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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《1.2.2同角三角函数的基本关系》评估训练


双基达标
1.化简 π 1-sin25的结果是(

?限时 20 分钟?
).

π π π π A.sin 5 B.-sin 5 C.cos 5 D.-cos 5 π π π 解析 ∵0<5<2,∴cos 5>0. ∴ π 1-sin25= π π cos25=cos 5.

答案 C 2.(2012· 黄冈高一检测)已知 3 A.4 3 B.± 10 3 C.10 sin θ+cos θ =2,则 sin θcos θ 的值是( sin θ-cos θ ).

3 D.-10

解析 由题意得 sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ), ∴(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2, 3 解得 sin θcos θ=10. 答案 C 3.如果 tan θ=2,那么 1+sin θcos θ 的值是( 7 A.3 7 B.5 5 C.4 5 D.3 sin2θ+cos2θ+sin θcos θ sin2 θ+cos2θ ).

解析 1+sin θcos θ=

1+tan2θ+tanθ 1+22+2 7 = = =5. 1+tan2θ 1+22 答案 B 1 ? ? 1 4.化简?sin α+tan α?(1-cos α)=________. ? ? 1 ? cos α? ? 1 ? 1 解析 ?sin α+tan α?(1-cos α)=?sin α+ sin α ?(1-cos α) ? ? ? ? 1-cos2α = sin α =sin α.

答案 sin α sin α+2cos α 5.已知 =1,则 α 在第________象限. cos α 解析 由 sin α+2cos α =1?tan α=-1<0. cos α

∴α 在第二或第四象限. 答案 二或四 6.已知 tan α=2,计算: (1) 2sin α-cos α ; sin α+2cos α

(2)sin2α+sin αcos α-2cos2α. 解 (1) 2sin α-cos α 2tan α-1 3 = = . sin α+2cos α tan α+2 4

(2)sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+sin αcos α-2cos2α = sin2α+cos2α tan2α+tan α-2 4 = =5. tan2α+1

综合提高
sin α A.tan α=-cos α C.sin α=- 1-cos2α

?限时 25 分钟?
).

7.如果 α 是第二象限的角,下列各式中成立的是(

B.cos α=- 1-sin2α cos α D.tan α= sin α

sin α 解析 由同角三角函数的基本关系式,知 tan α=cos α,故 A、D 错误;又 α 是 第二象限角,所以 sin α>0,故 C 错误. 答案 B 8.若 sin θ= m-3 4-2m ,cos θ= ,则 m 的值为( m+5 m+5 ).

A.0 B.8 C.0 或 8 D.3<m<9 解析 由 sin2θ+cos2θ=1,得 ?m-3?2 ?4-2m?2 + =1,解得 m=0 或 8. ?m+5?2 ?m+5?2

答案 C 9.(2012· 德州月考)在△ABC 中, 2sin A= 3cos A,则角 A=________. 解析 由题意知 cos A>0,即 A 为锐角. 将 2sin A= 3cos A两边平方得 2sin2A=3cos A. ∴2cos2A+3cosA-2=0, 1 解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去), π ∴A=3. π 答案 3 10.化简 解析 sin α sin α - 的结果为________. 1+sin α 1-sin α

sin α sin α - 1+sin α 1-sin α

sin α?1-sin α?-sin α?1+sin α? = ?1+sin α??1-sin α? -2sin2α -2sin2α = = cos2α =-2tan2α. 1-sin2α 答案 -2tan2α 11.(2012· 重庆高一检测)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+2m=0 的两根为 sin θ 和 cos θ(θ∈(0,π)),求: (1)m 的值; (2) sin θ cos θ 1 + 的值(其中 cot θ=tan θ ); 1-cot θ 1-tan θ

(3)方程的两根及此时 θ 的值. 解 (1)由根与系数的关系可知,sin θ+cos θ= sin θ· cos θ=m② 将①式平方得 1+2sin θ· cos θ= (2) 2+ 3 3 3 cos θ= 4 ,代入②得 m= 4 . 2 ,所以 sin θ· 3+1 2 ①

sin2 θ-cos2 θ sin θ cos θ sin2 θ cos2 θ + = + = = sin θ+cos θ 1-cot θ 1-tan θ sin θ-cos θ cos θ-sin θ sin θ-cos θ



3+1 2 .

3 3 3 (3)因为已求得 m= 4 ,所以原方程化为 2x2-( 3+1)x+ 2 =0,解得 x1= 2 , 1 x2=2. 3 ? ?sin θ= 2 所以? 1 cos θ = ? ? 2 1 ? ?sin θ=2 或? 3 cos θ = ? ? 2

.

π π 又因为 θ∈(0,π),所以 θ=3或6. 12.(创新拓展)是否存在一个实数 k,使方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根是一 个直角三角形两个锐角的正弦. 解 设这两个锐角为 A,B, ∵A+B=90° ,∴sin B=cos A, 所以 sin A,cos A 为 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根. 3k ? sin A + cos A =- ? 4 所以? 2k+1 sin A cos A = ? ? 8 ① ②

10 ②代入①2,得 9k2-8k-20=0,解得 k1=2,k2=- 9 ,当 k=2 时,原方程变 为 8x2+12x+5=0, 10 11 ∵Δ<0∴方程无解;将 k=- 9 代入②,得 sin Acos A=-72<0, 所以 A 是钝角,与已知直角三角形矛盾.所以不存在满足已知条件的 k.


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