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人教A版高中数学必修2同步检测第2章章末复习课


人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 章末复习课 [整合· 网络构建] [警示· 易错提醒] 1.不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立.例如 “过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条 直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立. 2.弄清楚空间点、线、面的位置关系 1 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 解决这类问题的基本思路有两个: 一是逐个寻找反例作出否定的 判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断; 二是结合长方体模型或实 际空间位置(如课桌、教室)作出判断,要注意定理应用准确、考虑问 题全面细致. 3.不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候,要注意它的取值范围是(0°, 90°]. 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时, 容易忽略这个 三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 4.透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰, 一种分法是直线在平面内与 直线在平面外(包括直线与平面平行和相交);另一种分法是直线与平 面平行(无公共点 )和直线与平面不平行 (直线在平面内和直线与平面 相交). 5.使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时, 要熟记定理的应用条件, 不 能忽略“两条相交直线”这一关键点. 专题 1 共点、共线、共面问题 (1)证明共面问题. 证明共面问题, 一般有两种证法: 一是先由某些元素确定一个平 面, 再证明其余元素在这个平面内; 二是先分别由不同元素确定若干 个平面,再证明这些平面重合. (2)证明三点共线问题. 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上, 即先确定出某两点在某两个平面的交线上, 再证明第三个点是两个平 2 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 面的公共点,当然必在两个平面的交线上. (3)证明三线共点问题. 证明空间三线共点问题, 先证两条直线交于一点, 再证明第三条 直线经过该点,把问题转化为证明点在直线上的问题. [例 1] 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB, AD 的中点, G, H 分别在 BC, CD 上, 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2, 求证: (1)E,F,G,H 四点共面; (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上. 证明:(1)因为 BG∶GC=DH∶HC,所以 GH∥BD. 又因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点,所以 EF∥BD. 所以 EF∥GH.所以 E,F,G,H 四点共面. (2)因为 G,H 不是 BC,CD 的中点, 所以 EF∥GH,且 EF≠GH. 所以 EG 与 FH 必相交,设交点为 M. 而 EG?平面 ABC,HF?平面 ACD, 所以 M∈平面 ABC,且 M∈平面 ACD. 因为平面 ABC∩平面 ACD=AC, 所以 M∈AC,即 EG 与 HF 的交点在直线 AC 上. 归纳升华 证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理,做到 合理、恰当地转化. 3 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 [变式训练] 三个平面 α,β ,γ 两两相交于三条直线,即α ∩ β =c,β ∩γ =a,γ ∩α =b,若直线 a 和 b 不平行,求证:a,b, c 三条直线必相交于同一点. 证明:如图所示,因为 α∩γ=b,β∩γ=a,所以 a?γ,b? γ. 因为直线 a 和 b 不平行,所以 a,b 必相交. 设 α∩b=P,则 P

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