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双曲线的简单几何性质教案


选修 2-1 第 2.3.2 节

双曲线的简单几何性质 (第 1 课时)

教学设计
课题 教师 授课年级
内容分析:
本节教学内容是普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社)数学选修 2-1 第二章圆锥 曲线与方程第三节第二部分:双曲线的简单几何性质。由曲线方程研究曲线的几何性质,是高中 阶段解析几何所研究的主要问题之一。 学生已经学习了椭圆及其标准方程、 椭圆的简单几何性质, 从而探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) ;并且进一步 探究出双曲线独有的几何性质(实轴、虚轴、渐近线) ;也为后续研究抛物线的几何性质打下了 基础。因此这节课在教材中起承上启下的作用,是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质(即由数 到形)的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容,同时本节内容也是高考的高 频考点。

双曲线的简单几何性质 (第 1 课时)
尉志国 单位 金昌市二中 授课时间 指导教师 李祥澍

高二(5)班

2013 年 10 月 16 日

学情分析:
我所面对的学生是平行班的学生,因此教师在引导的基础上还需要适当的讲解。在此之前, 学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质, 并且类比、 推导、 归纳出了双曲线的标准方程, 这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、 离心率)和双曲线独有的几何性质(实轴、虚轴、渐近线) 。通过对双曲线性质的探究学习,可 使学生在已有的知识结构的基础上,拓展延伸,构建新的知识体系;同时对由方程讨论曲线性质 (即由数到形)的思想方法有更深刻的认识。

学习目标: 知识与技能: 初步理解并掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 。 过程与方法:通过观察、类比、探究来认识双曲线的简单几何性质。 情感、态度、价值观: 通过类比的方法探索新知识,培养学生学习数学的兴趣。 学习重点:探究双曲线的简单几何性质及应用 学习难点:双曲线的渐近线和离心率 授课类型:新授课 课时安排:三课时的第一课时 教 具:多媒体、导学案 教学方法:
为了激发学生学习的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的动手能力和应 用意识,本节内容采用“三步六环节”教学模式进行教学设计:是以学案为载体,以导学为方法, 教师的指导为主导,学生的自主学习为主体,师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。在这 种模式中,学生根据教师设计的导学案,认真阅读教材,了解教材内容,然后,完成导学案的相 关内容,学生可提出自己的观点或见解,师生共同研究学习,在更大程度上调动学生学习的积极 性,实现学生的合作学习,以期达到良好学习效果 。

教学过程设计 教学 环节 1. 复 习旧 知, 导入 新课 教师活动 在导学案中设置双曲线标 准方程和椭圆的图像与性质的 复习 教师关注学生对已有知识的掌 握情况。 学生活动 设计意图

2. 课 前预 习 , 自主 学习

学生在充分复习后解答 导学案上的复习内容: 1. 双曲线的标准方程: 焦 点在 x 轴上和焦点在 y 轴上 的方程、焦点坐标。 2. 椭圆的图像与性质:范 围、对称性、顶点、离心率。 在导学案上设置 双曲线 学生认真阅读教材后 2 2 在导学案上画出对应的图 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 像, 完成导学案的表格内容: a b 的简单几何性质的预习。 范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率并提出自己的疑 问。 问 题 1. 回 忆 研 究 椭 圆 类 比 研 究 椭 圆
x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b2 的简单几

以旧引新,揭 示课题。

培养学生自 学能力

? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 3. 合 2 b 线a 的简单 作讨 论 , 几何性质: 范围、 对称性、 顶点? 探究 让学生分组讨论, 请其中一 问题 组学生派代表说讨论结果, 其他 组同学作补充,教师加以引导 教师强调: 实轴和虚轴是双 曲线区别于椭圆的长轴和短轴 的概念; 离心率 e 的范围 e >1) ( 。 问题 2.我们已经知道椭圆 位于一个矩形框内, 双曲线中是 否存在一个类似的矩形框? 如 果存在, 对角线所在直线与双曲 线有什么位置关系? 问 题 3. 双 曲 线 方 程 中 x y

方法,激发学 何性质方法 (从结合方程和图像 几何性质的方法,得出双曲 生 学 习 数 学 来研究) ,你能否类比得出双曲 的兴趣。 x2 y2 线 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的 2 2
a b

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? 的 简 单 借 助 于 类 比 a2 b2

范围、对称性、顶点的方法 学生:自主思考→得出 结论→小组讨论→回答所得 结论(与大家讨论) 在教师引导下探究直线 b y ? ? x 与双曲线的关系: a b 直 线 y?? x 是 双 曲 线 a

a, b, c 之间有什么关系?它们与

从已有知识 出发,层层设 疑,调动学生 自身探索的 内驱力,逐步 引出双曲线 的渐近线,从 而突破了本 x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的 特 节 课 难 点 — a2 b —渐近线。 征矩形框的对角线,与双曲 线逐渐接近,因此叫双曲线 的渐近线。

离心率之间有什么关系? 回答:离心率与双曲线的开 问题 4.什么样的双曲线是 口大小的关系 等轴双曲线?渐近线方程是什 么?两条渐近线关系如何?离 心率为多少?

4. 展 示交 流, 激励 评价

师生共同归纳出双曲线的 根据课件设计的表格, 性质(填表格) :范围、对称性、 小 结 这 节 课 学 习 的 双 曲 线 顶点、渐近线、离心率 x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的 五 2 2 a2 b2 例.求双曲线 9 x ? 16 y ? 144

通过例题巩 固双曲线几 何性质,体会 双曲线性质 的半实轴长和半虚轴长、 焦点坐 条简单几何性质,并应用双 的应用,规范 曲线的简单几何性质完成例 解题格式 标、离心率、渐近线方程 题。 请两名学生上黑板做, 然后师生 共同分析优缺点, 在让学生看课 件上规范的解题过程 1.双曲线
x2 y 2 ? ? 1 实轴和虚轴 16 8

5. 达 长分别是( 标检 A.8 、 4 2 测, 巩固 C.4、 4 2 提高

) . B.8 、 2 2 D.4、 2 2

学生在导学案上完成练 习,互相比赛,看看谁做的 2.双曲线x 2 ? y 2 ? 4的顶点坐标 又快又好 学以致用,解 是 ( ) 答与所学的 双曲线简单 A. (0, ?1) B. (0, ?2) 几何性质相 关的练习,加 C. (?1,0) D. ?2,0 ) ( 深对双曲线 2 2 简单几何性 x y 3.双曲线 ? ? 1 的离心率为 4 8 质的记忆和 ( ) 理解。 A.1 C. 3 B. 2 D.2

4. 双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方 程是 . 5.焦点在 x 轴上,经过点 A(3,-1),并且对称轴为坐标轴 的 等 轴 双 曲 线 方 程 是 ____________. 6. 课 让学生通过自我反思和互相 总结:本节课有什么收 堂 总 质疑提问, 归纳总结本节课的主 获? 结 , 要内容;双曲线简单几何性质 我认为本节课自己掌握不够 反思 的地方和存在的问题是什 领悟 么?

进一步明确 本节课所学 内容及体现 的思想方法

课后 作业

1.习题 2.3 A 组第 3,4 题 B 组第 1 题 学以致用 2.结合双曲线的图像熟记焦点 温故而知新 在 x 轴上的双曲线的简单几何 学生回家独立完成作 性质并类比得出焦点在 y 轴上 业,体会一下与本节课所学 的双曲线的简单几何性质。 内容相关的简单高考题 高考链接:
1.双曲线 x2 ? y 2 ? 1的顶点到其 4 渐近线的距离为 _________ .

2.双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 16 m

通过做高考 题,提升学生 学习兴趣和 对高考的必 胜信心。

5 为 ,则m等于 __________ . _ 4

板书设计 2.3.2 双曲线的几何性质

1.范围: 2.对称性: 3.顶点: 4.渐近线:

5 离心率 例题 小结


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