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2007-2012新课标高考真题分块汇编(理数,教师用)

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2007-2012 高考数学(理)试题汇总 集合与简易逻辑
[2007] 1.已知命题 p : ? x ? R , sin x ≤ 1 ,则( A. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 C. ? p : ? x ? R , sin x ? 1 [2008]
? ? ? ? A. a , b 方向相同 ? ? C. ? ? ? R , b ? ? a

)C

B. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 D. ? p : ? x ? R , sin x ? 1 )D

8、平面向量 a , b 共线的充要条件是(

? ? B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 ? ? ? D. 存在不全为零的实数 ? 1 , ? 2 , ?1 a ? ? 2 b ? 0

[2009] (1) 已知集合 A ? ?1, 3, 5, 7, 9 ? , B ? ? 0, 3, 6, 9,12 ? ,则 A ? C N B ? A (A)

?1, 5, 7 ?
2

(B)
x 2 x 2

? 3, 5, 7 ?
=
1 2

(C)

?1, 3, 9?

(D)

?1, 2, 3?

(5)有四个关于三角函数的命题:A
p1 : ? x ? R, sin

+ co s 2

p 2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p 4 : sinx=cosy ? x+y=

p 3 : ? x ? ? 0, ? ? ,

1 ? co s 2 x 2

=sinx

?
2

其中假命题的是(A) p1 , p 4 [2010]

(B) p 2 , p 4

(C) p1 , p 3

(D) p 2 , p 4

(1)已知集合 A ? ? x x ? 2, x ? R ? , B ? x (A) ? 0, 2 ? (5)已知命题
p1 :函数 y ? 2 ? 2
x ?x

?

x ? 4, x ? Z ,则 A ? B ? D

?

(B) ? 0, 2 ?

(C) ? 0, 2 ?
x

(D) ? 0,1, 2 ?
?x

在 R 为增函数, p 2 :函数 y ? 2 ? 2 (C) q 1 , q 4

在 R 为减函数,

则在命题 q 1 : p1 ? p 2 , q 2 : p1 ? p 2 , q 3 : ? ? p1 ? ? p 2 , q 4 : p1 ? ? ? p 2 ? 中,真命题是 C (A) q 1 , q 3 (B) q 2 , q 3 (D) q 2 , q 4

[2012] (1)已知集合 A ? {1, 2, 3, 4, 5}, B ? {( x , y ) | x ? A , y ? A , x ? y ? A} 则 B 中所含元素的个数为 D (A)3 (B)6 (C) 8 (D)10

2007-2012 宁夏高考数学(理)复数试题汇总 [2007] 15. i 是虚数单位, [2008] 2、已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2 [2009] (2) 复数 (A)0 [2010] B. -2
3 ? 2i 2 ? 3i ?

?5 ? 10i 3 ? 4i

?

. (用 a ? bi 的形式表示, a, b ? R ) 1 ? 2i

z

2

z ?1

?(

)B

C. 2i
3 ? 2i 2 ? 3i ?D

D. -2i

(B)2

(C)-2i

(D)2i
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117557035.doc
3?i

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A

(2)已知复数 z ?
1 4

?1 ?

3i
1 2

?

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z

(A) [2011]

(B)
2?i

(C)1

(D)2

(1)复数

1 ? 2i 3 (A) ? i 5

的共轭复数是 D (B) i
5
2 ?1 ? i

3

(C) ? i

(D) i

[2012] (3)下面是关于复数 z ?

的四个命题为:

P1:|z|=2, P2:z2=2i, P3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1,其中的真命题为 C (A)p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,P4 (D)P3,P4

2007-2012 宁夏高考数学(理)平面向量试题汇总 [2007] 2.已知平面向量 a ? (1,, b ? (1, 1) ,则向量 1) ? A. ( ? 2, 1) ? [2008] B. ( ? 2, 1)
? ?
b ?( 2 C. ( ? 1, ) 0 2 1 a? 3

)D D. ( ? 1, ) 2

13、已知向量 a ? (0, ? 1,1) , b ? ( 4,1, 0 ) , | ? a ? b |? [2009]

?

?

2 9 且 ? ? 0 ,则 ? = ____________3

(9)已知 O,N,P 在 ? A B C 所在平面内,且 O A ? O B ? O C , N A ? N B ? N C ? 0 ,且
P A ? P B ? P B ? P C ? P C ? P A ,则点 O,N,P 依次是 ? A B C 的( )C (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 [2011] (10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题 A ? 2? ? ? 2? ? P1 : a ? b ? 1 ? ? ? 0, P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? ?

?

3 ?

? 3

?

? ? ? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? 0, ? ? 3 ? ?

?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ? 3 ?

其中的真命题是(A) P1 , P4

(B) P1 , P3

(C) P2 , P3

(D) P2 , P4
3 2

[2012] (13)已知向量 a,b 夹角为 450 ,且|a|=1,|2a-b|= 1 0 ,则|b|=

2007-2012 宁夏高考数学(理)程序框图试题汇总 [2007] 5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( )C 开始 A.2450 B.2500 C.2550 D.2652 输 入 开始 a,b,c
k ?1

x=a 是 b>x 更多精品在大家! x=b 否 是

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k ≤ 50 ?

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[2008] 5、右面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框 中,应该填入下面四个选项中的( )A A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c [2009] (10)如果执行右边的程序框图,输入 x ? ? 2, h ? 0 .5 ,那么输出的各个数的和等于 B (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5
开始

开始
输入a,b,c

输 入 x, h

K=1
x=a

x?0 x ?1
b>x 是 x=b 否 是

S=0


y?0

y? x

y ?1

k ? 50 ?


S=s+2k K=k+1

输出
x=c 否

x? x?h
x? 2
输出x

结束

结束

07年

08年

09年

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开始

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输入N,a1,a2,…,aN

k=1,A=a1,B=a1

x =ak k=k+1 是 x>A 否 是 x<B B=x 否

10年

A=x

k≥N 是 输出A,B



结束

12年

11年

[2010] (7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于 D (A)
5 4

(B)

4 5

(C)

6 5

(D)

5 6

[2011] (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 B (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 [2012] (6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和数列 a1 , a 2 , ..., a n ,输出 A,B,则 C (A)A+B 为 a1 , a 2 , ..., a n 的和 (B)
A? B 2

为 a1 , a 2 , ..., a n 的算术平均数

(C)A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最小的数和最大的数

2007-2012 宁夏高考数学(理)数列试题汇总 [2007] 4.已知 ? a n ? 是等差数列, a1 0 ? 1 0 ,其前 10 项和 S 1 0 ? 7 0 ,则其公差 d ? ( A. ?
2 3

)D

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

x x 7. 已知 x ? 0 ,y ? 0 , , a, b, y 成等差数列, , c, d , y 成等比数列, 则

(a ? b) cd

2

的最小值是 (



D A. 0 [2008]

B. 1

C. 2

D. 4

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S4 a2 ?(

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4、设等比数列 { a n } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 A. 2 B. 4 C.
15 2

)C

D.

17 2

17、 (本小题满分 12 分)已知数列 { a n } 是一个等差数列,且 a 2 ? 1 , a 5 ? ? 5 。 (1)求 { a n } 的通项 a n ; (2)求 { a n } 前 n 项和 S n 的最大值。 17.解: (Ⅰ)设 ? a n ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? ? 2 n ? 5 . (Ⅱ) S n ? n a 1 ?
n ( n ? 1) 2 d ? ? n ? 4n ? 4 ? (n ? 2) .
2

? a1 ? d ? 1 ? a1 ? 4 d ? ? 5

,解出 a1 ? 3 , d ? ? 2 .

2

所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 . [2009] (7)等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a 1 ,2 a 2 , a 3 成等差数列。若 a 1 =1,则 s 4 =C (A)7 (B)8 (3)15 (4)16
2 m

(16)等差数列{ a n }前 n 项和为 S n 。已知 a m ?1 + a m ? 1 - a

=0, S 2 m ?1 =38,则 m=_______10

[2010] 2 n ?1 (17)(本小题满分 l2 分)设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 3 ?2 (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式: (Ⅱ)令 b n ? n a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .

(17)解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
a n ? 1 ? [( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a n ?1 ) ? ? ? ( a 2 ? a1 )] ? a1 ? 3(2
2 n ?1

?2

2 n?3

? ? ? 2) ? 2

?2

2 ( n ? 1) ? 1



而 a1 ? 2, 所以数列{ a n }的通项公式为 a n ? 2 2 n ?1 。 (Ⅱ)由 b n ? n a n ? n ? 2 2 n ?1 知
Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
3 5 2 n ?1



从而
2 ? S n ? 1? 2 ?
2 3

?2 2 ?
5

? 3 ?? ? n? 2
7

n ?2

2

1


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117557035.doc

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①-②得
(1 ? 2 ) ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5 2 n ?1

? n?2

2 n ?1



Sn ?

1 9

[(3 n ? 1) 2

2 n ?1

? 2]

[2011] (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ? a n ? 的各项均为正数,且 2 a1 ? 3 a 2 ? 1, a 3 ? 9 a 2 a 6 .
2

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ...... ? log 3 a n , 求数列 ? (17)解:
2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a 3 ? 9 a 2 a 6 得 a 3 ? 9 a 4 所以 q ?
2

? 1 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

1 9



由条件可知 a>0,故 q ?

1 3


1 3

由 2 a1 ? 3 a 2 ? 1 得 2 a1 ? 3 a 2 q ? 1 ,所以 a 1 ? 故数列{an}的通项式为 an=
1 3
n





(Ⅱ ) b n ? lo g 3 a1 ? lo g 3 a 2 ? ... ? lo g 3 a n
? ? (1 ? 2 ? ... ? n ) ? ? n ( n ? 1) 2



1 bn

? ?

2 n ( n ? 1) 1 bn

? ?2(

1 n

?

1 n ?1

)

1 b1

?

1 b2

? ... ?

? ? 2 ((1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

) ? ... ? (

1 n

?

1 n ?1

)) ? ?

2n n ?1

所以数列 {

1 bn

} 的前 n 项和为 ?

2n n ?1

[2012] (5)已知 ? a n ? 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a1 ? a10 ? D (A)7 (B)5 (C)-5
n

(D)-7 1830

(16)数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 =2n-1,则的前 60 项和为

2007-2012 宁夏高考数学(理)三角函数及解三角形试题汇总 [2007]

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3.函数 y ? sin ? 2 x ?
?
y

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?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? , π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
1

)A
y

?

? 3

1
? 6
?

?

? 2

O

x

?

? 2

?

? 3

O
?1

? 6

?

x

?1 y

A.
1
? ? 2 ? ? 6

B.
y
?

?

? 6

1
O
? 3

O

? 3

x

?

? 2

?

x

?1

?1

9.若

c o s 2?

C.
? ? 2 2

D. ,则 co s ? ? sin ? 的值为( )C

π? ? sin ? ? ? ? 4? ?
7 2

A. ?

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D. 现测得 ? B C D ? ? , ? B D C ? ? , C D ? s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? , 求塔高 A B . 17.解:在 △ B C D 中, ? C B D ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得
BC sin ? B D C ? CD sin ? C B D



所以 B C ?

C D sin ? B D C sin ? C B D

?

s sin ? · sin (? ? ? )



在 R t△ A B C 中, A B ? B C tan ? A C B ?

s tan ? sin ? · sin (? ? ? )



[2008] 1、已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:那么ω =( A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的 余弦值为( )D A. 5/18 7、 A.
2

)B

B. 3/4
0 0

C. )
2 2

3 /2

D. 7/8

3 ? sin 7 0

2 ? cos 10
1 2

=( B.

C C. 2 D.
3 2

[2009]
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8 / 39 117557035.doc (14)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示, (

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? =_______

9? 10

(17) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量, A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有 俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据 (用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离 的步骤。 (17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 ? 1 , ? 1 ;B 点到 M, N 的俯角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图) 所示) . ……….3 分

②第一步:计算 AM . 由正弦定理 A M ?

d sin ? 2 sin (? 1 ? ? 2 ) d sin ? 2 sin ( ? 2 ? ? 1 )



第二步:计算 AN . 由正弦定理 A N ?



第三步:计算 MN. 由余弦定理 M N ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM

2

? AN

2

? 2 A M ? A N co s(? 1 ? ? 1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ? 1 , ? 1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 B M ?
d sin ? 1 sin (? 1 ? ? 2 )
d sin ? 1 sin ( ? 2 ? ? 1 )



第二步:计算 BN . 由正弦定理 B N ?



w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

第三步:计算 MN . 由余弦定理 M N ? [2010]

BM

2

? BN

2

? 2 B M ? B N co s( ? 2 ? ? 2 )

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0 点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 C [来源:学科网]

?

2,?

2 ,角速度为 1,那么

?

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(9 )若 co s ? ? ?

4 5

1 ? ta n

? ?
2 ? A

, ? 是第三象限的角,则
1 ? ta n
1 2 1 2

2

(A) ?

1 2

(B)

(C)2

(D) ? 2 DC, ? A D B =120°,AD=2,若 ? ADC 的面积为 3 ?
3 ,则

(16)在 ? A B C 中,D 为边 BC 上一点,BD=
?BAC =

.60

0

[2011] (5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =B (A) ?
4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)
?
2

4 5

(11)设函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? ) ? co s( ? x ? ? )(? ? 0, ? ? A (A) f ( x ) 在 ? 0,
? ? ? ?

) 的最小正周期为 ? ,且 f ( ? x ) ? f ( x ) ,则

? ? ? 单调递减 2? ? ? ? 单调递增 2?
?

(B) f ( x ) 在 ?

??

3? ? ? 单调递减 ? 4 4 ? , ?? 3? ? ? 单调递增 ? 4 4 ? ,

(C) f ( x ) 在 ? 0,

(D) f ( x ) 在 ?

(16)在 V A B C 中, B ? 60 , A C ?

3 ,则 A B ? 2 B C 的最大值为

。2 7

[2012] (9)已知 w>0,函数 f(x)=sin(wx+ (A) [ , ]
2 4 1 5

?
4

)在(
1

?
2

,π )单调递减。则 w 的取值范围是 A (D) (0, 2 ]

(B) [ , ]
2 4

1 3

(C) (0 , ]
2

(17) (本小题满分 12 分) 已知 a.b.c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边 a cos C ? (1)求 A (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 求 b,c 解: (1)由 a cos C ?
sin A cos C ? 3 a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理得 3 a sin C ? b ? c ? 0

3 sin A sin C ? sin A ? sin C ? 0 因为 B ? ? ? A ? C ,所以

3 sin A sin C ? sin C co s A ? sin C ? 0 由于 sin C ? 0 ? sin ( A ?

?
6

)?

1 2

又0 ? A ? ? ? A ?

?
3

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117557035.doc
1 2 b c sin A ? 3 ,? b c ? 4 ? a ? b ? c ? 2 b c co s A ? b ? c ? 8
2 2 2 2 2

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(2)

S ? ABC ?

解 得 b = c= 2

2007-2012 宁夏高考数学(理)不等式试题汇总 [2008] 6、已知 a1 ? a 2 ? a 3 ? 0 ,则使得 (1 ? a i x ) 2 ? 1 ( i ? 1, 2, 3) 都成立的 x 取值范围是( A.(0, [2009]
?2 x ? y ? 4 ? (6)设 x,y 满足 ? x ? y ? ? 1 , 则 z ? x ? y ?x ? 2y ? 2 ?
1 a1

)B )



B. (0,

2 a1



C. (0,

1 a3



D. (0,

2 a3

B

(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 [2011] (13)若变量 x , y 满足约束条件 ?

(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值
? 3 ? 2 x ? y ? 9, ? 6 ? x ? y ? 9,

则 z ? x ? 2 y 的最小值为

。-6

?x ? ? ?x ? [2012] (14) 设 x,y 满 足 约 束 条 件 ? ?x ? ?y ? ?

y ? ?1 y ?3 0 0

则 z=x-2y 的 取 值 范 围 为

【-3,3】 20 正视图 2007-2012 宁夏高考数学(理)立体几何试题汇总 [2007] 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得 这个几何体的体积是( )B A.
4000 3 cm
3

20

20 侧视图 10 10
S

B.

8000 3

cm C. 2 0 0 0 cm

3

3

D. 4000cm

3

20 俯视图
M

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底 面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长 也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h 2 , h ,则 h1 : h 2 : h ? ( )B B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 :
2
B
O

C

A. 3 : 1 : 1

D. 3 : 2 : 3 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? A B C 中,侧面 SA B 与侧面 SA C 均为等边三角形, ? B A C ? 90 ° , O 为 B C 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 A B C ; (Ⅱ)求二面角 A ? S C ? B 的余弦值. S 18.证明: (Ⅰ)由题设 A B = A C = S B= S C ? S A ,连结 O A , △ A B C 为等腰直角三角形,所以
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A

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O
B

C

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OA ? OB ? OC ? 2 2

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S A ,且 A O ? B C ,又 △ S B C 为等腰三角形,故 SO ? B C ,且 S O ?

2 2

SA ,

从而 O A ? SO ? SA .所以 △ S O A 为直角三角形, SO ? A O .又 A O ? B O ? O .
2 2 2

所以 SO ? 平面 A B C . C ( Ⅱ ) 解 法 一 : 取 S C 中 点 M , 连 结 A M, O M , 由 ( Ⅰ ) 知 S O ? O , O M ? S, A M C ? S C ? O M A 为二面角 A ? S C ? B 的平面角. .∴

S? A

A, 得 C

由 A O ? B C, A O ? SO, SO ? B C ? O 得 A O ? 平面 SB C .所以 A O ? O M ,又 A M ?

3 2

SA ,

故 sin ? A M O ?

AO AM

?

2 3

?

6 3

.所以二面角 A ? S C ? B 的余弦值为

3 3



解法二:以 O 为坐标原点,射线 O B, O A 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系
O ? xyz . 0 0) 0 0) 1, 0 1) 设 B (1,, ,则 C ( ? 1,, , A (0, 0), S (0,, .
???? ? 1 ? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? 1? ? 1 0 ? M 1, S 0 ? S C 的中点 M ? ? ,, ? , M O ? ? ,, ? , A ? ? , ? ? , C ? ( ? 1,, 1) . 0 2? 2? 2? ?2 ?2 ? 2

???? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ∴ M O S C ? 0, A S C ? 0 . M ? M, S ? M M, < · M · C O A 故 O S A C
???? ? ???? ???? ? MO · co s ? M O, A ? ? ???? M ? M O·

,

?

等于二面角 A ? S C ? B 的平面角.

???? MA 3 ,所以二面角 A ? S C ? B 的余弦值为 ???? ? 3 MA
z

3 3



S

[2008] 12、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是 长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长 为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为( )C A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 15、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点 都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为
9 8

M
C

O

x

B
4? 3
D1

A

y

,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________

18、 (本小题满分 12 分)已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°。 (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。 A 18.解:如图,以 D 为原点, D A 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .

C1

1

B1 P

??? ? ???? ? 00 0 1) 则 D A ? (1,,) , C C ? ? (0,, .连结 B D , B ?D ? .在平面 B B ?D ?D 中,延长 D P 交 B ?D ? 于 H .
A B

D

C

z
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D? 大家网,大家的! C? H A? B? P

D

C

y

12 / 39 117557035.doc ???? ??? ? ? ???? ? ? D 1)( 设 D H ? ( m, m, m ? 0 ) ,由已知 ? D H , A ? ? 60 ,

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D 由 D A ?D H ? D A D H co s ? D A, H ? 可得 2 m ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

2m ? 1 .
2

解得 m ?

2 2

,所以 D H ? ? ?

???? ?

?

2



? 2

? ,? . 1 ? 2 ? 2

2 ???? ???? ? ? C (Ⅰ)因为 co s ? D H , C ? ? ?
???? ???? ? ?

?0? 1?

2 2

? 0 ? 1?1 ? 2
?

2

2 2



C 所以 ? D H , C ? ? ? 4 5 .即 D P 与 C C ? 所成的角为 4 5 .
?

2 ???? ???? ? ???? D 1, 因为 co s ? D H , C ? ? (Ⅱ) 平面 A A ? D ?D 的一个法向量是 D C ? (0, 0) .
???? ???? ?

?0? 1?

2 2

?1 ? 1? 0 ? 2

2

1 2



D 所以 ? D H , C ? ? 6 0 .可得 D P 与平面 A A ? D ?D 所成的角为 30 .
?
?

[2009] (8) 如图,正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱长为 1,线段 B1 D 1 上有两个动点 E,F,且
EF ? 2 2

,则下列结论中错误的是 D

(A) A C ? B E (B) E F / / 平 面 A B C D (C)三棱锥 A ? B E F 的体积为定值 (D)异面直线 A E , B F 所成的角为定值 (11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m 2 )为 A (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

(19) (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地 面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD;www.xuexiwu.com (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 (19)解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? A C 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 所以 A C ? 平 面 SB D ,得 A C ? SD .
2 2

(Ⅱ)设正方形边长 a ,则 S D ?

2 a 。又 O D ?

a ,所以 ? S O D ? 6 0 ,
0

连 O P ,由(Ⅰ)知 A C ? 平 面 SB D ,所以 A C ? O P ,

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

且 A C ? O D ,所以 ? P O D 是二面角 P ? A C ? D 的平面角。 由 SD ? 平 面 P A C ,知 S D ? O P ,所以 ? P O D ? 3 0 ,即二面角 P ? A C ? D 的
0

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大小为 3 0 。
0

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(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 B E // 平 面 P A C
2 4

由(Ⅱ)可得 P D ?

a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 P N ? P D ,过 N 作 P C 的平行线与 S C 的交

点 即 为 E 。 连 BN 。 在 ? B D N 中 知 B N // P O , 又 由 于 N E // P C , 故 平 面 B E N // 平 面 P A C , 得
B E // 平 面 P A C ,由于 SN : N P ? 2:,故 SE : E C ? 2:. 1 1

解法二: (Ⅰ) ;连 B D ,设 A C 交于 B D 于 O ,由题意知 SO ? 平 面 A B C D .以 O 为坐标原点,
O B, C, S 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。 O O
6 2 2 2
2 2 6 2

设底面边长为 a ,则高 S O ?

a 。于是

S (0, 0,

6 2

a ), D ( ?

2 2

a , 0, 0 )

C( 0 ,

2 2

a , 0)
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

O C ? (0,

a, 0)

SD ? (?

a , 0, ?

a)

O C ? S D 0 故 O C ? SD 从而 A C ? SD ?
w.w.w

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (
OS ? DS OS DS

2 2

a , 0,

6 2

a) ,平面 DAC 的一个法向量

O S ? (0, 0,

6 2

a ) ,设所求二面角为 ? ,则 co s ? ?

?

3 2

,所求二面角的大小为 3 0

0

(Ⅲ)在棱 S C 上存在一点 E 使 B E // 平 面 P A C .由(Ⅱ)知 D S 是平面 P A C 的一个法向量,
2 2 6 2 2 2 2 2 6 2 2 2 6 2

( 且 DS ?

a , 0,

a ), C S ? (0, ?

a,

a) 设

CE ? tCS ,

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

则 BE ? BC ? C E ? BC ? tC S ? (?

a,

a (1 ? t ),

at ) 而 BE ? D C ? 0 ? t ?

1 3

即当 SE : E C ? 2 : 1 时, B E ? D S

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

而 B E 不在平面 P A C 内,故 B E // 平 面 P A C

[2010] (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 B (A) ? a
2

(B) ? a
3

7

2

(C)

11 3

?a

2

(D) 5 ? a

2

(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 (写出三种) 三棱锥、三棱柱、 圆锥等. (18)(本小题满分 12 分) 如圈,己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD, A C ⊥BD 垂足为 H,PH 是 四棱锥的高,E 为 AD 中点. (Ⅰ) 证明:PE⊥BC
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14 / 39 117557035.doc (Ⅱ)若 ? A P B = ? A D B =60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

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(18)解:以 H 为原点, H A , H B , H P 分别为 x , y , z 轴,线段 H A 的长为单位长, 建立空间直角坐标 系如图, 则 A (1, 0, 0 ), B (0,1, 0 ) (Ⅰ)设 C ( m , 0, 0), P (0, 0, n )( m ? 0, n ? 0) 则 可得 所以
PE ? ( 1 m , ? n ) ,C ? m ( ? , , B 2 2 1 D ( 0 m , 0E) , , 2 m 1 因为 P E ? B C ? , 0). ? 2 m ( , , 0). 2 m ?0?0 2

P E? B C
3 3 3 3 1 2 3 , 6 , n ? 1, 故 C( ? 3 3 ,0,0)

(Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

D( 0 ? ,

, 0E, )

? (

,P0 ) ,

( 0设 0 n 1 )( x , y , x ) 为平面 P E H 的法向量 , , ?



? n ? H E? ,o ? ? ? n ? H P? ,o ?

? 1 x? 3 y?0 ?2 6 即? 因此可以取 n ? (1, ? z ?0 ?
? ? ?? c o sP A n ? , 2 4

3 , 0) ,

由 P A ? (1, 0, ? 1) ,可得

??? ?

所以直线 P A 与平面 P E H 所成角的正弦值为

2 4

[2011] 6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,D 则相应的侧视图可以为

(15) 已知矩形 A B C D 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, A B ? 6, B C ? 2 3 ,则棱锥 O ? A B C D 且 的体积为 。8 3 (18)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底 面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (18)解: (Ⅰ)因为 ? D A B ? 60 ? , A B ? 2 A D , 由余弦定理得 B D ?
2 2 2

3 AD

从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD
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(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz , 则
A ? 1, 0, 0 ?

,

B 0, 3 , 0

?

?

,

C ? 1,

?

3,0

?

,

P ? 0, 0,1 ?



uuu v A B ? ( ? 1,

uuv 3 , 0 ), P B ? (0,

uuu v 3 , ? 1), B C ? ( ? 1, 0, 0 )
uuu r n?AB ? 0,

uuu r 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 { n ? P B ? 0 ,



?x ?

3y ? 0

3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3 ,1, 3 )
uuu r m ?PB ? 0 ,

设平面 PBC 的法向量为 m,则 { m ? uuur ? 0 , BC 可取 m=(0,-1, ? 3 ) co s m , n ?
?4 2 7
2 7 7

? ?

2 7 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

[2012] (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何 体的三视图,则此几何体的体积为 B (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 (11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 A (A)
2 6

(B)

3 6

(C)

2 3

(D)

2 2

(19) (本小题满分 12 分) 如图,之三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 , A B ? B C ? (I)证明: D C 1 ? B C 1 (II)求二面角 A1 ? B D ? C 1 的大小。
1 2 A A1 ,D 是棱 A A1 的中点, D C 1 ? B D

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【解析】 (1)在 R t ? D A C 中, A D ? A C 得: ? A D C ? 4 5
?

同理: ? A1 D C 1 ? 4 5 ? ? C D C 1 ? 9 0

?

?
[来源:学科网]

得: D C 1 ? D C , D C 1 ? B D ? D C 1 ? 面 B C D ? D C 1 ? B C (2) D C 1 ? B C , C C 1 ? B C ? B C ? 面 A C C 1 A1 ? B C ? A C 取 A1 B1 的中点 O ,过点 O 作 O H ? B D 于点 H ,连接 C 1O , C 1 H
A1 C 1 ? B1 C 1? O H? B D? C1 O ? C H ? A,面 A1 B1C 1 ? 面 A1 B D ? C 1O ? 面 A1 B D B 1 1 B 得:点 H 与点 D 重合 D

1

且 ? C 1 D O 是二面角 A1 ? BD ? C 1 的平面角
2a 2
?

设 A C ? a ,则 C 1 O ?

, C1 D ?
?

2 a ? 2 C 1O ? ? C 1 D O ? 3 0

既二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小为 30

2007-2012 宁夏高考数学(理)统计与概率试题汇总 [2007] 11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 B

甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数

乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数

丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

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A. s 3 ? s1 ? s 2 B. s 2 ? s1 ? s 3

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s1, s 2, s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(



C. s1 ? s 2 ? s 3

D. s 2 ? s 3 ? s1

16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的 安排方法共有 种. (用数字作答)240 20. (本小题满分 12 分)如图,面积为 S 的正方形 A B C D 中有一个不规则的图形 M ,可按下面方法估 计 M 的面积:在正方形 A B C D 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估 计值为
S ,假设正方形 A B C D 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 A B C D 中随 n 机投掷 1 0 0 0 0 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 E X ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 ( ? 0 .0 3,?? ? ) 内的概率. ? m
D

C

M

附表: P ( k ) ?
k
P (k )

?C
t?0

k

t 10000

? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t

10000 ? t

A

B

2424

2425 0 .0 4 2 3
1 4

2574 0.9570
? ? 1? 4?

2575 0.9590

0 .0 4 0 3

20.解:每个点落入 M 中的概率均为 p ?
1 4

.依题意知 X ~ B ? 1 0 0 0 0, ? .

(Ⅰ) E X ? 1 0 0 0 0 ?

? 2500 .
? ? ? ? 4 ? 1 ? 0 .0 3 ? , 10000 ? X
2574

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ? 0 .0 3 ?

X ? ? P ? ? 0 .0 3 ? ? 4 ? 1 ? 0 .0 3 ? ? P ( 2 4 2 5 ? X ? 2 5 7 5) ? 10000 ? ?
2574

t ? 2426

?

C 1 0 0 0 0 ? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t t

10000 ? t

?

t ? 2426

?

C 1 0 0 0 0 ? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t t

10000 ? t

2425

?

?C
t?0

t 10000

? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t

10000 ? t

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .

[2008] 9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至 多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( )A A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下:

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271 甲品 种: 308 284 乙品 种: 320 273 310 292 322 280 314 295 322 285 319 304 324 285 323 306 327 287 325 307 329 292 325 312 331

117557035.doc
294 328 313 333 295 331 315 336 301 334 315 337 303 337 316 343 303 352 318 356 318 307

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由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 3 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 27 28 29 30 31 32 33 34 2 35 4 2 4 2 0 1 3 6 5 6 3 2 3 7 5 2 6 5 4 7 6 7 8 9 8 乙

根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①____________________________________________________________________________________ ②____________________________________________________________________________________ 16.1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大 于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花 的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更 大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花的纤维长度 除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 19、 (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2。根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 5% 10% X2 2% 8% 12% P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 DY1、DY2; (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所 得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小 值。 (注:D(aX + b) = a2DX) 19.解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y 2 的分布列分别为 Y1 5 0.8 10 0.2 Y2 2 0.2 8 0.5 12 0.3

P

P
E Y1 ? 5 ? 0 .8 ? 1 0 ? 0 .2 ? 6

D Y1 ? (5 ? 6 ) ? 0 .8 ? (1 0 ? 6 ) ? 0 .2 ? 4 ,
2 2

E Y 2 ? 2 ? 0 .2 ? 8 ? 0 .5 ? 1 2 ? 0 .3 ? 8 , D Y 2 ? (2 ? 8) ? 0 .2 ? (8 ? 8) ? 0 .5 ? (1 2 ? 8) ? 0 .3 ? 1 2 .
2 2 2

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2 2

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? 100 ? x ? ? x ? ? 100 ? x ? ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? ? (Ⅱ) f ( x ) ? D ? ? D Y1 ? ? ? D Y2 ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ?

?

4 600 2 2 ? x 2 ? 3(1 0 0 ? x ) 2 ? ? ? ? 1 0 0 2 ( 4 x ? 6 0 0 x ? 3 ? 1 0 0 ) ,当 x ? 2 ? 4 ? 7 5 时, f ( x ) ? 3 为最小值. 100
2

4

[2009] (3)对变量 x, y 有观测数据( x1 , y 1 ) (i=1,2,?,10) ,得散点图 1;对变量 u ,v 有观测数据( u i ,
vi ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。C

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 (15)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,则不同的安排方 案共有________________种(用数字作答) 。140 (18) (本小题满分 12 分)某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) , 另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂 的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人;www.xuexiwu.com (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2.

表1:
生产能力分 组 人数

?1 0 0 ,1 1 0 ?
4 8

?1 1 0 ,1 2 0 ?

?1 2 0 ,1 3 0 ?
x

?1 3 0 ,1 4 0 ?
5 3

?1 4 0 ,1 5 0 ?

表2:
生产能力分组

?1 1 0 ,1 2 0 ?
6

?1 2 0 ,1 3 0 ?
y

?1 3 0 ,1 4 0 ?
36

?1 4 0 ,1 5 0 ?
18

人数

(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异 程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)

www.xuexiwu.com (ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数,同一 组中的数据用该组区间的中点值作代表)www.xuexi (18) 解: (Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为
1 10

,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相
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w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

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1 10 ? 1 10 ? 1 100

互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为

p ?

.

(Ⅱ) (i)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名. 故
4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 , 6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 1 5 .

频率分布直方图如下

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小 . (ii) x A ?
?? ? xB ? ? x ? ?? ? 4 25 6 75 25 ? 105 ? ? 115 ? ? 123 ? 8 25 15 75 75 100 ? 115 ? ? 125 ? 5 25 36 75 ? 1 3 3 .8 ? 1 3 1 .1 ? 125 ? ? 135 ? 5 25 18 75 ? 135 ? 3 25 ? 1 4 5 ? 1 3 3 .8 , ? 145 ? 123 ,

100

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分 别为 123,133.8 和 131.1 . [2010] (6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒 ,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 B (A)100 (B)200 (C)300 (D)400 (19)(本小题满分 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要 40 30 需要 160 270 不需要 (Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的 老年人的比例?说明理由. 男 女

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(19)解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的 老年人的比例的估计值为
70 500 ? 14%
2

(2) K ?
2

500 ? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 200 ? 300 ? 70 ? 430

? 9 .9 6 7 。

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知, 该地区老年人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该地区男性老年 人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例, 再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. [2011] (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A (A)
1 3
? ?

(B)
5

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(8) ? x ?

a ?? 1? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 D x ?? x?

(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 (19) (本小题满分 12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质 量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 4 12 42 32 10 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为
? ? 2 , ( t ? 94 ) ? y ? ? 2 , ( 94 ? t ? 102 ) 从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及 ? 4 , ( t ? 102 ) ?

数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) (19)解(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 质品率的估计值为 0.42
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32 ? 10 100 ? 0 .4 2 ,所以用 B 配方生产的产品的优 22 ? 8 100 = 0 .3 ,所以用 A 配方生产的

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(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 ? 9 0, 9 4 ? , ? 9 4,1 0 2 ? , ?1 0 2,1 1 0 ? 的频率分别 为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 [2012] (2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每 个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A (A)12 种 (B)10 种 (C) 9 种 (D)8 种 (15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作, 则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000,502) ,且各个元 件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________________.3/8

18.(本小题满分 12 分)

某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干只玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (I)看花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝, n ? N )的函数解析式。
(II)花点记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,x 表示当天的利润(单位:元) ,求 x 的分布列,数学期望及方差; (2)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 【解析】 (1)当 n ? 1 6 时, y ? 1 6 ? (1 0 ? 5) ? 8 0 当 n ? 1 5 时, y ? 5 n ? 5(16 ? n ) ? 10 n ? 80
?1 0 n ? 8 0 ( n ? 1 5) ? 80 (n ? 16)

得: y ? ?

(n ? N )

(2) (i) X 可取 6 0 , 7 0 , 8 0
P ( X ? 60) ? 0.1, P ( X ? 70) ? 0.2, P ( X ? 80) ? 0.7

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www.TopSage.com X 的分布列为
X

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60
0.1

70
0 .2

80
0 .7

P

E X ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

D X ? 16 ? 0.1 ? 6 ? 0.2 ? 4 ? 0.7 ? 44
2 2 2

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1 ? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76 .4
7 6 .4 ? 7 6 得:应购进 17 枝

2007-2012 宁夏高考数学(理)解析几何试题汇总 [2007] 2 6.已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x 2, y 2 ) , P3 ( x 3, y 3 ) 在抛物线上, 且 2 x 2 ? x1 ? x 3 , 则有( )C
2 2

A. F P1 ? F P2 ? F P3 B. F P1 ? F P2

? F P3 C. 2 F P2 ? F P1 ? F P3 D. F P2

2

2

? F P1· F P3

13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2, 焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为 19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆
Q.

. 3

x

2

? y ? 1 有两个不同的交点 P 和
2

2

(I)求 k 的取值范围;
??? ? A B 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量 O P ? O Q 与

??? ?

????

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ?

2 ,代入椭圆方程得

x

2

? ( kx ?

2) ? 1.
2

2

整理得 ?

?1

2 ? 2 ? k ? x ? 2 2 kx ? 1 ? 0 ?2 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8 k ? 4 ?
2

?1 ?2

2 ? 2 ? k ? ? 4k ? 2 ? 0 , ?

解得 k ? ?

2 2

或k ?

2 2

? .即 k 的取值范围为 ? ? ∞ , ? ?

?

2 ? ?? 2 ? ?

? 2 ? , ∞?. ? ? ? 2 ? ? ?

(Ⅱ)设 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,则 O P ? O Q ? ( x1 ? x 2, y1 ? y 2 ) , 由方程①, x1 ? x 2 ? ?
4 2k 1 ? 2k
2

??? ?

????




??? ?

又 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 .
????
??? ?



0 1) A 1) 而 A ( 2, ), B (0,, B ? ( ? 2, .所以 O P ? O Q 与 A B 共线等价于 x1 ? x 2 ? ? 2 ( y1 ? y 2 ) ,

??? ?

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2 2

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2 2

将②③代入上式,解得 k ?

.由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2

或k ?

,故没有符合题意的常数 k .

[2008] 11、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得 最小值时,点 P 的坐标为( )A A. (
1 4

,-1)
x
2

B. (
? y
2

1 4

,1)

C. (1,2)

D. (1,-2)

14、已知双曲线

? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲

9

16
x a
2 2

线交于点 B,则△AFB 的面积为______________32/15 20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:
? y b
2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为

F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | M F 2 |?

5 3



???? ???? ????? ? ? (1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 M N ? M F1 ? M F2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点, ??? ? ??? ? 若 O A · O B =0,求直线 l 的方程。 5 5 2 0 20. (Ⅰ) C 2 : y ? 4 x 知 F 2 (1,) . M ( x1, y1 ) ,M 在 C 2 上, 解: 由 设 因为 M F 2 ? , 所以 x1 ? 1 ? , 3 3

得 x1 ?

2 3

, y1 ?

2 6 3

. M 在 C 1 上,且椭圆 C 1 的半焦距 c ? 1 ,于是

8 ? 4 ? ? 1, 1 ? 4 2 2 2 2 消去 b 并整理得 9 a ? 3 7 a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去) . 3b ? 9a 3 ?b 2 ? a 2 ? 1. ?

故椭圆 C 1 的方程为
???? ?

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

(Ⅱ)由 M F1 ? M F2 ? M N 知四边形 M F1 N F2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,
2 6

?????

???? ?

因为 l ∥ M N ,所以 l 与 O M 的斜率相同,故 l 的斜率 k ?

3 2 3

?

6 .设 l 的方程为 y ?

6(x ? m) .

? 3 x 2 ? 4 y 2 ? 1 2, ? 2 2 由? 消去 y 并化简得 9 x ? 16 m x ? 8 m ? 4 ? 0 .设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) , ? y ? 6 ( x ? m ), ?
x1 ? x 2 ? 16m 9

, x1 x 2 ?

8m ? 4
2

9

.因为 O A ? O B ,所以 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .
2

??? ?

??? ?

8m ? 4 16m 2 2 ? 6m ? ? 6m x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? 6( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? 7 x1 x 2 ? 6 m ( x1 ? x 2 ) ? 6 m ? 7 ? 9 9

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? 1 9
2

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2 2

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(1 4 m ? 2 8) ? 0 .所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (1 6 m ) ? 4 ? 9 (8 m ? 4 ) ? 0 ,
6 x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 .

故所求直线 l 的方程为 y ? [2009] (4)双曲线
x
2 2

-

y

=1 的焦点到渐近线的距离为 A

4

12

(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1 (13)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. y=x (20) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶 点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 并说明轨迹是什么曲线。ww (20)解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a, c ,由已知得 ?
?a ? c ? 1 ?a ? c ? 7 , 解 得 a ? 4, c ? 3 ,
OP OM

=λ ,求点 M 的轨迹方程,

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

所以椭圆 C 的标准方程为

x

2

?

y

2

?1

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

16

7
OP OM
2

(Ⅱ)设 M ( x , y ) ,其中 x ? ? ? 4, 4 ? 。由已知
2 2 2 2

2

? ? 及点 P 在椭圆 C 上可得
2

9 x ? 112
2

16( x ? y )
2 2

?? 。
2

整理得 (16 ? ? 9) x ? 16 ? y ? 112 ,其中 x ? ? ? 4, 4 ? 。 (i) ? ?
3 4

时。化简得 9 y ? 1 1 2
2

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 3

( ? 4 ? x ? 4 ) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。

(ii) ? ?

3 4

时,方程变形为

x

2

112 16? ? 9
2

?

y

2

112 16?
2

? 1 ,其中 x ? ? ? 4, 4 ?

当0 ? ? ? 当
3 4

3 4

时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 4 ? x ? 4 的部分。

? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 4 ? x ? 4 的部分;

当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆; [2010] (12)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 B (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

3

6

4

5

6

3

5

4

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26 / 39 117557035.doc (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1).则圆 C 的方程为

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.

( x ? 3) ? y ? 2
2 2

(20)(本小题满分 12 分)设 F1 , F 2 分别是椭圆 E:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1

的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 A F 2 , A B , B F2 成等差数列. (Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 P A ? P B ,求 E 的方程. (20.)解: (I)由椭圆定义知 A F2 ? B F2 ? A B ? 4 a ,又 2 A B ? A F2 ? B F2 ,得 A B ?
l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ?
2 2

4 3

a

a ? b 。设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x?c 2 2 2 2 a ?c ? b ? ?2a c ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , x1 x 2 ? 化简得 ? a ? b ? x ? 2 a cx ? a ? c ? b ? ? 0 则 x1 ? x 2 ? 2 ?x y 2 2 2 a ?b a ?b ? 2 ? 2 ?1 b ?a

因为直线 AB 斜率为 1,所以 A B ?
4 3 4ab
2 2 2

2 x 2 ? x1 ?

2 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? ? ?



a ?

a ?b

, 故 a ? 2 b 所以 E 的离心率 e ?
2 2

c a

?

a ?b
2

2

?

2 2

a
?a c
2

(II)设 AB 的中点为 N ? x 0 , y 0 ? ,由(I)知 x 0 ?
y0 ? 1 x0

x1 ? x 2 2

?

a ?b
2

2

? ?

2 3

c , y0 ? x0 ? c ?

c 3
2



由 P A ? P B , k PN ? ? 1 , 得 即

? ?1 得 c ? 3 , 从而 a ? 3 2 , b ? 3 故椭圆 E 的方程为

x

?

y

2

? 1。

18

9

[2011] (7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, A B 为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 B (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3
2 2

(14)在平面直角坐标系 xO y 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F 2 在 x 轴上,离心率为 直线 L 交 C 于 A , B 两点,且 V A B F2 的周长为 16,那么 C 的方程为 。
x
2

。过 F1 的

?

y

2

?1

16

8

(20) (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB // OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (20)解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 M A =(-x,-1-y), M B =(0,-3-y), A B =(x,-2). 再由题意可知( M A + M B )? A B =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y=
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1 4

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

1 4

x -2.

2

x -2 上一点,因为 y =

2

'

1 2

x,所以 l 的斜率为

1 2

x0

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因此直线 l 的方程为 y ? y 0 ?
1 2

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x 0 ( x ? x 0 ) ,即 x 0 x ? 2 y ? 2 y 0 ? x 0 ? 0 。
2

27 / 39

1

则 O 点到 l 的距离 d ?

| 2 y0 ? x0 |
2

x0 ? 4
2

.又 y 0 ?

1 4

x 0 ? 2 ,所以 d ? 2
2

x0 ? 4
2

x0 ? 4
2

?

1 2

(

x0 ? 4 ?
2

4 x0 ? 4
2

) ? 2,

当 x 0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
x a
2 2

2

[2012] (4)设 F1 F 2 是椭圆 E:
?

?

y b

2 2

? ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,P 为直线 x ?

3a 2

上一点,

? F 2 P F1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

)C

(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5
2

(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 X 轴上,C 与抛物线 y ? 1 6 x 的准线交于 A,B 两点,
| A B |? 4 3 ,则 C 的实轴长为 C

(A) 2

(B) 2 2

(C)4

(D)8

(20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的交点为 F,准线为 L,A 为 C 上的一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的
2

圆 F 交 L 于 B,D 两点。 (I)若 ? B F D ? 90 , △ A B D 的面积为 4 2 求 P 的值及圆 F 的方程;
0

(II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点 m,n 距离的比值。

【解析】 (1)由对称性知: ? B F D 是等腰直角 ? ,斜边 B D ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? F A ? F B ?
S ?ABD ? 4 2 ?
2

2p

1 2

? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
x0
2

(2)由对称性设 A ( x 0 ,

2p

)( x 0 ? 0 ) ,则 F (0 ,

p 2

)

点 A , B 关于点 F 对称得: B ( ? x 0 , p ?

x0

2

)? p?

x0

2

? ?

p 2

2p

2p

? x0 ? 3 p
2

2

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3p ? p 3y ? 3p 2 ? 0

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得: A ( 3 p ,

3p 2

) ,直线 m : y ? 2

2 x? p ? x? 2 3p

x ? 2 py ? y ?
2

x

2

? y? ?

x p

?

3 3

? x?

3 3
3 6

p ? 切点 P (

3p 3

,

p 6

)

2p
p 6 3 3 3p 3

直线 n : y ?

?

(x ?

)? x?

3y ?

p ? 0

坐标原点到 m , n 距离的比值为

3p 2

:

3p 6

?3。

2007-2012 宁夏高考数学(理)函数与导数试题汇总 [2007]
1

10.曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
2

x

)D

A.

9 2

e

2

B. 4 e

2

C. 2 e

2

D. e

2

14.设函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) x

为奇函数,则 a ?
2

.-1

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ln( x ? a ) ? x

(I)若当 x ? ? 1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 21.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ?
2

e 2



1 x?a

? 2 x ,依题意有 f ? ( ? 1) ? 0 ,故 a ?

3 2


? ?

从而 f ? ( x ) ?

2x ? 3x ? 1 x? 3 2

?

( 2 x ? 1)( x ? 1) x? 3 2

? . f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? , ? 2

?

3

当?

3 2

? x ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? ?
? ? 3 ? ? ? ? 1

1 2
? ?

时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? ?
? ?

1 2

时, f ?( x ) ? 0 .

? ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ? , ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ? 1, ? 2 2

1? ? 单调减少. 2?

? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( ? a, ∞ ) , f ? ( x ) ?

2 x ? 2ax ? 1
2

x?a



方程 2 x ? 2 ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4 a ? 8 .
2 2

(ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 无极值.

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(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 若a ?
2 或a ? ? 2.
( 2 x ? 1) x? 2

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2

2 , x ? ( ? 2, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?


? ? 2 , ∞ ? 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 无极值. ? ?? ? ? 2 ? ?

当x ? ?

2 2

? 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ? ?

?

2 ? ?? 2 ? ?
2

若 a ? ? 2 , x ? ( 2, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?

( 2 x ? 1) x? 2

? 0 , f ( x ) 也无极值.

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

2 或a ? ?

2 ,则 2 x ? 2 a x ? 1 ? 0 有两个不同的实根 x1 ?
2

?a ?

a ?2
2



2

x2 ?

?a ?

a ?2
2



2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ? a, x 2 ? ? a ,从而 f ? ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值. 当a ?
2 时, 1 ? ? a , 2 ? ? a ,f ? ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内有两个不同的零点, x x 由根值判别方法知 f ( x )

? 在 x ? x1, x ? x 2 取得极值.综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞ ) .
f ( x ) 的极值之和为 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ln ( x1 ? a ) ? x1 ? ln ( x 2 ? a ) ? x 2 ? ln
2 2

1 2

? a ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln
2

e 2



[2008] 10、由直线 x ? A.
15 4 1 2

,x=2,曲线 y ? B.
17 4

1 x

及 x 轴所围图形的面积是(
1 2
1 x?b

)D

C.

ln 2

D. 2 ln 2
( a , b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线方程

21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ax ? 为

y ? 3。 (1)求 y ? f ( x ) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x ) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称

中心; (3)证明:曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值。
1 ? 9 ? a ? , ? 2 a ? 2 ? b ? 1, ? ? a ? 1, 1 ? ? 4 21.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? a ? ,于是 ? 解得 ? 或? 2 1 (x ? b) 8 ? b ? ? 1, ? ?a ? ? 0, b? ? . 2 ? (2 ? b) ? 3 ? ?

因 a, b ? Z ,故 f ( x ) ? x ?

1 x ?1


1 x

(Ⅱ)证明:已知函数 y 1 ? x , y 2 ?

都是奇函数.

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1 x

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所以函数 g ( x ) ? x ? 而 f (x) ? x ? 1 ?
1

也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.
? 1 .可知,函数 g ( x ) 的图像按向量 a ? (1, 平移,即得到函数 f ( x ) 的图像,故 1)

x ?1

1) 函数 f ( x ) 的图像是以点 (1, 为中心的中心对称图形.

(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x 0, x 0 ?
? x0 ? x0 ? 1
2

?

? 1 知,过此点的切线方程为 ? .由 f ? ( x 0 ) ? 1 ? 2 x0 ? 1 ? ( x 0 ? 1) 1

y?

x0 ? 1

? ? ? x ?1? 1 x ?1 ? ?1 ? ( x ? x 0 ) .令 x ? 1 得 y ? 0 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1, 0 ?. 2 ? ( x 0 ? 1) ? x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? ?

2 令 y ? x 得 y ? 2 x 0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 ( 2 x 0 ? 1, x 0 ? 1) .直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为
(1, . 1)

从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 2 x0 ? 1

? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ?

1

2

2 x0 ? 1

2 x0 ? 2 ? 2 .

所以,所围三角形的面积为定值 2 . [2009] x (12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最 大值为 C (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? a x ? b ) e
3 2 ?x

(1)如 a ? b ? ? 3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ? ? ) 单调减少,证明 ? ? ? >6. (21)解: (Ⅰ)当 a ? b ? ? 3 时, f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3 x ? 3) e
3 2 ?x
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

,故
3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

f '( x ) ? ? ( x ? 3 x ? 3 x ? 3) e
3 2

?x

? (3 x ? 6 x ? 3) e
2

?x

? ?e

?x

(x ? 9 x)

? ? x ( x ? 3)( x ? 3) e

?x
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

当 x ? ? 3或 0 ? x ? 3时 , f '( x ) ? 0; 当 ? 3 ? x ? 0 或 x ? 3时 , f '( x ) ? 0.
0 ? 从而 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 3), (0, 3) 单 调 增 加 , 在 ( ? 3,) , (3, ? ) 单调减少.

(Ⅱ) f '( x ) ? ? ( x ? 3 x ? ax ? b ) e
3 2 3

?x

? (3 x ? 6 x ? a ) e
2

?x

? ?e

?x

[ x ? ( a ? 6) x ? b ? a ].
3

由条件得: f '(2) ? 0, 即 2 ? 2( a ? 6) ? b ? a ? 0, 故 b ? 4 ? a , 从而
f '( x ) ? ? e
3 ?x

[ x ? ( a ? 6 ) x ? 4 ? 2 a ]. 因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以
3

x ? ( a ? 6 ) x ? 4 ? 2 a ? ( x ? 2 )( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)[ x ? (? ? ? ) x ? ? ? ].
2

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31 / 39

将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ? 2, ? ? ? a ? 2. 故
? ?? ?
( ? ? ? ) ? 4? ? ?
2

12 ? 4a .

又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0, 即 ? ? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ? 6 . [2010] 在点 ? ? 1, ? 1 ? 处的切线方程为 A x?2 (A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? 2 x ? 1 (C) y ? ? 2 x ? 3 (3)曲线 y ?
3

于是 ? ? ? ? 6.

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

x

(D) y ? ? 2 x ? 2

(8)设偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 0 ? ,则 ? x f ? x ? 2 ? > 0 ? ? B (A)? x x < - 2 或 x> 4 ? (B)? x x < 0 或 x> 4 ? (C)? x x < 0 或 x> 6 ? (D)? x x < - 2 或 x> 2 ?

? lg x , 0 < x ? 1 0 , ? (11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? ,则 abc 的取 ? ? x ? 6 , x> 1 0 ? 2

值范围是 C (A) ? 1,1 0 ? (B) ? 5, 6 ? (C) ? 10,12 ? (D) ? 2 0, 2 4 ? (13) 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分

?

1 0

f ( x )d x ,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x 1 , x 2 ?, x N 和 y 1 , y 2 ?, y N ,由此得到

N 个点( x i , y i ) (i=1,2,?,N),再数出其中满足 y i ≤ f ( x i ) (i=1,2,?,N)的点数 N 1 ,那么由随机模 拟方法可得积分 ? f ( x )d x 的近似值为
0 1

.

N1 N

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax . (Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
x 2

(21) (1)a ? 0 时, f ( x ) ? e ? 1 ? x , f '( x ) ? e ? 1 .当 x ? ( ? ? , 0) 时, f '( x ) ? 0 ; x ? (0, ??) 解: 当
x x

时, f '( x ) ? 0 .故 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 单调减少,在 (0, ? ? ) 单调增加 (II) f '( x ) ? e ? 1 ? 2 a x
x

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x ) ? x ? 2 ax ? (1 ? 2 a ) x ,

从而当 1 ? 2 a ? 0 ,即 a ? 由 e ? 1 ? x ( x ? 0 ) 可得 e
x

1 2
?x

时, f '( x ) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0 ) ? 0 ,于是当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 .
? 1 ? x ( x ? 0) .从而当 a ?
?x

1 2

时,

f '( x ) ? e ? 1 ? 2 a ( e
x

?x

? 1) ? e

( e ? 1)( e ? 2 a ) ,
x x

故当 x ? (0, ln 2 a ) 时, f '( x ) ? 0 ,而 f (0 ) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2 a ) 时, f ( x ) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ( ? ? , ] .
2 1

[2011]
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32 / 39 117557035.doc (2)下列函数中,既是偶函数又在 0 , ? ) 单调递增的函数是 B ( +

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? x

(A) y ? x

3

(B) y ? x ? 1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

(9)由曲线 y ? (A)
10 3 1 1? x

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 C

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(12)函数 y ?

的图像与函数 y ? 2 sin ? x ( ? 2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 D (C) 6 (D)8

(A)2 (B) 4 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
a ln x x ?1 ? b x

,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。
ln x x ?1 ? k x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
?(
x ?1

,求 k 的取值范围。

(21)解: (Ⅰ) f '( x ) ?

? ln x ) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

1

? b ? 1, ? ?a 1 ? ?b ? ? , ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x x ?1

?

1 x
2

,所以 f ( x ) ? (

ln x x ?1

?

k x

)?

1 1? x
2

( 2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1)
2

)。

x
2

考虑函数 h ( x ) ? 2 ln x ?

( k ? 1)( x ? 1) x

( x ? 0 ) ,则 h '( x ) ?

( k ? 1)( x ? 1) ? 2 x x
2



(i)设 k ? 0 ,由 h '( x ) ?

k ( x ? 1) ? ( x ? 1)
2

2

x

2

知,当 x ? 1 时, h '( x ) ? 0 。而 h (1) ? 0 ,故

当 x ? (0,1) 时, h ( x ) ? 0 ,可得

1 1? x
2

h(x) ? 0 ; 1
2

当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, 而 h(1)=0,故当 x ? (1,
'

1? x ln x k

h(x)>0 )>0,即 f(x)>
2

x ?1 1

+

ln x x ?1

+

k x
'

.

x

1? k

)时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0,
1 1? x
2

1 1? k

)时,h(x)>0,可得

h(x)<0,与题设矛盾。
1
2

(iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得
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h(x)

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<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] [2012] (10) 已知函数 f(x)=
1 ln ( x ? 1) ? x

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33 / 39

,则 y=f(x)的图像大致为 B

(C)

(12)设点 P 在曲线 y= (A) 1-ln2

1 2

ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|pQ|最小值为 B

(B) 2 (1 ? ln 2) (C)1+ln2 (D) 2 (1 ? ln 2)

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? f ? (1) e x ?1 ? f (0 ) x ? (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f ( x ) ?
1 2 1 2 x ? ax ? b
2

1 2

x

2

求(a+1)b 的最大值。

x ?1 【解析】 (1) f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) x ?

2 x ?1 x ? f ? ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) ? x

令 x ? 1 得: f (0) ? 1
x ?1 f ( x ) ? f ? (1) e ?x?

1 2

2 ?1 x ? f (0 ) ? f ? (1) e ? 1 ? f ? (1) ? e

得: f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2

2 x x ? g ( x ) ? f ?( x ) ? e ? 1 ? x

g ? ( x ) ? e ? 1 ? 0 ? y ? g ( x ) 在 x ? R 上单调递增
x

f ? ( x ) ? 0 ? f ? (0) ? x ? 0, f ?( x ) ? 0 ? f ? (0) ? x ? 0

得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2

x

2

且单调递增区间为 (0, ? ? ) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) (2) f ( x ) ?
1 2 x ? a x ? b ? h ( x ) ? e ? ( a ? 1) x ? b ? 0 得 h ? ( x ) ? e ? ( a ? 1)
2 x

x

①当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? y ? h ( x ) 在 x ? R 上单调递增
x ? ?? 时, h ( x ) ? ? ? 与 h ( x ) ? 0 矛盾

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②当 a ? 1 ? 0 时, h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1), h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1) 得:当 x ? ln ( a ? 1) 时, h ( x ) m in ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1) ? b ? 0
( a ? 1) b ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1)( a ? 1 ? 0 )
2 2

令 F ( x ) ? x ? x ln x ( x ? 0) ;则 F ?( x ) ? x (1 ? 2 ln x )
2 2

F ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ?

e , F ?( x ) ? 0 ? x ?

e

当x ? 当a ?

e 时, F ( x ) m ax ?
e ? 1, b ?

e 2
e 2

e 时, ( a ? 1) b 的最大值为

平面几何证明 2007 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 A P 是 ? O 的切线, P 为切点, A C 是 ? O 的割 线, ? O 交于 B, C 两点, 与 圆心 O 在 ? P A C 的内部, M 点 是 B C 的中点. (Ⅰ)证明 A, P, O, M 四点共圆; (Ⅱ)求 ? O AM ? ? APM 的大小. 22.A(Ⅰ)证明:连结 O P, O M . 因为 A P 与 ? O 相切于点 P ,所以 O P ? A P . 因为 M 是 ? O 的弦 B C 的中点,所以 O M ? B C .

P

A M

O

B

C

P

A

于是 ? O P A ? ? O M A ? 180 ° . M 由圆心 O 在 ? P A C 的内部,可知四边形 A P O M 的对角互补,所 B C 以 A, P, O, M 四点共圆. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A, P, O, M 四点共圆,所以 ? O A M ? ? O P M .由(Ⅰ)得 O P ? A P . 由圆心 O 在 ? P A C 的内部,可知 ? O P M ? ? A P M ? 90 ° .所以 ? O A M ? ? A P M ? 90 ° . 2008 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 A P 垂直直线 O M ,垂足为 P . (Ⅰ)证明: O M ?O P ? O A ;
2

O

B A N P

K M

(Ⅱ) N 为线段 A P 上一点,直线 N B 垂直直线 O N ,且交圆 O 于 B 点. 过 B 点的切线交直线 O N 于 K .证明:∠ O K M ? 9 0 . 22.解: (Ⅰ)证明:因为 M A 是圆 O 的切线,所以 O A ? A M . 又因为 A P ? O M .在 R t △ O A M 中,由射影定理知, O A ? O M ?O P .
2 ?

O

(Ⅱ)证明:因为 B K 是圆 O 的切线, B N ? O K .同(Ⅰ) ,有 O B ? O N ?O K ,又 O B ? O A ,
2

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所以 O P ?O M ? O N ?O K ,即
ON OP ? OM OK

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35 / 39

.又∠ N O P ? ∠ M O K ,
?

所以 △ O N P ∽ △ O M K ,故∠ O K M ? ∠ O P N ? 90 . 2009 (22)本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

如图, 已知 ? A B C 的两条角平分线 A D 和 C E 相交于 H,? B ? 6 0 , 在 A C 上, F
0

且 AE ? AF 。 (1)证明:B,D,H,E 四点共圆:(2)证明: C E 平分 ? D E F 。 (22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°,所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD,可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF. 2010 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m w.w.w. k. s.5.u.c.o.m w.w. w. k. s.5.u.c.o.

如图,已知圆上的弧

,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E
2

点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC =BE×CD。
? A (22)解: (I)因为 ? C ? B C ,所以 ? B C D ? ? A B C .
AC 又因为 E C 与圆相切于点 C , ? A E ??B 故 C

, 所以 ? A C E ? ? B C D .
BC BE ? CD BC

(II)因为 ? E C B ? ? C D B , ? E B C ? ? B C D ,所以 ? B D C ∽ ? E C B ,故 即 BC ? BE ? CD .
2



2011 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ? A B C 的边 A B , A C 上的点,且不与
? A B C 的顶点重合。已知 A E 的长为 m,AC 的长为 n, A D , A B 的

长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? m n ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ? A ? 9 0 ? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AC ? AE AB

.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

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因此∠ADE=∠ACB

所以 C,B,D,E 四点共圆。
2

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D, E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 [2012] (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
0

1 2

(12-2)=5.

如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交于△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 A C F // A B ,证明: (I) CD=BC; (II)△BCD∽△GBD
G E D

F

B

C

【解析】 (1) C F / / A B , D F / / B C ? C F / / B D / / A D ? C D ? B F
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD

(2) B C / / G F ? B G ? F C ? B D
BC / /G F ? ? G D E ? ? BG D ? ? D BC ? ? BD C ? ?BC D ? ?G BD

不等式选讲 2007 22.C(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x ) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x ) 的最小值. 22.C解: (Ⅰ)令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ,则
1 ? x≤ ? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ? 3 x ? 3, ? ? x ? 4,........3 分 ....... 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?
2 2) 作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 ( ? 7, 和 ? , ? . ?3 ? ?5 ?
y

y ? 2
O 1

?

4

x

2

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?5

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? ?

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? ? 所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 ( ? ? , 7 ) ? ? , ? ? . ?3

(Ⅱ)由函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 2008 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? 8 ? x ? 4 . (Ⅰ)作出函数 y ? f ( x ) 的图像; (Ⅱ)解不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 .

1 2

时, y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 取得最小值 ?

9 2



y

1 O 1

x

24.解:
? 4, ? (Ⅰ) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 2, ??4 ? x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.

图像如下: y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x ) ? 2 ,由 ? 2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 .
5) 由函数 f ( x ) 图像可知,原不等式的解集为 ( ?∞ , .

2009 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, 为数轴的原点, O A,B,M 为数轴上三点, 为线段 OM 上的动点, x 表示 C 与原点的距离, 表 C 设 y
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示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(24)解(Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ? 6 | x ? 20 |, 0 ? x ? 30.

(Ⅱ)依题意,x 满足 【9,23】 所以

{
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

4 | x ? 1 0 | ? 6 | x ? 2 0 |? 7 0, 0 ? x ? 30.

解不等式组,其解集为

x ? [9, 2 3].

2010 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 设函数 f ( x ) ? | 2 x ? 4 | ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x ) 的图像 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ a x 的解集非空,求 a 的取值范围。

(24) 解:
(Ⅰ)由于 f ( x ) ? ?
? ? 2 x ? 5, x ? 2 ? 2 x ? 3, x ? 2

则函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x ) 与函数 y=ax 的图像可知,当且仅当 a ?

1 2

或 a ? ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 与函数
1

y=ax 的图像有交点。故不等式 f ( x ) ? ax 的解集非空时,a 的取值范围为 ( ? ? , ? 2 ) ? [ , ? ? ) 。
2

2011 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? x ? a ? 3 x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x ) ? 3 x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 ? x | x ? ? 1

? ,求 a 的值。
x ? 3 或 x ? ?1 。

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 可化为 | x ? 1 |? 2 。由此可得 故不等式 f ( x ) ? 3 x ? 2 的解集为 { x | x ? 3 或 x ? ? 1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x ) ? 0 得 x ? a ? 3 x ? 0 此不等式化为不等式组
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?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

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?x ? a ? 或?a ? ? a ? ? 2

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?x ? a ? ?x ? a 或? 即 ?x ? a ? ?a ? x ? 3x ? 0 ? 4

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?
a 2

a 2

?

= ? 1 ,故 a ? 2

[2012] 24 已知函数 f(x) = |x + a| + |x - 2|. (1)当 a = -3 时,求不等式 f(x) ≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.
? ? 2 x ? 5, x ? 2 ? 2? x ?3, 【解析】(Ⅰ)当 a ? ? 3 时, f ( x ) = ?1, ? 2 x ? 5, x ? 3 ?

当 x ≤2 时,由 f ( x ) ≥3 得 ? 2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ≤1; 当 2< x <3 时, f ( x ) ≥3,无解; 当 x ≥3 时,由 f ( x ) ≥3 得 2 x ? 5 ≥3,解得 x ≥8, ∴ f ( x ) ≥3 的解集为{ x | x ≤1 或 x ≥8}; (Ⅱ) f ( x ) ≤ | x ? 4 | ? | x ? 4 | ? | x ? 2 |? | x ? a | , 当 x ∈[1,2]时, | x ? a |? | x ? 4 | ? | x ? 2 | = 4 ? x ? x ? 2 =2, ∴ ? 2 ? a ? x ? 2 ? a ,有条件得 ? 2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ? 3 ? a ? 0 , 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

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