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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 函数与方程学案 理


第十六课时 函数与方程 课前预习案
考纲要求 1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系; 2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数. 基础知识梳理 1.函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 2.函数零点与方程根的关系: 方程 y ? f ( x) 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 . 叫做函数 y ? f ( x) 的零点.

注意:函数的零点不是一个点,而是函数图象与 x 轴交点的 3.函数零点的判断:

如 果 函数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b? 上 的 图象 是 连续 不断 的 一条 曲线 , 并 且有

, 那 么 函数

y ? f ( x) 在区间

内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数的

4. 二分法:对于在区间 ? a, b? 上连续不断 , 且 所在的区间 方法叫做二分法. 5.用二分法求函数 y ? f ( x) 零点近似值的步骤: (1)确定区间 ? a, b? ,验证 (3)计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1 )

, 使区间的两个端点逐步逼近函数的零点,以求得零点的近似值,这种

,给定精确度 ? ; (2)求区间 ? a, b? 的中点 x1 ; 0,则 x1 就是函数的零点; ; ;

②若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 ,此时零点在区间 ③若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 ,此时零点在区间 (4)判断是否达到精确度 ? ,即若

,则得到零点近似值 a (或 b ) ,否则重复(2)—(4).

预习自测 1. 若函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的图象是连续不间断的曲线,且 f ( x ) 在 ? ?2, 2 ? 内有一个零点,则

f ? ?2? ? f ? 2? 的值(
A.大于 0

) B.小于 0 C.等于 0 D.不能确定
1

2.若函数 f ? x ? 惟一的零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0,4) , (0,2)内,那么下列命题 正确的是( ) B.函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 或 ?1, 2 ? 内有零点 D.函数 f ? x ? 在区间 ?1,16? 上无零点 )

A.函数 f ? x ? 在区间(0,1)内有零点 C.函数 f ? x ? 在区间[2,16]上无零点

3.下列所示函数图象与 x 轴均有交点, 但不宜用二分法求交点横坐标的是(

课堂探究案 典型例题 考点 1 确定函数零点个数 【典例 1】确定下列函数零点的个数 (1) f ( x) ? x2 ? 3x ?18 ; (2) f ( x) ? log2 ( x ? 2) ? x .

【变式 1】确定下列函数零点的个数.(1) f ( x) ? x ? (2) f ( x) ? ln x ?

1 ; x

2 . x
)

【变式 2】 (2012 年湖北理)函数 f ( x) ? x cos x2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为( A.4 B.5 C.6 D.7

考点 2 确定函数零点存在区间 【典例 2】函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是(
x

)

A. (?2, ?1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

【变式 3】 (2013 年重庆理)若 a ? b ? c ,则函数

f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b? ? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间(
A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内

)

B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内
2

考点 3

用二分法求方程的近似解
x

【典例 3】用二分法可得 2 ? x ? 4 在(1,2)内的近似解(精确到 0.1)为 参考数据:

. 1.625 3.08 1.75 3.36 1.875 3.67

x
2x

1.125 2.18

1.25 2.38

1.375 2.59

1.4375 2.70

1.45 2.73

1.5 2.83

当堂检测 1.(课本题再现)如果二次函数 y ? x2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. (??, ?2) ? (6, ??) B. (?2,6) C. [?2, 6] D. {?2, 6} 2.(2012 年天津理)函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是( 3.方程 x ? 2 x ? 3x ? 6 ? 0 在区间 ? ?2, 4? 上的根必定属于区间(
3 2



)

A.0

B.1

C.2

D.3 )

7 5 4 2 2 4.若函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点是 2,那么函数 g ( x) ? bx ? ax 的零点是( 1 1 1 A.0,2 B.0, C.0,- D.2,- 2 2 2
A.[-2,1] B. [ , 4] C. [1, ] D. [ , ] 课后拓展案 A 组全员必做题

5 2

7 4



1.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1,2)

2 的零点所在的大致区间是( x
B. (2,3)



C. (1, ) 和(3,4)

1 e

D. (e, ??)

2.已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值范围 是( )A.(0,1)
x 2

B.[0,1]

C. (??,1)

D. (??,1] .

3.关于 x 的方程 a ? 1 ? ? x ? 2x ? 2a(a ? 0, a ? 1) 的实数解的个数为

2 4 . 关 于 x 的 方 程 3x ? 6 x ? a ? 0 的 两 根 为 x1 , x2 , 已 知 x1 ? (?2, 0), x2 ? ( ,3) , 则 a 的 取 值 范 围

1 2



.
x

5. 若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ?1| (a ? 0, 且a ? 1) 的图象有两个交点,则 a 的取值范围是

.

B 组提高选做题
3

1.函数 f ( x) ? A.没有零点
2

x ? cos x 在 [0, ??) 内 (
B.有且仅有一个零点

) C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 )

2.方程 x ? ax ? 2 ? 0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围是( A. ? ?

? 23 ? , ?? ? ? 5 ?

B. ?1, ?? ?

C. ? ?

? 23 ? ,1 ? 5 ? ?

D. ? ??, ?

? ?

23 ? 5? ?

3. (2011 年山东理)已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时,

f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为(
A.6 B.7 C.8 D.9

)

参考答案 预习自测 1.D 2.C 3.B

典型例题 【典例 1】解(1) ? ? 9 ? 4 ? (?18) ? 9 ? 72 ? 81 ? 0 ,∴ f ( x ) 有两个零点. (2)令 f ( x) ? 0 ,则 log2 ( x ? 2) ? x . 令 g ( x) ? log2 ( x ? 2) , h( x) ? x ,分别作出两函数的图象(略) . 通过图象可以得出函数 f ( x ) 有两个零点. 【变式 1】 (1)解: f ( x) ? 0 ,即 x ? (2)解:令 g ( x) ? ln x , h ( x ) ?

1 ? 0 ,解得 x ? ?1 . f ( x) 有两个零点. x

2 ,分别作出两函数的图象(略) . x

通过图象可以得出函数 f ( x ) 有一个零点. 【变式 2】C 【典例 2】C 【变式 3】A 【典例 3】1.4 当堂检测 1.A 2.B
4

3.D 4.C A 组全员必做题 1.B 2.D 3.2 4. (?9, 0) 5. (0, ) B 组提高选做题 1.B 2.C 3.B

1 2

5


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