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学高中数学第一章三角函数.余弦函数的图像与性质练习北师大版讲义


§6

余弦函数的图像与性质
A组 )

1.下列关于函数 f(x)=的说法正确的是( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数

解析:定义域为{x|x≠0,x∈R},且 f(-x)==-=-f(x),故 f(x)是奇函数. 答案:A 3.函数 y=-3cos x+2 的值域为( A.[-1,5] C.[-1,1] 答案:A 5.不等式 2cos x>的解集为( A. B. C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析:不等式 2cos x>,即 cos x>,作出 y=cos x 在[-π,π]上的图像(图略),因为 cos=cos ,所以 当-<x<时,cos x>,故原不等式的解集为. 答案:D 6.函数 y=cos x 在区间[-π,a]上是增加的,则 a 的取值范围为 解析:∵y=cos x 在[-π,0]上是增加的,∴-π<a≤0. 答案:(-π,0] 7.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系是 而 y=cos x 在[0,π]上是减少的, 所以 cos 80°>cos 110°>cos 130°, 即 sin 10°>cos 110°>-cos 50°. 答案:sin 10°>cos 110°>-cos 50° 8.方程 2 =cos x 的实根的个数为
x x

)

B.[-5,1] D.[-3,1]

解析:∵-1≤cos x≤1,∴-1≤-3cos x+2≤5,即值域为[-1,5]. )

.

.

解析:由于 sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°,

.
x

解析:在同一坐标系中分别画出 y=2 与 y=cos x 的图像,可知两图像有无数个交点,即方程 2 =cos x 有无数个实数根. 答案:无数个 9. 导学号 03070041 画出函数 y=cos x(x∈R)的简图,并根据图像写出 y≥时 x 的集合.

1

解:用五点法作出 y=cos x 的简图,如图所示.

过点作 x 轴的平行线,从图像中看出: 在区间[-π,π]上,y=与余弦曲线交于点,故在区间[-π,π]内,y≥时,x 的集合为.当 x∈R 时, 若 y≥,则 x 的集合为. 10. 导学号 03070042 求函数 y=cos x+2cos x-2,x∈的值域. 解:令 t=cos x.∵x∈,∴-≤t≤1,
2

∴原函数可化为 y=t2+2t-2=(t+1)2-3. ∵-≤t≤1, ∴当 t=-时,ymin=-3=-;
当 t=1 时,ymax=1.∴原函数的值域是. B组 1.函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则φ的值是( A.0 答案:C 2.函数 y=-xcos x 的部分图像是下图中的( ) B. C. D.π 解析:当φ=时,y=sin=cos 2x,而 y=cos 2x 是偶函数. )

解析:因为函数 y=-xcos x 是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项 A,C;当 x∈时,y=-xcos x<0, 所以排除选项 B.故选 D. 答案:D 3.(2015 浙江嘉兴桐乡一中调研)已知函数 f(x)=cos x,x∈,若函数 f(x)=m 有三个从小到大不同的 实数根α,β,γ,且β =αγ,则实数 m 的值是( A.B. C.2

) D.

解析:方程 f(x)=m 有三个不同的实数根,则 m∈(-1,0),由题意知三个根分别为α,β,γ,且

α<β<γ,则<α<β<<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,又β2=αγ,∴β2=(2π-β)(4π-β),解得 β=,则 m=f=cos=-,故选 A.

2

答案:A 4.已知 cos x=有实根,则 m 的取值范围为 解析:∵-1≤cos x≤1,

.

∴-1≤≤1,且 2m+3≠0,
解得 m≥-或 m≤-4. 答案:(-∞,-4]∪ 5. 导学号 03070043 画出函数 y=cos x+|cos x|的图像,并根据图像讨论其性质. 解:y=cos x+|cos x|=利用五点法画出函数在上的图像,如图所示.

将图中的图像左右平移 2kπ(k∈Z)个单位长度,即得函数 y=cos x+|cos x|的图像(图略). 由图像可知函数具有以下性质: 定义域:R; 值域:[0,1]; 奇偶性:偶函数; 周期性:最小正周期为 2π; 单调性:在区间(k∈Z)上是减少的,在区间(k∈Z)上是增加的. 6. 导学号 03070044 已知函数 f(x)=lg(cos 2x). (1)求其定义域、值域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求 f(x)的最小正周期; (4)讨论 f(x)的单调性. 解:(1)要使函数 f(x)=lg(cos 2x)有意义, 只需 cos 2x>0, 于是有 2kπ-<2x<2kπ+(k∈Z), 解得 kπ-<x<kπ+(k∈Z). 故函数的定义域为.

∵0<cos 2x≤1, ∴lg(cos 2x)≤0, ∴函数的值域为(-∞,0].
(2)由(1)知 f(x)=lg(cos 2x)的定义域关于原点对称.又 f(-x)=lg{cos[2(-x)]}=lg(cos 2x)=f(x),

∴原函数是偶函数.
(3)∵cos 2x 的最小正周期为π,

∴cos 2(x+π)=cos(2π+2x)=cos 2x, ∴f(x+π)=lg[cos 2(x+π)]=lg(cos 2x)=f(x),

3

∴原函数是周期函数,它的最小正周期为π.
(4)令 y=f(x)=lg u,u=cos 2x.

u=cos 2x 在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的. ∴函数 y=lg(cos 2x)在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.

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