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函数的性质-单调性、奇偶性、对称性、周期性


函数单调性、奇偶性、对称性、周期性
一、函数的单调性
1.函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是_______ 2.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则 a 的取值范围是________ _

3.若函数 f ( x) ? logk ( x 2 ? kx ? 3) 在区间 ? ? ?, ? 上是减函数,则实数 k 的取值范围是______________ 2

? ?

k? ?

4.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, 那么 a 的取值范围是 ( ? log a x, x ? 1
(B) (0, )



1 1 1 (D) [ ,1) 7 3 7 x 5. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 记
(A) (0,1) (C) [ , )

1 3

1 若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数, 则实数 a 的取值范围是 ( g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] . 2
A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1)



1 2

D. (0, ]

1 2

6.设函数 f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? a ? 1) ,给出下述命题: ① f ( x) 有最小值; ②当 a ? 0 时, f ( x) 的值域为 R ;

③当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 [2,??) 上有反函数; ④若 f ( x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 , 则其中正确的命题是_____________

二、函数的奇偶性
1. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1 3.若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______ x? y 4. 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( ), 1 ? xy
2.已知函数 f ( x) ? a ?
x

则 f ( x) 在(-1,1)上为

函数(奇、偶、非奇非偶)

1

5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

三、函数的对称性
1.函数自对称 轴对称:
(1)关于 y 轴对称的函数(偶函数)的充要条件是 f (? x) ? f ( x) (2)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈R,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ( ? f (2a ? x) ? f ( x) ), 那么函数 y=f(x)的图像关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ? a) 是偶函数 (3)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈R, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立, 则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=

a?b 对称 2

点对称:
(1)关于原点 ? 0, 0 ? 对称的函数(奇函数)的充要条件是 f ( x) ? f (? x) ? 0 (2)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈R, 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 0 成立, 则函数 y ? f ( x) 图像关于点 ( a, 0) 对称 ? y ? f ( x ? a) 是奇函数 (3)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈R, 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 成立, 则函数 y ? f ( x) 图像关于点 ( a, b) 对称

2.两个函数的图象对称性
(1) y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。

2

(2) y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。 (3) y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。 (4) y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。 (5) y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点 ? a, b ? 对称。 换种说法:y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b , 即它们关于点 ? a, b ? 对称。 (6) y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ?

a?b 对称。 2 a 2

若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 1. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,在区间[ -2,0 ]上单调递减,设

a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则则 a , b, c 的由大到小顺序为_____________
2 若 函 数 y ? f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上 是 增 函 数 , 且 y ? f ( x ? 2) 图 像 关 于 y 轴 对 称 , 设
? 3? a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f (? ) ,则则 a , b, c 的由大到小顺序为_____________
3 4

3 设 f ( x) ? x ? px ? 3 满足 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,且在 ?m,0? 上的值域为 ? 2,3? ,
2

则 m 的取值范围为

四、函数的周期性
定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为 T,T 为这个函数的一个周期(说明:nT 也 是 f ( x) 的周期) 注意:关于函数的周期性的几个重要性质: 1.如果函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且最小正周期为 T,那么 f ( ) ? f ( ?

T 2

T )?0 2

2.如果函数 f ( x) 所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的最小 正周期,如果 y ? f ( x) 是周期函数,那么 y ? f ( x) 的定义域无界 3.若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期,说明:nT 也是 f ( x) 的周期

3

推广:若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 4.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于直线 x ? a 和 x ? b (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数,

2(b ? a) 是它的一个周期
推论:若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称,则 f ( x) 是周期 函数, 2 a 是它的一个周期 5.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于点 ( a,0) 和点 (b,0) (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数,

2(b ? a) 是它的一个周期
推论:若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象关于点 ( a,0) (a ? 0) 对称,则 f ( x) 是周期函 数, 2 a 是它的一个周期 6.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于直线 x ? a 和点 (b,0) (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函 数, 4(b ? a) 是它一个周期 推论:若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称,则 f ( x) 是周期 函数, 4 a 是它的一个周期 7. 若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ? 2 a 是它的一个周期

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 是周期函数, f ( x) f ( x)

8. f ( x ? a) ?

1 , ( f ( x) ? 1) ,则 f ( x) 的周期 T=3a 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 则 f ( x ) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x)

9. f ( x ? a) ?

1 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? _______。 f ? x?
3 2 3 2

2. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对一切 x ? R , 恒有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) , 若 f (1) ? 2 , 则 f (2) ? f (3) = 。

3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)= 4. 已知函数 y ? f ( x) 是一个以 4 为最小正周期的奇函数,则 f (2) ? 5.已知 f ( x) 是(- ?, 当 0 ? x ? 1 时, f(x)=x, 则 f(7.5)=________ ? ? )上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x) , 6 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 a , b, c 的由大到小顺序为_____________
4

6 5

3 2

5 2

7.已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 f (2005)= 1 ? f ( x)

.

8.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? [0,2] 时 f ( x) ? 2 x ? x 2 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005 )= 9.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x),当x ?[0, 2]时,f ( x) ? x2 ? 2x ,则当

x ? [?4,?2]时, f ( x) 的最小值是_____________
10.已知定义在 R 上,最小正周期为 5 的函数 f ( x) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,且 f (3) ? 0 ,则 在区间 ? 0,10 ? 内,方程 f ( x ) ? 0 的解的个数至少为_________个

2] 时, 11.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,已知 x ? [?2,

? 2] 时, f ( x) ? ________ 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 1 ,则 x ? [?6,

5


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