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湖南省长沙一中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)(解析版).doc


2015-2016 学年湖南省长沙一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 f:x→log2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射,若 A={1,2,4},则 A∩B 等于( A.{1} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据 f:x→log2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射,由 A 中的元素确定出 B 中的 元素,确定出 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵f:x→log2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射,且 A={1,2,4}, ∴B={0,1,2}, 则 A∩B={1,2}. 故选 C B.{2} C.{1,2} D.{1,4} )

2.复数 z 满足 z?i=3﹣i,则在复平面内,其共轭复数 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限



D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出. 【解答】解:复数 z 满足 z?i=3﹣i,∴﹣i?z?i=﹣i?(3﹣i) ,∴z=﹣3i﹣1. 则在复平面内,其共轭复数 =﹣1+3i 对应的点(﹣1,3)位于第二象限. 故选:B.

3.命题“设

是向量,若

,则

”的逆命题、逆否命题分别是(



A.真命题、真命题 C.真命题、假命题

B.假命题、真命题 D.假命题、假命题

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 判断原命题的真假, 可判断其逆否命题的真假, 写出逆命题, 根据向量相反的定义, 也可判断真假.

【解答】解:命题“设 命题; 命题“设 是向量,若 ,则 故选:B.

是向量,若

,则

”是真命题,故逆否命题是真

,则

”的逆命题为:“设

是向量,若

”为假命题,

4.设函数 f(x)的定义域为 R,则“? x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函数 f(x)为增函数” 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若函数 f(x)为增函数,则 f(x+1)>f(x)成立,必要性成立. 若? x∈R,f(x+1)>f(x)”,则函数 f(x)不一定为增函数, 例如分段函数:f(x)=x,x∈[0,1) ,f(x+1)=f(x)+ ,满足 f(x+1)>f(x) ,而 f (x)不是增函数.充分性不成立. 即“? x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函数 f(x)为增函数”的必要不充分条件, 故选:B

5. A.1 【考点】定积分.

的值是(

) C .2 D.﹣2

B.﹣1

【分析】找出被积函数的原函数,代入积分上限和下限计算即可. 【解答】解: 故选 A. =(﹣ cos2x)| =1;

6.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C、D 是半圆弧的两个三等分点,

= ,

= ,



=(



A. ﹣

B.



C.

+

D.

+

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可. 【解答】解:如图:连结 CD,OD,∵已知 AB 是圆 O 的直径,点 C、D 是半圆弧的两个 三等分点, ∴AODC 是平行四边形, ∴ = .

故选:D.

7.已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断,由下表知方程 f(x)=g(x)有实数解 的区间是( x f(x) g(x) ﹣1 ﹣0.677 ﹣0.530 ) 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 B. (0,1) 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892 C. (1,2) D. (2,3)

A. (﹣1,0)

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】构造函数 F(x)=f(x)﹣g(x) ,则由题意,F(0)=3.011﹣3.451<0,F(1)=5.432 ﹣5.241>0,即可得出结论. 【解答】解:构造函数 F(x)=f(x)﹣g(x) ,则由题意,F(0)=3.011﹣3.451<0,F(1) =5.432﹣5.241>0, ∴函数 F(x)=f(x)﹣g(x)有零点的区间是(0,1) ,

∴方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1) , 故选:B.

8.如图所示的函数 两点之间的距离为 5,那么 f(﹣1)=( )

的部分图象,其中 A、B

A.﹣1

B.2

C.﹣2

D.2

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据题意,求出函数的半周期,计算 ω 的值,再求出 φ 的值,写出 f(x)的解析 式,计算出 f(﹣1)的值. 【解答】解:根据题意,A,B 两点之间的距离为 5,A,B 两点的纵坐标的差为 4, 所以函数的半周期为 T= 则 ω= = , x+φ) ; =3,解得 T=6;

函数解析式为 f(x)=2sin(

由 f(0)=1,得 2sinφ=1,∴sinφ= ; 又 ≤φ≤π,∴φ= x+ + ; ) . )=2sin =2.

则 f(x)=2sin(

∴f(﹣1)=2sin(﹣ 故选:D.

9.在锐角△ABC 中,已知 BC=1,B=2A,则 AC 的取值范围是(



A. 【考点】正弦定理.

B.

C.

D.

【分析】 根据正弦定理和 B=2A 及二倍角的正弦公式化简得到 AC=2cosA, 要求 AC 的范围, 只需找出 2cosA 的范围即可,根据锐角△ABC 和 B=2A 求出 A 的范围,然后根据余弦函数 的增减性得到 cosA 的范围即可. 【解答】解:∵△ABC 是锐角三角形,C 为锐角, ∴A+B≥ 解得: ∴ ,由 B=2A 得到 A+2A> <A< , , ,B=2A, ,即 AC=2cosA, . ) . ,且 2A=B< ,

<2cosA<

根据正弦定理 得到 则 AC 的取值范围为( 故选:C.

10. y=x+2 的距离的最小值为 已知点 P 是曲线 y=lnx 上的一个动点, 则点 P 到直线 l: ( A. B.2 C. D.2



【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程; 点到直线的距离公式; 两条平行直线间的距离. 【分析】当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时,点 P 到直线 y=x+2 的距离最小,求 出曲线对应的函数的导数,令导数值等于 1,可得切点的坐标,此切点到直线 y=x+2 的距离 即为所求. 【解答】解:当过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时,点 P 到直线 y=x+2 的距离最小. 由题意可得,y′= ,令 =1, ∴x=1, ∴曲线 y=lnx 上和直线 y=x+2 平行的切线经过的切点坐标(1,0) , 点(1,0)到直线 y=x+2 的距离 d= = ,

∴点 P 到直线 y=x+2 的最小距离为



故选:C.

11.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过 程中废气中的污染物数量 P(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位:小时)之间的函数关系 P=P0e﹣kt, P0 均为正的常数) 为: (k, . 若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%. 那 么,至少还需( A. 小时 )时间过滤才可以排放. B. 小时 C.5 小时 D.10 小时

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 【分析】先利用函数关系式,结合前 5 个小时消除了 90%的污染物,求出常数 k 的值,然 后根据指数非常,即可求出结论. 【解答】解:由题意,前 5 个小时消除了 90%的污染物,
kt ∵P=P0e﹣ ,
﹣5k ∴(1﹣90%)P0=P0e , ﹣5k ∴0.1=e ,

即﹣5k=ln0.1 ∴k=﹣ ln0.1; 则由 10%P0=P0e 即 0.1=e
﹣kt ﹣kt





∴﹣kt=ln0.1, 即( ln0.1)t=ln0.1, ∴t=5. 故选:C

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x﹣1)为偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x) = =f , 若函数 g (x) ( x) ﹣x﹣b 有三个零点, 则实数 b 的取值集合是 (以下 k∈Z) ( )

A. (2k﹣ ,2k+ )

B. (2k+ ,2k+ ) C. (4k﹣ ,4k+ )D. (4k+ ,4k+ )

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【分析】由题意,画出函数 f(x)的图象,利用数形结合的方法找出 f(x)与函数 y=x+b 有三个零点时 b 的求值. 【解答】解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(x﹣1)为偶函数, 当 x∈[0,1]时,f(x)= , ,

故当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣ 所以函数 f(x)的图象如图. g(x)=f(x)﹣x﹣b 有三个零点,

即函数 f(x)与函数 y=x+b 有三个交点, 当直线 y=x+b 与函数 f(x)图象在(0,1)上相切时, 即 =x+b 有 2 个相等的实数根,

2 即 x +bx﹣1=0 有 2 个相等的实数根.

由△=0 求得 b= , 数形结合可得 g(x)=f(x)﹣x﹣b 有三个零点时,实数 b 满足﹣ <b< , 故此式要求的 b 的集合为(﹣ , ) . 再根据函数 f(x)的周期为 4,可得要求的 b 的集合为(4k﹣ ,4k+ ) , 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..

13.已知平面向量

满足

,那么

=



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知求得 【解答】解:∵ 又 则 故答案为: . . ,∴ ,再由 ,∴ , , 可得 .

14.执行如图所示的程序框图,则输出的 z 的值是 32 .

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y,z 的值,当 z=32 时,不满足 条件 z<20,退出循环,输出 z 的值为 32. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 x=1,y=2,z=2 满足条件 z<20,x=2,y=2,z=4 满足条件 z<20,x=2,y=4,z=8 满足条件 z<20,x=4,y=8,z=32 不满足条件 z<20,退出循环,输出 z 的值为 32. 故答案为:32.

15.设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)+f(﹣4)=1,则 a= 2 . 【考点】抽象函数及其应用;函数的图象与图象变化;函数的图象.

【分析】设(x,y)是函数 y=f(x)的图象上任一点,则它关于 y=﹣x 的对称点(﹣y,﹣
x+a x) ,在 y=2 的图象上,进而可得函数 y=f(x)的解析式,结合 f(﹣2)+f(﹣4)=1,可

得 a 值. 【解答】解:设(x,y)是函数 y=f(x)的图象上任一点, 则它关于 y=﹣x 的对称点为(﹣y,﹣x) ,
x+a 即(﹣y,﹣x)在 y=2 的图象上,

∴﹣x=2﹣ , 即 y=﹣log2(﹣x)+a, ∴f(﹣2)+f(﹣4)=﹣3+2a=1, 解得:a=2, 故答案为:2.

y+a

16.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)= (|x+ tanα|+|x+tanα|+ tanα) (α 为常数,且﹣ 取值范围是 ﹣ <α< ≤α< ) ,若? x∈R,都有 f(x﹣3)≤f(x)恒成立,则实数 α 的 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令 t= tanα,讨论 t,把 x≥0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数 的奇偶性可得 x<0 时的函数的最大值,由对 x∈R, 都有 f(x﹣3) ≤f(x) ,可得﹣2t﹣ (4t) ≤3,求解该不等式得答案. 【解答】解:令 t= tanα,则当 x>0 时,f(x)= (|x+t|+|x+2t|+3t) , 若 t≥0,则当 x>0 时,f(x)=x+3t, 当 x<0 时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x+3t)=x﹣3t, 由 f(x﹣3)≤f(x)恒成立,可得 y=f(x)的图象恒在 y=f(x﹣3)的图象上方, 则 tanα≥0;

当 t<0 时,当 x≥0 时,f(x)=



由 f(x)=x+3t,x≥﹣2t,得 f(x)≥t;

当﹣t<x<﹣2t 时,f(x)=t;由 f(x)=﹣x,0≤x≤﹣t,得 f(x)≥t. ∴当 x>0 时,f(x)min=t. ∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)max=﹣t. ∵对 x∈R,都有 f(x﹣3)≤f(x) , ∴﹣3t﹣3t≤3,解得﹣ ≤t<0, 即有﹣ ≤ tanα<0, 综上可得 tanα≥﹣1, 解得﹣ +kπ≤α<kπ+ ≤α< ,k∈Z. .

故答案为:﹣

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= sinB+sinA=2 . ,b=3,

(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)锐角△ABC 中,由条件利用正弦定理求得 sinB+sinA=2 ,求得 sinA 的值,可得角 A 的值. sinB=3sinA,再根据

(Ⅱ) 锐角△ABC 中, 由条件利用余弦定理求得 c 的值, 再根据△ABC 的面积为 bc?sinA, 计算求得结果. 【解答】 解: (Ⅰ) 锐角△ABC 中, 由条件利用正弦定理可得 再根据 sinB+sinA=2 ,求得 sinA= ,∴角 A= . , 解得 c=1 或 c=2. = , ∴ sinB=3sinA,

2 2 (Ⅱ) 锐角△ABC 中, 由条件利用余弦定理可得 a =7=c +9﹣6c?cos

当 c=1 时,cosB= 矛盾,故不满足条件.

=﹣

<0,故 B 为钝角,这与已知△ABC 为锐角三角形相

当 c=2 时,△ABC 的面积为 bc?sinA= ?3?2?

=



18.已知函数 f(x)=4sinx?sin2(

+ )+cos2x , ]上是增函数,求 w 的

(1)设 w>0,且 w 为常数,若函数 y=f(wx)在区间[﹣ 取值范围; (2)设集合 A={x| 范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. ≤x≤

},B={x||f(x)﹣m|<2},若 A∪B=B,求实数 m 的取值

【分析】 (1)利用倍角公式、诱导公式即可得出 f(x)=2sinx+1.再利用三角函数的单调性 即可得出. (2)|f(x)﹣m|<2,可得:f(x)﹣2<m<f(x)+2.由 A∪B=B,可得 A? B,即当 ≤x≤ 时,f(x)﹣2<m<f(x)+2 恒成立,可得[f(x)﹣2]max<m<[f(x)+2]min.

【解答】解: (1)函数 +cos2x=2sinx(1+sinx)+cos2x=2sinx+1. ∵函数 y=f(wx)=2sin2ωx+1 在区间 ∴ ? ,解得 ω∈

=4sinx

上是增函数, . ≤x

(2)|f(x)﹣m|<2,可得:f(x)﹣2<m<f(x)+2.∵A∪B=B,∴A? B,即当 ≤ ∵ 故 m∈(1,4) . 时,f(x)﹣2<m<f(x)+2 恒成立,∴[f(x)﹣2]max<m<[f(x)+2]min. =2,f(x)max= =3.

19.已知函数 f(x)=(x﹣a)sinx+cosx,x∈(0,π) . (Ⅰ)当 a= (Ⅱ)当 a> 时,求函数 f(x)值域; 时,求函数 f(x)的单调区间.

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的值域;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (Ⅰ)当 a= 时,表示出 f(x) ,求得 f′(x) ,由导数符号可判断函数的单调性,

由单调性可知函数的最值,从而可得值域; (Ⅱ)分 间; 【解答】解: (Ⅰ)当 a= f′(x)=(x﹣ 时,f(x)=(x﹣ )sinx+cosx,x∈(0,π) . , ,a≥π 两种情况进行讨论,在定义域内解不等式可求得函数的单调区

)cosx,由 f′(x)=0 得 x=

f(x) ,f′(x)的情况如下: x x﹣ cosx f′(x) f(x) (0, ﹣ + ﹣ ↓ ) 0 0 0 ( ,π) + ﹣ ﹣ ↓

因为 f(0)=1,f(π)=﹣1, 所以函数 f(x)的值域为(﹣1,1) . (Ⅱ)f′(x)=(x﹣a)cosx, ①当 x 时,f(x) ,f′(x)的情况如下 (0, ) x﹣a cosx f′(x) f(x) ﹣ + ﹣ ↓ 0 0 ( a) ﹣ ﹣ + ↑ 0 0 + ﹣ ﹣ ↓ ,a) ,单调减区间为(0, )和(a,π) . , a (a,π)

所以函数 f(x)的单调增区间为(

②当 a≥π 时,f(x) ,f′(x)的情况如下 x (0, ) ( ,π)

x﹣a cosx f′(x) f(x)

﹣ + ﹣ ↓ 0 0

﹣ ﹣ + ↑ ,π) ,单调减区间为(0, ) .

所以函数 f(x)的单调增区间为(

20.已知曲线 C1 上任意一点 M 到直线 l:x=4 的距离是它到点 F(1,0)距离的 2 倍;曲线 C2 是以原点为顶点,F 为焦点的抛物线. (Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ)过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,其中 l1 与 C1 相交于点 A,B,l2 与 C2 相交于点 C, D,求四边形 ACBD 面积的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (Ⅰ)设 M(x,y) ,由已知条件推导出 2 ,由此能求出

C1 的方程;由曲线 C2 是以原点为顶点,F(1,0)为焦点的抛物线,能求出 C2 的方程.
2 2 (Ⅱ)由题意设 l2 的方程为 x=ky+1,代入 y =4x,得 y ﹣4ky﹣4=0,设 C(x1,y1) ,D(x2, 2 y2) ,从而求出|CD|=4(k +1) .由 l1⊥l2,设 l1 的方程为 y=﹣k(x﹣1) ,由此求出

|AB|=

.由此能求出四边形 ABCD 面积的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)设 M(x,y) , ∵曲线 C1 上任意一点 M 到直线 l:x=4 的距离是它到点 F(1,0)距离的 2 倍, ∴2 ,

化简得:



∴C1 的方程为



∵曲线 C2 是以原点为顶点,F(1,0)为焦点的抛物线,
2 ∴C2 的方程为 y =4x. 2 2 (Ⅱ)由题意设 l2 的方程为 x=ky+1,代入 y =4x,得 y ﹣4ky﹣4=0,

设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 y1+y2=4k,

∴|CD|=|CF|+|DF|=x1=1+x2+1 =k(y1+y2)+4=4(k2+1) . ∵l1⊥l2,∴设 l1 的方程为 y=﹣k(x﹣1) , 代入
2 2 2 2 得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,

设 A(x3,y3) ,B(x4,y4) ,则 x3+x4=



∴|AB|=|AF|+|BF|= ∴四边形 ACBD 的面积为: S= |AB|?|CD|= ≥1,s=4t﹣1≥3) . 设 f(s)=s+ (s≥3) , = =

=4﹣ (x3+x4)=

.10 分

=

2 , (其中 t=k +1

则 ∴f(s)在[3,+∞)单调递增,



∴S= (s+ +2)≥ (3+ +2)=8, 当且仅当 s=3,即 k=0 时等号成立. ∴四边形 ABCD 面积的取值范围为[8,+∞) . .

21.已知 a∈R,函数 f(x)= x3﹣x2+ax﹣a+1. (1)若 f(x)是区间[0,2]上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)在(1)条件下,记 M(a)是|f(x)|在区间[0,2]上的最大值,求证:M(a)≥ 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)由求导公式和法则求出 f′(x) ,由导数与函数单调性的关系可得:f′(x)≥0 在[0,2]恒成立或 f′(x)≤0 在[0,2]恒成立,由二次函数的性质列出不等式,求出实数 a 的取值范围; .

(2)由(1)对 a 分类讨论,分别判断出 f(x)的单调性、求出最大值或最小值,再根据 a 的范围求出|f(x)|的最大值,并证明结论成立.
2 2 【解答】解: (1)由题意得,f′(x)=x ﹣2x+a=(x﹣1) +a﹣1,

∵f(x)是区间[0,2]上的单调函数, ∴f′(x)≥0 在[0,2]恒成立或 f′(x)≤0 在[0,2]恒成立, ∴f′(1)=a﹣1≥0 或 f′(0)=f′(2)=a≤0, 解得 a≥1 或 a≤0, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]∪[1,+∞) ; 证明: (2)由(1)得:①当 a≥1 时,f′(x)≥0, ∴f(x)在[0,2]单调递增, ∴f(x)最小值=f(0)=﹣a+1≤0,f(x)最大值=f(2)=a﹣ , 又|f(0)|=a﹣1<a﹣ , ∴当 a≥1 时:M(a)=a﹣ ≥ > ②当 a≤0 时,f′(x)≤0, ∴f(x)在[0,2]单调递减, ∴f(x)最小值=f(2)=a﹣ <0,f(x)最大值=f(0)=﹣a+1 又|f(2)|=﹣a+ <f(0) , ∴当 a≤0 时:M(a)=﹣a+1≥1> 综上可得,M(a)≥ 成立. , ;

选做题。请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.选修 4-1 几何证明选讲 22.如图,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆 的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F. (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由已知条件推导出∠ABC=∠BAE,从而得到 AE∥BC,再由 BD∥AC,能够 证明四边形 ACBE 为平行四边形. (2)由已知条件利用切割线定理求出 EB=4,由此能够求出 CF= . 【解答】 (1)证明:∵AE 与圆相切于点 A,∴∠BAE=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠BAE, ∴AE∥BC, ∵BD∥AC,∴四边形 ACBE 为平行四边形. (2)解:∵AE 与圆相切于点 A,
2 2 ∴AE =EB?(EB+BD) ,即 6 =EB?(EB+5) ,

解得 EB=4, 根据(1)有 AC=EB=4,BC=AE=6, 设 CF=x,由 BD∥AC,得 ∴ ∴CF= . ,解得 x= , ,

选修 4-4 坐标系与参数方程

23.已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) .

(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 【考点】圆的参数方程;函数的图象与图象变化;直线与圆相交的性质;直线的参数方程. 倍,得到曲

【分析】 (I)将直线 l 中的 x 与 y 代入到直线 C1 中,即可得到交点坐标,然后利用两点间的 距离公式即可求出|AB|. (II)将直线的参数方程化为普通方程,曲线 C2 任意点 P 的坐标,利用点到直线的距离公 式 P 到直线的距离 d, 分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 为一个角的正弦函数,与分母约分化简后,根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值,进 而得到距离 d 的最小值即可. 【解答】解: (I)l 的普通方程为 y= 联立方程组
2 2 (x﹣1) ,C1 的普通方程为 x +y =1,

,解得交点坐标为 A(1,0) ,B( ,﹣



所以|AB|=

=1;

(II)曲线 C2:

(θ 为参数) .

设所求的点为 P( cosθ,

sinθ) ,

则 P 到直线 l 的距离 d=

=

[

sin(

)+2]

当 sin(

)=﹣1 时,d 取得最小值



选修 4-5 不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|,g(x)=﹣|x+3|+a(a∈R) (1)若 a=6,解不等式 f(x)>g(x) ; (2)若函数 y=2f(x)的图象恒在函数 y=g(x)的图象的上方,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)根据绝对值不等式的几何意义求出不等式的解集即可; (2)由题意可得 2f(x)﹣g(x)>0,即 a<2|x﹣1|+|x+3|.设 h(x)=2|x﹣1|+|x+3|,利用 单调性求的 h(x)的最小值,可得 a 的范围. 【解答】解: (1)原不等式可化为:|x﹣1|+|x+3|>6,

由绝对值的几何意义得: 不等式的解集是{x|x>2 或 x<﹣4}; (2)y=2f(x)图象恒在 g(x)图象上方, 故 2f(x)﹣g(x)>0,等价于 a<2|x﹣1|+|x+3|,

设 h(x)=2|x﹣1|+|x+3|=



根据函数 h(x)的单调减区间为(﹣∞,1]、增区间为(1,+∞) , 可得当 x=1 时,h(x)取得最小值为 4, ∴a<4 时,函数 y=2f(x)的图象恒在函数 y=g(x)的上方.

2016 年 12 月 6 日


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