当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2018年上海市宝山区高考数学一模试卷


上海市宝山区 2017—2018 学年高三第一学期期末测试卷
数学 2017.12
考生注意: 1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条 形码. 2. 本试卷共有 23 道试题, 满分 150 分. 考试时间 20 分钟. 一. 填空题 (本大题满分 54 分) 本大题有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写 结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. 设集合 A = 2. lim
n?

3, 4, 12 }, B = {0 , 1, 2, 3}, {2 ,
= ________.

则 A I B = ________.

5n - 7n 5n + 7n

3. 函数 y = 2cos2(3px ) - 1 的最小正周期为________. 4. 不等式 5. 若 z =
x + 2 > 1 的解集为________. x + 1

- 2 + 3i (其中 i 为虚数单位), 则 Imz = ________. i

6. 若从五个数 - 1 , 0, 1, 2, 3 中任选一个数 m , 则使得函数 f (x ) = (m 2 - 1)x + 1 在 R 上单 调递增的概率为________. (结果用最简分数表示) 7. 在 (
3 x
2

+

x )n 的二项展开式中 , 所有项的二项式系数之和为 1024, 则常数项的值等于

________. 8. 半径为 4 的圆内接三角形 ABC 的面积是 则 abc 的值为________. 9. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点, 双曲线
x2 y2 = 1 的右焦点是 C 的焦点 F . 若斜率 25 144

1 , 角A 、 b、 c, B、 C 所对应的边依次为 a 、 16

为 - 1 , 且过 F 的直线与C 交于 A , B 两点, 则 A B = ________. 10. 直角坐标系 xOy 内有点 P (- 2,- 1) , Q (0,- 2) 将 D POQ 绕 x 轴旋转一周 , 则所得几何 体的体积为________. 11. 给 出 函 数 g(x ) = - x 2 + bx , h(x ) = - mx 2 + x - 4 , 这 里 b, m, x ?
R, 若 不 等 式

ì ? g(x ), x ? t g( x ) + b + 1 ? ( 0 x ? R )恒成立, h(x ) + 4 为奇函数, 且函数 f (x ) = ? , 恰有两 í ? h(x ), x > t ? ?
个零点, 则实数 t 的取值范围为________. 12. 若 n ( n ? 3 , n ? ? * ) 个 不 同 的 点 Q1(a1 ,b1 ) , Q2 (a2 ,b2 ) , L , Qn (an ,bn ) 满 足 :

a1 < a2 < L < an , 则 称 点 Q1,Q2 , L ,Qn 按 横 序 排 列 . 设 四 个 实 数 k , x1 , x2 , x3 使 得

2 2 成等差数列, 且两函数 y = x 2 , y = 2k (x 3 - x 1 ) , x3 , 2x 2

1 + 3 图象的所有交点 P1(x1 , y1) , x

P2(x2 , y2 ) , P3(x 3 , y3 ) 按横序排列, 则实数 k 的值为________.
二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在 答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分.

ì ? 3x 4y = 1 y 的二元一次方程组 ? 13. 关于 x , 的增广矩阵为( ) í ? x - 3y = 10 ? ? 骣 骣 骣 骣 3 4 - 1÷ 3 4 1 ÷ 3 4 1÷ 3 4 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ? ? ? ? A. ? B. ? C. ? D. ? ÷ ÷ ÷ ? ? ? ? ÷ 1 - 3 10 ÷ 1 - 3 - 10 ÷ 1 - 3 10 ÷ 1 3 10 ÷ ? ? ? ? 桫 桫 桫 桫
14. 设 P1 , P2 , P3 , P4 为空间中的四个不同点, 则“ P1 , P2 , P3 , P4 中有三点在同一条直线 上”是“ P1 , P2 , P3 , P4 在同一个平面上”的( A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 若函数 y = f (x - 2) 的图象与函数 y = log3 x + 2 的图象关于直线 y = x 对称 , 则
f (x ) = (




2

A. 32x -

B. 32x - 1

C. 32x

D. 32x + 1

16. 称 项 数 相 同 的 两 个 有 穷 数 列 对 应 项 乘 积 之 和 为 这 两 个 数 列 的 内 积 . 设 : 数 列 甲 : ; 数列乙: y1 , 2, L , 5) x1 , x2 , L , x 5 为递增数列, 且 xi ? N *( i = 1 , y2 , y3 , y4 , y5 满足

yi ? { 1,1} ( i = 1 , 2, L , 5 ).
则在甲、乙的所有内积中( ) A. 当且仅当 x1 = 1 , x2 = 3 , x3 = 5 , x4 = 7 , x 5 = 9 时, 存在 16 个不同的整数 , 它们 同为奇数; B. 当且仅当 x1 = 2 , x2 = 4 , x3 = 6 , x4 = 8 , x 5 = 10 时 , 存在 16 个不同的整数 , 它 们同为偶数; C. 不存在 16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数; D. 存在 16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数. 三. 解答题(本大题满分 76 分)本大题共 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤 17. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 如图, 在长方体 ABCD - A1B1C 1D1 中, 已知 AB = BC = 4 , DD1 = 8 , M 为棱C 1D1 的中点. (1)求四棱锥 M - ABCD 的体积; (2)求直线 BM 与平面 BCC 1B1 所成角的正切值.

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分 已知函数 f (x ) = 1 - 2 sin 2
x . 2

轾 p 3p (1)求 f (x ) 在 犏 , 上的单调递减区间; 犏 2 2 臌

2 - 1 - 1 1 (2)设 DABC 的内角 A , a - b 且 f (C ) = , B, C 所对应的边依次为 a , b, c, 若 c 2 - 1 1 1
求 DABC 面积的最大值, 并指出此时 DABC 为何种类型的三角形.

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 设数列 {an }, {bn } 及函数 f (x ) ( x ? R ), bn = f (an ) ( n ? N * ). (1)若等比数列 {an } 满足 a1 = 1 , a2 = 3 , f (x ) = 2x , 求数列 {bnbn + 1 }的前 n ( n ? N * ) 项和; (2) 已知等差数列 {an } 满足 a1 = 2 , q 均为常数, q > 0 , 且 a2 = 4 , f (x ) = l (qx + 1)( l 、
q ? 1 ), cn = 3 + n + (b1 + b2 + L + bn ) ( n ? N * ). 试求实数对 (l , q) , 使得 {cn } 成等

比数列.

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满

分 6 分. 设椭圆C :
x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a > b > 0 )过点 (- 2 , 0) , 且直线 x - 5y + 1 = 0 过 C 的左焦点.

(1)求C 的方程; (2)设 (x , 3y ) 为 C 上的任一点, 记动点 (x , y ) 的轨迹为 G , G 与 x 轴的负半轴, y 轴的正 半轴分别交于点 G , H , C 的短轴端点关于直线 y = x 的对称点分别为 F1 , F2 . 当点 P 在直 uuu r uuur 线 GH 上运动时, 求 PF1 ×PF2 的最小值; (3)如图, 直线 l 经过 C 的右焦点 F , 并交 C 于 A , B 两点, 且 A , B 在直线 x = 4 上的射 影依次为 D , E . 当 l 绕 F 转动时, 直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标; 否则, 请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满 分 8 分.

ì 锍 z , Re z 0 设 z ? C , 且 f (z ) = ? . í ? - z , Re z < 0 ? ?
(1)已知 2f (z ) + f (z ) - 4z = - 2 + 9i ( z ? C ), 求 z 的值; ( 2 )设 z ( z ? C )与 Re z 均不为零 , 且 z 2n ?
1 ( n ? N * ) . 若存在 k0 ? N * , 使得

( f (z ) )

k0

+

1

( f (z ) )

k0

? 2 , 求证: f (z ) +

1 ? 2; f (z )

2 ( 3 )若 z1 = u ( u ? C ) , z n + 1 = f (z n + z n + 1) ( n ? N * ) . 是否存在 u , 使得数列

z1 , z2 , L 满足 zn + m = z n ( m 为常数, 且 m ? N * )对一切正整数 n 均成立?若存在, 试求
出所有的 u ; 若不存在, 请说明理由.

2018 年宝山区高三一模数学参考答案

1

2

3
1 3

4

5 2

6
2 5

3} {2 ,
7 405 13 C 第一部分、填选 第二部分、简答题

-1
8 1 14 A

(- 1 , + ? )
10

9 104 15 C

4p
16 D

11 12 [- 2 , 0) U [4 , + ? ) 1

17. 解: (1) 因为长方体 ABCD - A1B1C 1D1 , 所以点 M 到平面 ABCD 的距离就是 DD1 = 8 , 故四棱锥

M - ABCD 的体积为V M - ABCD =

1 128 鬃 S DD1 = . 3 A BCD 3

(2) (如图)联结 BC 1 , BM , 因为长方体 ABCD - A1B1C 1D1 , 且 M ? C 1D1 , 所以 MC 1 ^ 平面 BCC 1B1 , 故直线 BM 与平面 BCC 1B1 所成角就是 ?MBC 1 , 在 Rt D MBC 1 中, 由已知可得 MC 1 = 因此 , tan ? MBC 1
5 . 10

1 C D = 2 , BC 1 = 2 1 1

BB12 + B1C 12 = 4 5 ,

MC 1 BC 1

=

2 4 5

=

5 , 即直线 BM 与平面 BCC 1B1 所成角的正切值为 10

轾 轾 p p 3p p . 18. 解: (1)由题意可得 f (x ) = cosx , 故 f (x ) 在 犏 , 上的单调递减区间为 犏 , 犏 犏 2 2 2 臌 臌

( 2 )由已知可得 a + b = 4 , Q f (C ) =

1 1 p , \ cosC = , 又 C ? (0 , . 故 p) , \ C = 2 2 3

S D A BC =

1 absinC = 2

3 3 a+ b2 ab W ( ) = 4 4 2

3 , 当 a = b = 2 时取等号, 即 DABC 面积

的最大值为 3 , 此时 DABC 是边长为 2 的正三角形.

19. 解 : ( 1 ) 由 已 知 可 得 an = 3n - 1 ( n ? N * ) , 故 bn = 2 ? 3n - 1 ( n ? N * ) , 所 以

bnbn + 1 = 4 ? 32n - 1 ( n ? N * ), 从而 {bnbn + 1 }是以 12 为首项, 9 为公比的等比数列, 故数列

{bnbn + 1 }的前 n 项和为

3 n (9 - 1) ( n ? N * ). 2

( 2 ) 依 题 意 得 an = 2n ( n ? N * ) , 所 以 bn = l (q2n + 1 )( n ? N * ) , 故

cn = 3 +

l q2 1 - q2

+ (l + 1)n -

l q2 1 - q2

q2n

ì ì ? l q2 ? l - 1 ? ? 3 + = 0 ? 3 ? ? 2 < 0 舍 去) , 因此 , 存在 ( n ? N ), 令 í , 解得 í 1- q 3 (q = ? ? 2 q= ? ? l + 1 = 0 ? ? ? ? 2 ? ?
*

(l , q ) = (- 1,

3 3 ) , 使得数列 {cn } 成等比数列, 且 cn = 3 ?( )n ( n ? N * ). 4 2

20. 解: (1)依题意可得 a = 2 , 半焦距 c = 1 , 从而 b2 = a 2 - c 2 = 3 , 因此, 椭圆 C 的方 程为
x2 y2 + = 1. 4 3 ( 3y )2 x2 x2 + = 1 , 故轨迹 G : + y 2 = 1 . 不妨设 4 3 4 uuu r uuur 3, 0), F2 ( 3 , 0) , P (x , y ) , 则 PF1 = (- 3 - x ,- y ) , PF2 = ( 3 - x ,- y ) . 易

( 2 )因为点 (x , 3y ) 在 C 上 , 所以
F1 (-

得直线GH : x - 2y + 2 = 0 , 故 uuu r uuur 4 11 2 4 4 , 所以当 y = , 即点 P 的坐标为 (- , ) 时 , PF1 ?PF2 x 2 + y 2 - 3 = 5(y - )2 5 5 5 5 5 uuu r uuur 11 . (或这样: 因为点 P 在直线 GH 上运动, 所以当 OP ^ GH 时, PF1 ×PF2 取得最小值 5
x 2 + y 2 取得最小值, 故 x 2 + y 2 也取得

最小值 , 此时 ( x + y
2

2

)min

轾 0 - 2 ?0 = 犏 犏 5 犏 臌

2

2

=

4 2 4 , 易得对应点为垂足 P (- , ) , 从而 , 5 5 5

uuu r uuur PF1 ×PF2 的最小值为

( PF

uuu r uuur 1 ? PF2

)

min

4 11 - 3= . ) 5 5

(3)易得 F (1 , 0) , 设 l : x = my + 1 ( m ? R ), A (x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) , 则 D(4 , y1) ,

E (4 , y2 ) ,
ì ? x2 y2 ? + = 1 ? 由í 4 得 (3m 2 + 4)y 2 + 6my - 9 = 0 , 显然 D = 144(m 2 + 1) > 0 , 且 3 ? ? x = my + 1 ? ? ?
y1 + y 2 = 6m 3m + 4
2

, y1y 2 = -

9 3m + 4
2

. 将 x1 = my1 + 1 代入直线 AE 的方程:

(x1 - 4)(y - y2 ) = (y1 - y2 )(x - 4) , 并化简可得
6m , my1y2 + (y1 + y2 ) + 轾 2y1 - (y1 + y2 ) x - 5y1 + (3 - my1)y = 0 , 将 y1 + y 2 = 臌 3m 2 + 4 9 3m + 4 9 3m + 4
2 2

y1y 2 = -

代入可得 m ?(

)-

6m 3m + 4
2

+ (2y1 +

6m 3m 2 + 4

)x - 5y1 + (3 - my1) y = 0 , 即直线

(3m 2 + 4)y 1 + 3m (x - )+ (3m 2 + 4)(3 - my 1 )y = 0 , 因为 m , y1 任意, 所 AE 的方程为 2 轾 犏 臌 2

5

5 5 0) . 同理可得直线 BD 也过定点 ( , 0) . 以直线 AE 过定点 ( , 2 2 5 0) . 综上, 当 l 绕 F 转动时, 直线 AE 与 BD 相交于定点 ( , 2

21. 解: (1)设 z = a + bi ( a , b ? R ), 则 R ez = a . 若 a ? 0 , 则 f (z ) = z , 由 已 知 条 件 可 得 - a - 3bi = - 2 + 9i , Q a , b? R ,

ì ì ? a= - 2 ?a 2 , 解得 ? , \ z = 2 - 3i . \ ? í í ? ? - 3b = 9 b= - 3 ? ? ? ?
若 a < 0 , 则 f (z ) = - z , 由 已 知 条 件 可 得 - 7a - 5bi = - 2 + 9i , Q a , b? R ,
ì ì 2 2 ? ? ? ? a = a = ì ? ? ? 7 a = 2 ? ? ? 7 7 , 解得 í , 但a < 0 , 故 í 舍去. \ í ? ? ? - 5b = 9 9 9 ? ? ? ? b= b= ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5

综上, 得 z = 2 - 3i . (2)证明如下: 令 t n =

( f (z ) )

n

+

1

( f (z ) )

n

, 则 tn = z n +

1 zn

( n ? N * ).

假设 f (z ) + 于

1 > 2 , 即 t1 > 2 , 因 z 2n ? f (z )

1( n ? N * ), 故 t n > 0( n ? N * ),



2t n + 1
1 z
n

< t1 ?t n + 1
1 z
n+2

= z+

1 ? zn + 1 z

1 zn + 1

骣n 1 鼢 骣n + 2 1 = 珑 z + + z + 鼢 珑 n 鼢 桫 n+2 珑 桫 z z

? zn

+ zn + 2 +

= tn + tn + 2 , 即 2tn + 1 < tn + tn + 2

( n ? N * ) , 亦即 tn + 1 - tn < tn+ 2 - tn+ 1 , 故数列 {tn + 1 - tn } 单调递增 . 又 t 1 > 2 , 故
t2 = z 2 + 1 z2
2 骣 1÷ = ? z + - 2 ÷ ? ? 桫 z÷

? z

1 2 - 2 > t1 , - 2 = t1 z

2

即 t 2 > t1 ,

于 是 ,

tn + 1 - tn > tn - tn - 1 > L > t 2 - t 1 > 0 . 所以 , 对任意的 n ? N * , 均有 t n ? t1
设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即 f (z ) +
1 ? 2 成立. f (z )

2 , 与题

(3) 设存在 u ? C 满足题设要求, 令 an = Rezn , . 易得对一切 n ? N * , bn = Imzn( n ? N * )
2 2 ì ? an + 1 = an + an + 1 - bn 均有 an ? 0 , 且 ? (※). í ? bn + 1 = (2an + 1)bn ? ?

(i)若 u ? (ⅱ) 若u ?

{ {

i, i } , 则 {zn }显然为常数数列, 故 u = ? i 满足题设要求.

bn ) ? i, i }, 则用数学归纳法可证: 对任意 n ? N * , (an ,

- 1) , (0 , 1) } . {(0 ,

证明: 当 n = 1 时, 由 u ?

{

i, i }, 可知 (a1 , b1 ) ? (0 , 1) }. {(0 , 1) ,

(0 , 1) } . {(0 , 1) ,

假设当 n = k 时, (ak , bk ) ? 那么, 当 n = k + 1 时, 若 (ak + 1 , bk + 1) ?

- 1) , (0 , 1) } , {(0 ,

则 ak + 1 = 0 ,

2 2 bk + 1 = 1 . 故 ak + ak + 1 - bk = 0,

(2ak + 1)bk = 1 . (※※)

如果 ak = 0 , 那么由 (ak , bk ) ?

- 1) , (0 , 1) } 可知 bk {(0 ,

? 1 , 这与(※※)矛盾.

2 2 如果 ak > 0 , 那么由 (※※) 得 bk = ak + ak + 1 > 1 , 即 bk > 1 , 故 2ak + 1 ? bk

1,

与(※※)矛盾. 因此, (ak + 1 , bk + 1) ?

- 1) , (0 , 1) } . {(0 , - 1) , (0 , 1) } . {(0 ,

综上可得, 对任意 n ? N * , (an , bn ) ?
2 2 记 xn = 2an ( n ? N * ), 注意到 + bn

2 2 2 2 2 2 2 轾 xn + 1 - xn = (2an (a 2 + an )2 + an + 2an + (1 - bn ) ? 0 , 即 + 1 + bn + 1 ) - (2an + bn ) = 2 犏 臌n

ì ? an = 0 , 亦即 (an , xn + 1 - xn ? 0 , 当且仅当 ? bn ) ? {(0 , 1) , (0 , 1) } 时等号成立 . 于是 , í 2 ? b = 1 ? ? n

有 xn < xn + 1 ( n ? N * ), 进而对任意 m , n ? N * , 均有 x n + m > xn , 所以 zn + m ? z n . 从 而, 此时的 u ?

{

i, i } 不满足要求.

综上, 存在 u = ? i , 使得数列 z1 , z2 , L 满足 zn + m = z n ( m 为常数, 且 m ? N * )对一切

n ? N * 成立.


相关文章:
2018届宝山区高三一模数学Word版(附解析)
2018宝山区高三一模数学Word版(附解析) - 上海市宝山区 2018高三一模数学试卷 2017.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5...
上海市宝山区2016届高考数学一模试卷(解析版)
若存在,求出 k 的范围;若不存在, 说明理由. 第 5 页(共 23 页) 2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一.填空题(本大题满分 56 分)...
2018年宝山区高考数学一模试卷含答案
2018年宝山区高考数学一模试卷含答案 - 2018 年宝山区高考数学一模试卷含答案 2017.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共...
上海市宝山区2018-2019学年高考数学一模试卷 Word...
2018-2019 学年上海市宝山区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)温馨提示:多少汗水曾洒 下,多少...
上海市宝山区2018届高考数学一模试卷 含解析
上海市宝山区2018届高考数学一模试卷 含解析 - 2018 年上海市宝山区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 ...
2018宝山区高考数学一模试卷
2018宝山区高考数学一模试卷_高考_高中教育_教育专区。牛人数学工作室助力高考数学冲刺满分 上海市宝山区 2018高三一模数学试卷 2017.12 一. 填空题(本大题共 ...
上海市宝山区2017-2018学年高三一模数学试卷 Word...
上海市宝山区2017-2018年高三一模数学试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。上海市宝山区 2017-2018年高三一模数学试卷 一. 填空题(本大题共 12 题...
上海市宝山区2018届高三数学一模数学试卷(含答案)
上海市宝山区2018高三数学一模数学试卷(含答案) - 1 上海市宝山区 2018高三一模数学试卷 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 ...
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷_图文
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷 - 上海市宝山区 2017 届高三一模数学试卷 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分...
2017年宝山区高考数学一模试卷含答案
2017年宝山区高考数学一模试卷含答案 - 2017 年宝山区高考数学一模试卷含答案 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共...
更多相关标签: