN = t+4
1 4t 2 S = AP ? EN = 2 t+4

32 EN = 12 ? t

1 16t S = AP ? EN = 2 12 ? t

第五步 定义域没有悬念

1 4t 2 S = AP ? EN = 2 t+4

1 16t S = AP ? EN = 2 12 ? t

(点P不与A、B重合)

小结

思想 方法 技巧

分类讨论思想 对应高的比等于对应边比 画图, 画图,磨刀不误砍柴工

第(2)(4)两个临界图不必画出来,但要心中有数

09北京24

4 tan B = 3

P为射线CD上任意一点(P不与C重合),连结EP,将线 段EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EG. 设CP的长为x,△PFG的面积为y,求y与x之间的函数关 系式,并写出自变量x的取值范围.

第一步 解读背景图

4 tan B = 3

4 tan D = 3

第二步 按题意分类画图 按题意分类画图 分类

如果你的图形很规范,那么直觉四边形CEFH是正方形. 如果你知道旋转的性质,那么四边形CEFH是正方形. 否则,你会一筹莫展!

第三步 解决矛盾

底边FG = x 高PH = 4 ? x

底边FG = x 高PH = x ? 4

分类整理变形 第四步 分类整理变形

高PH = 4 ? x
S= 1 1 FG ? PH = x(4 ? x) 2 2 1 2 = ? x + 2x 2

高PH = x ? 4
S= 1 1 FG ? PH = x( x ? 4) 2 2 1 2 = x ? 2x 2

定义域的临界点是H 第五步 定义域的临界点是

1 2 S = ? x + 2x 2

1 2 S = x ? 2x 2

P为射线CD上任意一点(P不与C重合) x的取值范围是0<x<4. x的取值范围是x>4.

小结

典型题赋予了新环境

09广东22

设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关 系式;当M运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大, 并求出最大值.

第一步 确定方法,寻找矛盾 确定方法,

割补

用x表示DN

第二步 解决矛盾

相似 三角形

4 4? x = x CN

1 2 1 2 CN = x ? x DN = 4 ? x + x 4 4

第三步 整理变形

1 2 DN = 4 ? x + x 4
1 1 2 S ?ADN = × 4(4 ? x + x ) 2 4 1 2 = x ? 2x + 8 2

y = 16 ? S ?ADN

1 2 ?1 2 ? = 16 ? ? x ? 2 x + 8 ? = ? x + 2 x + 8 2 ?2 ?

第四步 配方

1 2 y = ? x + 2x + 8 2 1 2 = ? ( x ? 4 x ? 16) 2 1 2 = ? ( x ? 4 x ? 4 + 20) 2 1 = ? ( x ? 2) 2 + 10 2

因此,当x=2时,y取最大值,最大值为10.

小结 基本没有障碍, 基本没有障碍, 只需计算细心。 只需计算细心。 步步为赢! 步步为赢!

CN

DN

S△ADN

y=SABCN

09日照23 该设施的下部ABCD是矩形,其中 AB=2米,BC=1米;上部CDG是 等边三角形,固定点E为AB的中 点.△EMN是由电脑控制其形状 变化的三角通风窗(阴影部分均 不通风),MN是可以沿设施边框 上下滑动且始终保持和AB平行的 伸缩横杆. 设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米) 表示成关于x的函数; 请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请 求出这个最大值;若没有,请说明理由.

第一步 解读背景图

分类画图 画图, 第一步 分类画图,寻找矛盾 设EF为x,△EMN的面积为S

用x表示MN

MN为定值2

第二步 分类解决矛盾 设EF为x,△EMN的面积为S 分类解决矛盾

GF = 1 + 3 ? x

MN为定值2

2 3 2 3 MN = GF = (1 + 3 ? x) 3 3

第三步 分类整理变形 分类整理变形

2 3 MN = (1 + 3 ? x) 3 1 S = MN ? EF 2 1 2 3 = ? (1 + 3 ? x) x 2 3 3 2 3+ 3 =? x + x 3 3

MN为定值2
S= 1 MN ? EF 2 1 = × 2x 2 =x

第四步 写定义域

S =?

3 2 3+ 3 x + x 3 3

S=x

0<x≤1

1 < x < 1+ 3

第五步 求S的最大值 的最大值
S =? 3 2 3+ 3 x + x 3 3

抛物线开口向下, 1+ 3 对称轴x = 2
1 < x < 1+ 3
S=x

当x =

1+ 3 3+ 2 3 时,S 最大值 = . 2 6

0<x≤1 S的最大值为1

3+ 2 3 3+ 2 3 . 比较 > 1 因此S有最大值,最大值为 6 6

小结
求函数解析式, 求函数解析式, 分类是明显的, 分类是明显的, 思路是清晰的, 思路是清晰的, 计算不很麻烦! 计算不很麻烦! 写函数定义域, 写函数定义域, 一目了然! 一目了然!
3 2 3+ 3 S =? x + x 3 3
S=x

1 < x < 1+ 3

0<x≤1 S的最大值为1
3+ 2 3 >1 6

1+ 3 当x = 时, 求函数最大值, 求函数最大值, 2 放弃也是一种选择! 放弃也是一种选择! 3+ 2 3 S 最大值 = . 6

比较

09温州24

动点D : O → C , v = 1, t 动点E : A → B, v = 2, t
设四边形AEFD的面积为S,求S关于t的函数关系式 .

第一步 解读背景图数据的特殊性

tan B =

2 2 3

=

3 3

∠B = 30°

y E = 2t ? sin 30° = t = y D

DE // x轴

第二步 确定割补方法,突破矛盾 确定割补方法,

ME = AE ? cos 30° = 3t DE = 3 + 3t

第三步 解决问题

S = S ?ADE + S ?FDE 1 = DE ( AM + FN ) 2 1 = ( 3 + 3t ) × 2 2 = 3t + 3

如果这样割补? 小结 如果这样割补?

两个阴影三角形是等高的,底的和式定值! 两个阴影三角形是等高的,底的和式定值!

如果这样割补? 小结 如果这样割补?

S梯形OABC = 4 3

S ?AOD S ?DCF + S ?EFB 1 3 3 = × 3 3 (2 ? t ) = ? t +3 3 2 2

3 = t 2

3 3 3 S =4 3? t ? (? t + 3 3 ) = 3t + 3 2 2

小结

思路决定出路! 思路决定出路!
关键是求公共底边 DE的长

关键是认识两个阴影 三角形是等高的

详细的解题过程 和动感体验
请参考

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