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【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)抛物线 理 北师大版

第六节

抛 物 线

【考纲下载】 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 (范围、对称性、顶点、离心率 等). 2.了解圆锥曲线的简单应用.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用. 3.理解数形结合思想.

1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程和几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py 标准 (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 方程 范围 开口 方向 焦半径 (其中 P(x0,y0))

x2=-2py (p>0)

O(0,0) y=0 ?p ? F? ,0?

x=0

?2

?

? p ? F?- ,0? ? 2 ?
p x=

? p? F?0, ? ?
2?

p? ? F?0,- ?

?

2?

e=1 p x=-
2 x≥0, y∈R 向右 |PF|= 2 x≤0, y∈R 向左 |PF|= -x0+

p y=-

2 y≥0, x∈R 向上 |PF|=

p y=

2 y≤0, x∈R 向下 |PF|= -y0+

x0+

p
2

p
2

y0+

p
2

p
2

1.当定点 F 在定直线 l 上时,动点的轨迹是什么图形? 提示:当定点 F 在定直线 l 上时,动点的轨迹是过定点 F 且与直线 l 垂直的直线. 2 2. 抛物线 y =2px(p>0)上任意一点 M(x0, y0)到焦点 F 的距离与点 M 的横坐标 x0 有何关系? 2 若抛物线方程为 x =2py(p>0),结果如何?

-1-

提示:由抛物线定义得|MF|=x0+ ;若抛物线方程为 x =2py(p>0),则|MF|=y0+ . 2 2

p

2

p

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) 2 2 A.y =-8x B.y =-4x 2 2 C.y =8x D.y =4x 2 解析:选 C 由抛物线准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右,故抛物线方程为 y =8x. 2 2.抛物线 y =4x 的焦点 F 到准线 l 的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 解析:选 B 因为抛物线 y =4x,所以 2p=4,而焦点 F 到准线 l 的距离为 p=2. 2 3.抛物线 y=2x 的焦点坐标为( ) 1 ? ? A.? ,0? B.(1,0) ?2 ? ? 1? ? 1? C.?0, ? D.?0, ? ? 8? ? 4? 1 1 p 1 2 2 2 解析:选 C 将抛物线 y=2x 化成标准方程为 x = y,所以 2p= , = ,而抛物线 x 2 2 2 8 1 ? 1? = y 的焦点在 y 轴的非负半轴上,所以焦点坐标为?0, ?. 2 ? 8? 4 .抛物线的 焦点为椭圆 + = 1 的左焦点, 顶点为椭 圆中心,则抛 物线方程 为 9 4 ________________. 2 2 解析:由 c =9-4=5,得 F(- 5,0),则抛物线方程为 y =-4 5x. 2 答案:y =-4 5x 2 5.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. p ? 2 ? ?p ? ?p ? 解析:F? ,0?,则 B? ,1?,∴2p? =1,解得 p= 2.∴B? ,1?, 2 4 4 ? ? ? ? ?4 ? 因此 B 到该抛物线的准线的距离为 3 2 答案: 4 2 2 3 2 + = . 4 2 4

x2

y2

考点一
2

抛物线的定义及应用

[例 1] 设 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. [自主解答]

-2-

(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1. 由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小.显然,连接 AF 交曲线于点 P,则所求的最小值为|AF|,即为 5.

(2)如图,过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为 4. 【互动探究】 若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4),求|PB|+|PF|的最小值. 解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为 B,F 两点间的距 离. 2 2 ∴|PB|+|PF|≥|BF|= 4 +2 = 16+4=2 5.即|PB|+|PF|的最小值为 2 5. 【方法规律】 抛物线定义中的“转化”法 利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距 离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问 题的有效途径.

? ? 1.(2014?吉安模拟)已知动圆过定点 F? ,0?,且与直线 x=- 相切,其中 p>0,则动 2 2 ? ? 圆圆心的轨迹 E 的方程为____________.
p p

? ? 解析:依题意得,圆心到定点 F? ,0?的距离与到直线 x=- 的距离相等,再依抛物线的 2 ?2 ? 2 定义知,动圆圆心的轨迹 E 为抛物线,其方程为 y =2px. 2 答案:y =2px 2 2.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,若|AF|=3,则|BF|= ________. 2 解析:因为抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0).显然,当 AB 垂直于 x 轴时,|AF|≠3, 2 所以 AB 的斜率 k 存在,设 AB 的方程为 y=k(x-1),与抛物线 y =4x 联立, 2 2 2 2 2 2 2 2 消去 y 得 k x -2k x-4x+k =0,即 k x -(2k +4)x+k =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由根与系数的关系得 2 2k +4 4 p x1+x2= 2 =2+ 2.又|AF|=3=x1+ =x1+1,所以 x1=2, k k 2 5 1 2 2 2 2 2 代入 k x -2k x-4x+k =0,得 k =8,所以 x1+x2= ,x2= , 2 2 1 3 故|BF|=x2+1= +1= . 2 2 3 答案: 2
p p

考点二

抛物线的标准方程及性质

-3-

[例 2] (1)(2013?四川高考)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离 3 是( ) 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 (2)(2013?江西高考)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 3 3 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. [自主解答] (1)由抛物线 y =4x,有 2p=4,p=2.其焦点坐标为(1,0),双曲线 x - = 3 1 的渐近线方程为 y =± 3 x. 不妨取其中一条 3 x - y = 0. 由点到直线的距离公式有 d = | 3?1-0| 3 = . 2 3+1
2 2 2

2

2

y2

x2 y2

y2

AB 3 p? ? 3 (2)在等边三角形 ABF 中,AB 边上的高为 p, = p,所以 B? p,- ?.又因为点 B 在 2 3 2? ?3 p2 p2
3 4 双曲线上,故 - =1,解得 p=6. 3 3 答案:(1)B (2)6 【方法规律】 1.求抛物线的标准方程的方法及流程 (1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件 确定 p 值即可. (2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. 2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧 (1)关键:利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成 标准方程. (2)技巧:要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解. 1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 解析:选 B 依题意,设抛物线方程是 y =2px(p>0),则有 2+ =3,得 p=2,故抛物线 2 方程是 y =4x,点 M 的坐标是(2,±2 2),|OM|= 2 +8=2 3. 2.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点 到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 16 3 2 2 A.x = y B.x = y 3 3 2 2 C.x =8y D.x =16y 解析:选 D 双曲线的渐近线方程为 y=± x,由于 = )
2 2 2

p

x a

2

y b

2 2

b a

c a

a2+b2 = a2

1+? ? =2,所 a

?b?2 ? ?

p
2 b ? p? 以 = 3,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.抛物线的焦点坐标为?0, ?,所以 =2,则 2 a 2 ? ? p=8,所以抛物线方程为 x2=16y.

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高频考点

考点三

直线与抛物线的位置关系

1.直线与抛物线的位置关系,是高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试题难度较 大,多为中、高档题. 2.直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度: (1)已知抛物线方程及其他条件,求直线方程; (2)证明直线过定点; (3)求线段长度或线段之积(和)的最值; (4)求定值. [例 3] (2012?福建高考)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛 2 物线 E:x =2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点. [自主解答] (1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 3,y=|OB|cos 30°=12. 2 2 因为点 B(4 3,12)在 x =2py 上,所以(4 3) =2p?12,解得 p=2.故抛物线 E 的方程 2 为 x =4y. 1 2 1 (2)证明:由(1)知 y= x ,y′= x. 4 2 1 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0,且 l 的方程为 4 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 0. 2 2 4 1 1 x0-4 ? ? 2 ?y= x0x- x2 ?x= , 0, x0 -4 ? 2 4 2 x 0 ,-1? 由? 得? 所以 Q 为? ?. 2x0 ? ? ? ? ?y=-1, ?y=-1. ???? ???? ? 1 2 设 M(0,y1),令 MP ? MQ =0 对满足 y0= x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 4
2 ???? ???? ???? ???? ? ?x0 ? -4 x2 0-4 ,-1-y1? 由于 MP =(x0,y0-y1),MQ =? ,由 MP ?MQ =0,得 -y0-y0y1 ? 2 x 2 ? 0 ? 2

1 2 2 2 +y1+y1=0,即(y1+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足 y0= x0(x0≠0)的 y0 恒成立, 4
?1-y1=0, ? 所以? 2 ?y1+y1-2=0, ?

解得 y1=1.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 (1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件,若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻
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找关于该量的方程,解方程即可. (2)证明直线过定点.可依题设条件寻找该直线的方程,可依据方程中的参数及其他条件 确定该直线过那个定点. (3)求线段长度和线段之积(和)的最值.可依据直线与抛物线相交,依据弦长公式,求出 弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或利用函数的知识,求函数的最值;也 可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. (4)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻找待定式子的表达式,化简即 可得到. (2014?汉中模拟)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x =2py(p>0)相交于 B,C ???? ??? ? 1 两点.当直线 l 的斜率是 时, AC =4 AB . 2 (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时, 2
?x =2py, ? 1 l 的方程为 y= (x+4),即 x=2y-4,联立? 2 ?x=2y-4, ?
2 2

消去 x,得 2y -(8+p)y+8

2

???? ??? ? 8+p =0,y1+y2= ,y1y2=4,由已知 AC =4 AB ,∴y2=4y1, 2 2 由韦达定理及 p>0 可得 y1=1,y2=4,p=2,∴抛物线 G 的方程为 x =4y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在,且不为 0,设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), 2 ? ?x =4y, 2 由? 得 x -4kx-16k=0, ?y=k?x+4?, ? xB+xC 2 由 Δ >0 得 k<-4 或 k>0,∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k +4k,BC 中垂线方程为 y 2 1 2 2 -2k -4k=- (x-2k),∴b=2(k+1) ,∴b>2.故 b 的取值范围为(2,+∞).
k
———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论 2 已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2, y2),则有以下结论: 2p (1)|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 所在直线的倾斜角); sin α (2)x1x2= ; 4 2 (3)y1y2=-p ; (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为 2p. ?3 个注意点——抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首先要判断抛物线是否为标 准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. (2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题. (3)直线与抛物线有一个交点, 并不表明直线与抛物线相切, 因为当直线与对称轴平行(或 重合)时,直线与抛物线也只有一个交点.

p2

-6-

前沿热点(十五) 与抛物线有关的交汇问题 1.抛物线是一种重要的圆锥曲线,在高考中,经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查, 主要考查抛物线的方程及几何性质,直线与抛物线的综合应用,点到直线的距离等. 2.直线与抛物线的综合问题,经常是将直线方程与抛物线方程联立,消去 x(或 y),利 用方程的根与系数的关系求解,但一定要注意直线与抛物线相交的条件. 2 [典例] (2013?湖南高考)过抛物线 E:x =2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2 的两 条不同直线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1 与 E 相交于点 A,B,l2 与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为 直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k1>0,k2>0,证明: FM ? FN <2p ; 7 5 (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ,求抛物线 E 的方程. 5 [解题指导] (1)直线 l1 的方程与抛物线方程联立,得出根与系数的关系,再由向量的坐
2

???? ?

????

标形式得出 FM ? FN 的表达式,再证明不等式; (2)先求出点 M 到直线 l 的距离的表达式,再求最值,结合已知条件即可求 p,从而得出 抛物线方程. [解] (1)证明:由题意,抛物线 E 的焦点为 F?0, ?,直线 l1 的方程为 y=k1x+ . 2 ? 2?

???? ?

????

?

p?

p

p ? ?y=k1x+ , 2 由? 2 ? ?x =2py,

得 x -2pk1x-p =0.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2

2

2

则 x1,x2 是上述方程的两个实数根.从而 x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk1+p. 所以点 M 的坐标为?pk1,pk1+ ?, FM =(pk1,pk1). 2? ?
2 2

?

p?

???? ?

同理可得点 N 的坐标为?pk2,pk2+ ?, FN =(pk2,pk2). 2? ?
2 2

?

p?

????

于是 FM ? FN =p (k1k2+k1k2).由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2, ? ???? 2 ?k1+k2?2=1.故 ???? 2 2 FM 所以 0<k1k2<? ? FN <p (1+1 )=2p . ? ? 2 ?
2 2 2

???? ?

????

(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+ ,|FB|=y2+ , 2 2 2 2 所以|AB|=y1+y2+p=2pk1+2p,从而圆 M 的半径 r1=pk1+p. 故圆 M 的方程为(x-pk1) +?y-pk1- ? =(pk1+p) , 2? ? 3 2 2 2 2 化简得 x +y -2pk1x-p(2k1+1)y- p =0. 4 3 2 2 2 2 同理可得圆 N 的方程为 x +y -2pk2x-p(2k2+1)y- p =0. 4 2 2 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为(k2-k1)x+(k2-k1)y=0. 又 k2-k1≠0,k1+k2=2,则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0,所以点 M 到直线 l 的距离 1?2 7? ? ? p?2?k1+4? + ? 2 2 ? 8? |2pk1+pk1+p| p|2k1+k1+1| ? ? d= = = . 5 5 5
2 2 2 2

p

p

?

p?2

-7-

1 7p 7p 7 5 故当 k1=- 时,d 取最小值 .由题设, = ,解得 p=8. 4 5 8 5 8 5 故所求的抛物线 E 的方程为 x =16y. [名师点评] 解答本题的关键有以下两点: (1)充分利用 k1>0,k2>0,k1≠k2 时,k1?k2<?
2 2

?k1+k2?2; ? ? 2 ?
2

|2k1+k1+1| 2k1+k1+1 2 (2)注意 2k1+k1+1>0,即 d= = . 5 5 (2013?广东高考)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2 3 2 =0 的距离为 ,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 2 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. |0-c-2| c+2 3 2 解:(1)依题意 d= = = ,解得 c=1, 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 x =4y. 1 2 1 2 (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由 x =4y,即 y= x ,得 y′= x. 4 2 ∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1), 2 x1 1 2 1 2 x1 即 y= x+y1- x1.∵y1= x1,∴y= x-y1.∵点 P(x0,y0)在直线 PA 上, 2 2 4 2 ∴y0= x0-y1.①同理,y0= x0-y2.② 2 2 综合①②得,点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0= x0-y, 2 ∵经过 A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y0= x0-y,即 x0x-2y-2y0=0. 2 (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|?|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, ?x0x-2y-2y0=0, ? 2 2 2 联立方程? 2 消去 x 整理得 y +(2y0-x0)y+y0=0, ? x = 4 y , ? 2 2 ∴y1+y2=x0-2y0,y1y2=y0,∵x0-y0-2=0, 1?2 9 ? 2 2 2 2 2 ∴|AF|?|BF|=y0-2y0+x0+1=y0-2y0+(y0+2) +1=2y0+2y0+5=2?y0+ ? + , 2? 2 ? 1 9 ∴当 y0=- 时,|AF|?|BF|取得最小值为 . 2 2
2

x1

x1

x2

x

x

[全盘巩固] 2 1.抛物线 x =(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( 5 3 A. B. 2 2

)

-8-

1 C.- 2

3 D.- 2

1 ?1 ? 2 解析:选 D 把抛物线方程化为 x =-2? -a?y,则 p= -a,故抛物线的准线方程是 y 2 ?2 ? 1 1 -a -a 2 p 2 3 = = ,则 =1,解得 a=- . 2 2 2 2 2 2.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y =x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直 1 线 x+ =0 的距离等于( ) 2 7 9 A. B.2 C. D.4 4 4 ? 1? 2 解析:选 C 直线 4kx-4y-k=0,即 y=k?x- ?,即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y ? 4? 1 7 ?1 ? =x 的焦点? ,0?.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+ =4,故 x1+x2= ,则弦 AB 的 2 2 ?4 ? 7 1 7 1 9 中点的横坐标是 ,所以弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离是 + = . 4 2 4 2 4 2 3.(2013?江西高考)已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( ) A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 1 1 2 解析:选 C FA:y=- x+1,与 x =4y 联立,得 xM= 5-1,FA:y=- x+1,与 y= 2 2 |FM| xM 1 -1 联立,得 N(4,-1),由三角形相似知 = = . |MN| 4-xM 5 则| FA |+| FB |+| FC |=( ) A.9 B.6 C.4

??? ?

4.设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA + FB + FC =0,
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? (x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即 x1+x2+x3=3,| FA |+| FB |+| FC |=x1+x2+x3

D.3

解析:选 B 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又 F(1,0),由 FA + FB + FC =0 知, 3 + p=6. 2 5.已知点 M(1,0),直线 l:x=-1,点 B 是 l 上的动点,过点 B 垂直于 y 轴的直线与线 段 BM 的垂直平分线交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 解析:选 A 由点 P 在 BM 的垂直平分线上,故|PB|=|PM|.又 PB⊥l,因而点 P 到直线 l 的距离等于点 P 到点 M 的距离,所以点 P 的轨迹是抛物线. 2 6.(2013?新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 解析:选 C 设 P(x0,y0),根据抛物线定义得|PF|=x0+ 2,所以 x0=3 2, 1 1 2 代入抛物线方程求得 y =24,解得|y|=2 6,所以△POF 的面积等于 ?|OF|?|y|= 2 2 ? 2?2 6=2 3. 2 7.(2013?北京高考)若抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程 为________.

-9-

解析:∵抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0),∴ =1,解得 p=2,∴准线方程为 x= 2 -1. 答案:2 x=-1 2 8.(2014?厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点________. 2 2 解析:因为动圆的圆心在抛物线 y =4x 上,且 x=-1 是抛物线 y =4x 的准线,所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0). 答案:(1,0) 2 9.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是________. 解析:法一:

2

p

如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行且与抛物线 y=-x 相切的直线为 4x+3y+b=0,切 2 ?y=-x , ? 2 线方程与抛物线方程联立得? 消去 y 整理得 3x -4x-b=0, 则 Δ =16+12b ? 4 x + 3 y + b = 0 , ? 4 4 2 =0,解得 b=- ,所以切线方程为 4x+3y- =0,抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8 3 3 ?8-4? ? 3? ? ? 4 =0 距离的最小值是这两条平行线间的距离 d= = . 5 3 2 法二:对 y=-x ,有 y′=-2x.如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行且与抛物线 y=- 4 2 x2 相切的直线与抛物线的切点是 T(m,-m2),则切线斜率 k=y′|m=-2m=- ,所以 m= , 3 3 8 4 ? - -8? ?3 3 ? 2 4 ? ? 4 ? ? 即切点 T? ,- ?,点 T 到直线 4x+3y-8=0 的距离 d= = ,由图知抛物线 y=- 3 9 3 ? ? 16+9

2

x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 d= .
4 答案: 3

4 3

? 1? ? 5? 2 10.已知以向量 v=?1, ?为方向向量的直线 l 过点?0, ?,抛物线 C:y =2px(p>0)的 2 4 ? ? ? ? 顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 A,B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交于
点 N,若 OA ? OB +p =0(O 为原点,A,B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程. 1 5 解:(1)由题意可得直线 l 的方程为 y= x+ ,① 2 4 过原点垂直于 l 的直线方程为 y=-2x.② 1 解①②得 x=- .∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上, 2 p 1 2 ∴- =- ?2,p=2.∴抛物线 C 的方程为 y =4x. 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),由题意知 y0=y1.
2

??? ?

??? ?

- 10 -

由 OA ? OB +p =0,得 x1x2+y1y2+4=0,又 y1=4x1,y2=4x2,解得 y1y2=-8,③ y2 4 直线 ON:y= x,即 y0= x0.④由③④及 y0=y1 得点 N 的轨迹方程为 x=-2(y≠0).
2 2 2

??? ?

??? ?

x2

y2

∥ OA , FO ∥ OP (其中 O 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

??? ?

11.已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E,F,且 AE ⊥ AF ,动点 P 满足 EP

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

(2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M,N,若 AM ? AN <0, 求直线 l 的斜率的取值范围.

???? ?

????

???? ??? ? ??? ? yE?yF+4=0,∴yE?yF=-4,①又 EP =(x+1,y-yE), FO =(1,-yF), ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? y 且 EP ∥ OA , FO ∥ OP ,∴y-yE=0 且 x(-yF)-y=0,∴yE=y,yF=- ,
x
代入①得 y =4x(x≠0),∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y =4x(x≠0). (2)设 l:y-2=kx(易知 k 存在,且 k≠0), ?y=kx+2, ? 2 联立? 2 消去 x,得 ky -4y+8=0, ? y = 4 x , ? 1 2 Δ =4 -32k>0,即 k< .令 M(x1,y1),N(x2,y2), 2 4 8 则 y1+y2= ,y1?y2= ,
2 2

解:(1)设 P(x,y),E(-1,yE),F(-1,yF),∵ AE ? AF =(-2,yE)?(-2,yF)=

??? ?

???? ? ???? AM ? AN =(x1-1,y1)?(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 2 2 y1y2?2 ?y1+y2?2 3 y2 y2 1?y2 1+y2 ? = - +1+y1y2=? + y1y2+1 ?- 16 4 4 2 ? 4 ?
= 12

k

k

k

+1<0,∴-12<k<0,故实数 k 的取值范围为(-12,0).

1 ?1 ? 12.(2014?珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 P 2 2 ? ? 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时, 弦长|TS|是否为定值?请说明理由. 解:

(1)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ⊥FP,∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离.点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|. 2 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为 y =2x(x>0). (2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0|=

x0,
圆的半径 r=|MA|= ?x0-1? +y0,则|TS|=2 r -d =2 y0-2x0+1, 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= ,所以|TS|=2 y0-y0+1=2,是定值. 2 [冲击名校]
2 2 2 2 2

y2 0

2

2

- 11 -

已知直线 y=-2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时, 求直线 l2 的方程. 解:(1)设点 P 的坐标为(x,y),则点 Q 的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴当 x=0 时,P,O,Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0. y -2 2 当 x≠0 时,得 kOP?kOQ=-1,即 ? =-1,化简得 x =2y,

x

x

∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0). (2)∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. ?y=kx+b, ? 2 设直线 l2 的方程为 y=kx+b,由? 2 得 x -2kx-2b=0. ? x = 2 y , ? ∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴Δ =4k +8b=0,即 b=- . 2 2 3 ? |-2+b| 1 k +4 1? 2 点(0,2)到直线 l2 的距离 d= = ? 2 = ? k +1+ 2 ? 2 k +1? k +1 2 k +1 2? 1 ≥ ?2 2
2

2

k2

k2+1?
2

3 3

k2+1

= 3.

当且仅当 k +1=

,即 k=± 2时,等号成立.此时 b=-1. k2+1 ∴直线 l2 的方程为 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0. [高频滚动] 已知直线 x+ky-3=0 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点, 且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; 2 2 (2)已知圆 O:x +y =1,直线 l:mx+ny=1,试证:当点 P(m,n)在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围. 解:(1)直线 x+ky-3=0 经过定点 F(3,0),即点 F(3,0)是椭圆 C 的一个焦点.

x2 y2 a b 因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8,所以 a+3=8,即 a=5. x2 y2 2 2 2 所以 b =5 -3 =16.所以椭圆 C 的方程为 + =1.
设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 25 16 (2)因为点 P(m,n)在椭圆 C 上,所以 + =1, 25 16 2 16m 2 2 即 n =16- (0≤m ≤25). 25 1 所以原点到直线 l:mx+ny=1 的距离 d= 2 = m +n2

m

2

n2

1 9 2 m +16 25
2 2 2

<1.

? 1- 1 ? ?. 9 2 所以直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 恒相交.L =4(r -d )=4? m +16? ? ? 25 ?
2 2

因为 0≤m ≤25,所以

2

15 4 6 ≤L≤ . 2 5

即直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围为?

? 15 4 6? , ?. 5 ? ? 2

- 12 -


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