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高中数学选修二项式定理 (2)人教版ppt课件


二项式定理 要点梳理 1.二项式定理 忆一忆知识要点 0 n n-1 r n-r r n n * (a+b)n=Cn a +C1 a b +…+ C a b +…+ C b ( n ∈ N ). n n n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 (a+b)n 的 二项展开式 做 二项式系数 r ,其中的系数 Cn (r=0,1,2,…,n)叫 r n-r r C 通项 , .式中的 na b 叫做二项展开式的 r n-r r 用 Tr+1 表示,即展开式的第 r+1 项;Tr+1= Cna b . 要点梳理 (1)项数为 的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 n+ 1 . 忆一忆知识要点 2.二项展开式形式上的特点 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n, 即 a 与 b 的指数 排列,从第一项开始,次数由 n 逐项 减 1 直到零;字母 b 按 升幂 排列,从第一项起,次数由 零逐项增 1 直到 n. n 0 n-1 C n . (4)二项式的系数从 Cn ,C1 ,一直到 C , n n 要点梳理 3.二项式系数的性质 忆一忆知识要点 (1)对称性:与首末两端“等距离 ”的两个二项式系数相 m n 等,即 Cn =Cn -m . n+ 1 2 (2)增减性与最大值:二项式系数 Cr 时,二 n,当 r< n+ 1 项式系数是递增的; 当 r> 2 时, 二项式系数是递减的. 当 n 是偶数时,中间的一项 C 当 n 是奇数时,中间两项 时取得最大值. n 2 n 取得最大值. 和 C n ?1 2 n C n ?1 2 n 相等,且同 要点梳理 (3)各二项式系数的和 n 忆一忆知识要点 0 1 C + C (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,即 n n+ n 2 n n Cn +…+Cr n+…+Cn =2 . 二项展开式中, 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式 0 2 4 1 3 5 C + C + C +… = 2n-1 C + C + C +… n n n n n n 系数的和,即 = . [难点正本 疑点清源] 1.二项式的项数与项 n-r r (1)二项式的展开式共有 n+1 项,Cr a b 是第 r+1 项. n n-r r 即 r+1 是项数,Cr a b 是项. n n-r r (2)通项是 Tr+1=Cr a b (r=0,1,2,…,n).其中含有 n Tr+1,a,b,n,r 五个元素,只要知道其中四个即可求 第五个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 n 在 Tr+1=Cr a n -r br 中,Cr n就是该项的二项式系数,它与 a, -r b 的值无关;Tr+1 项的系数指化简后除字母以外的数,如 n a=2x,b=3y,Tr+1=Cr n2 · 3rxn -r n yr,其中 Cr n2 -r 3r 就是 Tr+1 项的系数. 求展开式中的特定项或特 定项的系数 1 ? ? ? x+ ?n 例 1 在二项式? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等 2 x? ? 差数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项. 利用已知条件前三项的系数成等差数列求出 n,再用通项 公式求有理项. n 1 ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1, , n(n-1), 2 8 n 1 ∴2·=1+ n(n-1), 2 8 解 解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去), r

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