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福建省泉州一中08-09学年高二数学下学期期末考试(理)

泉州一中 08—09 学年度第二学期期末试卷 高 二(理科) 数 学 (试卷部分)
注意事项:①本试卷分第 I 卷、第 II 卷两部分,共 120 分,考试时间 120 分钟. ②请按要求作答. ③参考公式:

?? b
用最小二乘法求线性回归方程系数公式

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ? y ? bx ,a

R2 ? 1 ?

残差平方和 总偏差平方和

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) n ? a ? b ? c ? d

独立性检验概率表 P( K ? k )
2

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

一、选择题(每题只有一个正确答案,把选项代号填入答卷中每题 5 分。满分 50 分)

z满足
1.设复数 A.-2+i

1 ? 2i ? i, i为虚数单位,则z等于 z (
B.-2-i C.2-i

) D.2+i

2.今有一组数据如下: t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 ) 6.12 18.01

在以下四个模拟函数中,最合适这组数据的函数是(

A、

v ? log2 t

v ? log 1 t
B.
2

v?
C.

t 2 ?1 2

D. v ? 2t ? 2
2

3.用三段论推理命题:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a >0”,你认为这个推 理( ) A.大前题错误 B.小前题错误 C.推理形式错误 D.是正确的

4.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:
认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50

50 ? (18 ? 15 ? 8 ? 9)2 k? ? 2 27 ? 23 ? 24 ? 26 根据表中数据得到 5.059,因为 p(K ≥5.024)=0.025,
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( ) A.2.5% B.95% C.97.5% D. 不具有相关性 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路 程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是( s s ) s s

O

t

O

t

O

t O

t )

2 B. A. C. D. 6.对一切实数 x,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (

A. (??,?2] B.[-2,2] C. [?2,??) D. [0,??)

7.利用计算机在区间 (0, 1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 ( )

x ? ?2 a ?

b x 有实根的概率为

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 6

2 D. 3
1 2

4

8.编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。 要求每个盒子只能放一个小球,且 A 不能放 1,2 号,B 必须放在与 A 相邻的盒子 中。则不同的放法有( )种 A. 42 B. 36 C. 32 D. 30 9. 给出下列结论:
2 2

3 5

(1)在回归分析中,可用指数系数 R 的值判断模型的拟合效果, R 越大,模型的拟合效果 越好; (2)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效 果越好; (3)在回归分析中,可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果, r 越小,模型的拟合效果越 好; (4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区 域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高. 以上结论中,正确的有( )个. A.1 B .2 C.3 D .4

f ? x? f ? 2 x ? ? 2 f 2 ? x ? ?1 R 10.定义在 上的函数 满足 ,现给定下列几个命题:


f ? x ? ? ?1

;②

f ? x?

不可能是奇函数;③

f ? x?

不可能是常数函数;④若

f ? x0 ? ? a (a ? 1)

,则不存在常数 M ,使得

f ? x? ? M

恒成立.

在上述命题中错误命题的个数为( )个 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把正确答案写在题中横线上) 11.若

( x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n (n ? N ? )且a1 ? a2 ? 21 , 则在展开式各项系数

开始

中最大值等于

2 12.已知 ? ~ N (? ,? ) ,且 P(? ? 0) ? P(? ? ?4) ? 1 ,则 ? ? _________。

13.如果执行右边的程序框图,则输出的 S= 14.若三角形内切圆半径为 r ,三边长分别为 a、b、c ,则三角形

k=1 s=0 i=4 k≤50? 是 s = s+ 2k 输出 S, 否

1 s ? r (a ? b ? c) 2 的面积 ,根据类比思想,若四面体内切球半
径为 R, 其四个面的面积分别为

S1、S2、S3、S4 ,则四面体的

体积 V ? ____________________
k=k+1 结束

15.对于实数 a, b, c ,若在⑴ lg 2 ? 1 ? a ? c ⑵ lg 3 ? 2a ? b ⑶ lg 4 ? 2 ? 2a ? 2c ⑷ lg5 ? a ? c ⑸ lg 6 ? 1 ? a ? b ? c 中 有且只有两个式子是不成立的,则不成立的式子是 三、解答题(本题共 6 小题,共 90 分.在答卷中应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 13 分) 设数列 ?

an ?

? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2 ? Sn (n ? N ) .

(1)求 a1 , a2 , a 3 , a4 的值并猜想这个数列的通项公式 (2)证明数列 ?

an ?

是等比数列.

17. (本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 直 角 梯 形 , ∠ ABC ? ∠ BCD ? 90° , AB ? BC ? PB ? PC ? 2CD ? 2,侧面 PBC⊥底面 ABCD。 (1)求证: PA ? BD ;

(2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。 18. (本小题满分 13 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔 以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系

x?2000 t 。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s

为赔付价格) 。 (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的 年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元) ,在乙方按照获得最大利润 的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多 少?

19. (本小题满分 13 分) 甲乙两名射手互不影响地进行射击训练,根据以往的数据统计,他们设计成绩的分布列如下: 射手甲 射手乙

环数

8

9

10

环数

8

9

10

概率

1 3

1 3

1 3

概率

1 3

1 2

1 6

(1)若甲射手共有 5 发子弹,一旦命中 10 环就停止射击,求他剩余 3 颗子弹的概率; (2)若甲乙两射手各射击两次,求四次射击中恰有三次命中 10 环的概率; (3)若两个射手各射击 1 次,记所得的环数之和为 ? ,求 ? 的分布列和期望。

20. ( 本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? mx
x

(1)当 m=1 时,求函数 f(x)的最小值; 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? x 存在两个零点,求 m 的取值范围
2

1 2 3 n e ( ) n ? ( ) n ? ( ) n ? ... ? ( ) n ? n n n e ?1 证明: n

21. (共 2 小题做答,每小题 7 分) 1. (选修 4—2 矩阵与变换) (本题满分 7 分) 变换 T 是将平面上每个点 M ( x, y ) 的横坐标乘 2,纵坐标乘 4,变到点 M '(2 x, 4 y) 。

???????????????装???????????????订?????????????线???????????????

(1)求变换 T 的矩阵; (2)圆 C : x ? y ? 1 在变换 T 的作用下变成了什么图形?
2 2

__

2. (选修 4—5 不等式证明选讲) (本题满分 7 分)

姓名_________________成绩_____

若不等式

| x ? 1| ? |

1 x ? 1 |? a 2 的解集非空,求实数 a 的取值范围。

泉州一中 08—09 学年度第二学期期末试卷 高 二(理科)数 学(答卷部分) 题号 得分 选择题(50 分,每题 5 分) 题号 选项 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把正确答案写在题中横线上) 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分.在答卷中应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一 二 三 16 17 18 19 20 21 总分

班级

座号

17.

18.

19.

20.

21.

泉州一中 08—09 学年度第二学期期末试卷参考解答 选择题(50 分) 题号 选项 1 C 2 C 3 A 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D

二、 填空 (20 分) 11. 20 ⑸

12. -2

13. 2550

1 R( S1 ? S2 ? S3 ? S4 ); 3 14.

15. ⑵

1 1 1 a1 ? 1, a2 ? , a3 ? , a4 ? 2 4 8 16. (1)

4分

1 an ? ( )n?1 2 猜想
(2(2)zr 证明:

6分

an ? 2 ? Sn , ? an ?1 ? 2 ? Sn ?1 (n ? 2) ? an ? an ?1 ? 2 ? Sn ? (2 ? Sn ?1 ),即 又 a1 ? 2 ? S1 ? 2 ? a1 ,? a1 ? 1 1 ?{an }是以1为首项,公比为 的等比数列 2
17.解: △PBC 是等边三角形,O 是 BC 中点,? PO ? BC 。 由侧面 PBC⊥底面 ABCD,得 PO⊥平面 ABCD 1分 以 BC 中点 O 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 O ? xyz 。 (1)∵AB ? BC ? PB ? PC ? 2CD ? 2, 2分 13 分

an 1 ? (n ? 2) an ?1 2

? A(1, ?2,0) , B(1,0,0) , D(?1, ?1,0) , P(0,0, 3) 。

? BD ? (?2, ?1,0) , PA ? (1, ?2, ? 3) 。 BD ? PA ? (?2, ?1,0) ? (1, ?2, ? 3) ? 0 ,
? BD ? PA ? BD ? PA 。
P

z

6分

(2) AD ? (?2,1,0) , PA ? (1,?2,? 3) , 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,
D C

y

? ?n1 ? AD ? 0 ? ?2 x ? y ? 0 ? ?n ? PA ? 0 ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 则? 1 。
取 n1 ? (1,2,? 3) 。 9分 10 分

O
A B

x

又平面 DCB 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | | n2 |

?

? 3 2 2

??

6 4

12 分

6 又二面角 P ? AD ? B 是锐二面角,?二面角 P ? AD ? B 的余弦值为 4

13 分

18.解: (1)因为赔付价值为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为:

w ? 2000 t ? st (t ? 0)
w ? 2000 t ? st ? ? s( t ?
因为

2分

1000 2 10002 ) ? , s s

4分

1000 2 t?( ) 时, w s 所以当 取得最大值。 1000 2 t?( ) s 所以乙方取得最大年利润的年产量 吨
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t
2

6分

1000 2 t?( ) s 将 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格之间的函数关系式:

v?

10002 2 ? 10003 ? s s4 10002 8 ? 10003 10002 ? (8000? s 3 ) ? ? s2 s5 s5

8分

v? ?? ?


令 v ? ? 0 ,得 s=20

? ? 当 s<20 时, v ? 0;当s ? 20时, v ? 0 ,
所以 s=20 时,v 取得最大值。 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获最大净收入。 19.解(1)记事件 A;射手甲剩下 3 颗子弹, 12 分 13 分

2 1 2 ? P ( A) ? ? ? 3 3 9

4分

(2)记事件 C ; 甲命中 1 次 10 环,乙命中两次 10 环,事件 D ;甲命中 2 次 10 环,乙命中 1 次 10 环,则四次射击中恰有三次命中 10 环为事件 C ? D

2 1 5 1 7 1 2 1 2 2 1 2 ? P(C ? D) ? C2 ? ? ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? ? ? 3 3 6 3 6 6 162
(3) ? 的取值分别为 16,17,18,19,20,

8分 9分

1 P(? ? 1 6 ? ) ? 3 1 P(? ? 1 8 ? ) ? 3 1 P(? ? 1 9 ? ) ? 3 1 ? E? ? 1 6? ? 9

1 ? 3 1 ? 6 1 ? 6

1 1 1 P, ? ? ( 1 ?7 ) ? ? 9 3 2 1 1 1 1 6 ? ? ? ? ? 3 2 3 3 18 1 1 4 2 ? ? ? P, ? ? ( 3 2 18 9 5 1 2 1? 7 ? 1 ?8 ? ? 1 9? 18 3 9
x ' x

1 1 ? ? 3 3 1 , 3

5 18

1 1 1 2 ?0 ) ? ? 3 6 18 1 107 ? 2 0? 18 6

12 分 13 分

20(1)解当 m=1 时 f ( x) ? e ? x,? f ( x) ? e ?1 , 当 x ? 0, f ( x) ? 0 ,当 x ? 0, f ( x) ? 0
' '

2分

3分 4分

? f ( x) ? 1 m i n? f ( 0 )
m? e x ? inx ? x 2 x ,

由 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? x =0 得
2

5分

e x ? inx ? x 2 x 令 h(x)= h ' ( x) ?


6分

( x ? 1)e x ? x 2 ? 1 ? lnx ' x2 ,观察得 x=1 时 h ( x) =0
'

7分 8分 9分

当 x>1 时 h ( x) >0,当 0<x<1 时

h' ( x) <0, h( x)min =h(1)=e+1

2 ? 函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? x 存在两个零点,m 的取值范围为 (e ? 1, ??)

k ?1 k k k k n x ? 1 ? ,则 x ? ? 1, ? e ? ? ek ?n ? ( )n x x n n n n 11 分 由(1)知 e ? x ? 1? e ? x ? 1 ,令

?
13 分

1 2 3 n ( ) n ? ( ) n ? ( ) n ? ... ? ( ) n ? e1?n ? e2?n ? e3?n ? ... ? 1 n n n n

=

1 1 ? ( )n e ? e 1 e ?1 1? e

1 2 3 n e ( ) n ? ( ) n ? ( ) n ? ... ? ( ) n ? n n n e ?1 所以 n

14 分

?x? T :? ? y 21. (1)由已知得 ? ?

? x ' ? ? 2 x ? ? 2 0 ?? x ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? y ' ? ? 4 y ? ? 0 4 ?? y ?

1分

? 2 0? ?? ? ? 变化 T 的矩阵是 ? 0 4 ?
(2)由 x ' ? 2 x, y ' ? 4 y ,得:

2分

x?

1 1 x ', y ? y ' 2 4 ,

4分

1 2 1 2 x' ? y' ?1 16 代入方程 x ? y ? 1,得: 4
2 2

5分

x2 y 2 ? ?1 2 2 ∴圆 C: x ? y ? 1在变化 T 的作用下变成了椭圆 4 16
f ( x) ?| x ? 1 | ? | 1 x ? 1| 2

7分

(2)解:令

?3 ? 2 x( x ? 2) ? 1 ?1 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ? x ? 2( ?1 ? x ? 2) 2 ?2 ? 3 ?? 2 x( x ? ?1) ? 则 。……4 分

? f ( x) min ? f (?1) ?

3 3 ?a ? 2。 2。

7分