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人教A版高中数学必修2同步检测第2章章末复习课

人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 章末复习课 [整合· 网络构建] [警示· 易错提醒] 1.不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立.例如 “过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条 直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立. 2.弄清楚空间点、线、面的位置关系 1 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 解决这类问题的基本思路有两个: 一是逐个寻找反例作出否定的 判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断; 二是结合长方体模型或实 际空间位置(如课桌、教室)作出判断,要注意定理应用准确、考虑问 题全面细致. 3.不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候,要注意它的取值范围是(0°, 90°]. 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时, 容易忽略这个 三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 4.透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰, 一种分法是直线在平面内与 直线在平面外(包括直线与平面平行和相交);另一种分法是直线与平 面平行(无公共点 )和直线与平面不平行 (直线在平面内和直线与平面 相交). 5.使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时, 要熟记定理的应用条件, 不 能忽略“两条相交直线”这一关键点. 专题 1 共点、共线、共面问题 (1)证明共面问题. 证明共面问题, 一般有两种证法: 一是先由某些元素确定一个平 面, 再证明其余元素在这个平面内; 二是先分别由不同元素确定若干 个平面,再证明这些平面重合. (2)证明三点共线问题. 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上, 即先确定出某两点在某两个平面的交线上, 再证明第三个点是两个平 2 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 面的公共点,当然必在两个平面的交线上. (3)证明三线共点问题. 证明空间三线共点问题, 先证两条直线交于一点, 再证明第三条 直线经过该点,把问题转化为证明点在直线上的问题. [例 1] 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB, AD 的中点, G, H 分别在 BC, CD 上, 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2, 求证: (1)E,F,G,H 四点共面; (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上. 证明:(1)因为 BG∶GC=DH∶HC,所以 GH∥BD. 又因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点,所以 EF∥BD. 所以 EF∥GH.所以 E,F,G,H 四点共面. (2)因为 G,H 不是 BC,CD 的中点, 所以 EF∥GH,且 EF≠GH. 所以 EG 与 FH 必相交,设交点为 M. 而 EG?平面 ABC,HF?平面 ACD, 所以 M∈平面 ABC,且 M∈平面 ACD. 因为平面 ABC∩平面 ACD=AC, 所以 M∈AC,即 EG 与 HF 的交点在直线 AC 上. 归纳升华 证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理,做到 合理、恰当地转化. 3 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 [变式训练] 三个平面 α,β ,γ 两两相交于三条直线,即α ∩ β =c,β ∩γ =a,γ ∩α =b,若直线 a 和 b 不平行,求证:a,b, c 三条直线必相交于同一点. 证明:如图所示,因为 α∩γ=b,β∩γ=a,所以 a?γ,b? γ. 因为直线 a 和 b 不平行,所以 a,b 必相交. 设 α∩b=P,则 P∈a,P∈b. 因为 a?β,b?α,所以 P∈β,P∈α. 又 α∩β=c,所以 P∈c. 所以 a,b,c 三条直线必相交于同一点. 专题 2 空间中的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系:相交、平行、异面. (2)空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面 平行、直线与平面相交. (3)两个平面的位置关系:平行、相交. [例 2] 已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法 正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α ,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α ,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 解析:若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错; 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面 内任一直线,B 正确;若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,C 错; 4 人教 A 版高中数学必修 2 同步检测 若 m∥α,m⊥n,则 n 与α可能相交,可能平行,也可能 n?α,D 错. 答案:B 归纳升华 若要否定一个结论, 则只要举出一个反例即可; 若要肯定一个结 论,则需要进行严密的逻辑推理. [变式训练] 下列命题正确的有( ) ①若一直线 a 与平面 α 内一直线 b 平行,则 a∥α;②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;③垂直于同一条直线的两条直线平行;④垂 直于同一条直线的两个平面平行. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:由 a∥b,b?α,可得出 a?α,或 a∥α,①不正确.a? α有两种情况,即 a∥α 和 a 与 α 相交,②不正确.垂直于同一条直 线的两条直线可能相交、平行或异面,③不正确.④正确.故选 B. 答案:B 专题 3 平行问题和垂直问题 线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点,它包含了相关平 行与垂直的证明,利用平行与垂直解决线、面等问题.其判定与性质 之间并非孤立的,而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相 互转化.在高考中,常以解答题形式出现,其中线面平行和垂直是重 中之重. [例 3] 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: 5 人教 A

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