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甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学文试卷


2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学
命题学校:金川公司第一高级中学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓 名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂 黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

命题教师:郭连鹏

金玉银 程媛媛

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)函数 y ? lg(? x) 的定义域为 A ,函数 y ? e x 的值域为 B ,则 A ? B ? (A) (0, ? ?) (B) (0, e) (C) R (D) ?

(2)已知点 A(1,3),B(4,一 1),则与向量 AB 的方向相反的单位向量是 (A)(-

??? ?

3 4 4 3 3 4 4 3 , ) (B)(- , ) (C)( ,- ) (D)( ,- ) 5 5 5 5 5 5 5 5

(3)函数 y ? sin(? ? x) ? 1 的图象 (A)关于 x ? 称 (4)若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下为真命题的是 (A) p ? q (B) p ? (?q) (C) (?p) ? q (D) (?p) ? (?q)

?
2

对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于原点对称

(D)关于 x ? ? 对

(5)曲线 x ? y 与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是

?x ? y ? 0 ? (A) ? x ? y ? 0 ? x?3 ?

?x ? y ? 0 ? (B) ? x ? y ? 0 ? x?3 ?

?x ? y ? 0 ? (C) ? x ? y ? 0 ? x?3 ?

?x ? y ? 0 ? (D) ? x ? y ? 0 ? x?3 ?

(6)函数 f ( x) ? x2 +bx 的图象在点 A(l,f(1))处的切线与直线 3x - y+2=0 平行,若 数列



1 }的前 n 项和为 Sn,则 S2015= f (n)
(B)

(A)1

2013 2014

(C)

2014 2015

(D)

2015 2016

(7)若 x, y ? R, 则“ log2 ?xy ? 4 x ? 2 y ? ? 3 ”是“ x2 ? 4x ? y 2 ? 8 y ? 20 ? 0 ”成立的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 条件 (8)已知向量 a ? (3,1), b ? (sin ? ,cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 tan 2? ? (A)

3 5

(B) ?

3 5

(C)

3 4

(D) ?
4

3 4
3

(9)若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积等于 (A) 10cm
3

5 正视图 3 侧视图

(B) 20cm (C) 30cm

3

3 3

(D) 40cm

俯视图

? ? ln(? x), x ? 0, (10)设函数 f ( x) ? ? 若 f (m) ? f (?m) ,则实数 m 的取值范围是 ? ?? ln x, x ? 0.
(A) (?1, 0) ? (0, 1) (B) (??, ?1) ? (0, 1) (C) (?1, 0) ? (1, ??) ( D )

(??, ?1) ? (1, ??)
(11)在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为
(A)

2
2

(B)

3 2

(C) 2 2

(D) 4 2

(12)已知抛物线 C:x =8y 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交

点,若 PF ? 2 FQ ,则|QF|= (A)6 (B)3 (C)

??? ?

??? ?

8 3

(D)

4 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)在复平面内,复数 z 与

2 的对应点关于虚轴对称,则 z= 1?i



PA ? PB ? PC ? 1, 中, ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 90? ,则该 ( 14 ) 在四面体 P ? ABC

四面体 P ? ABC 的外接球的表面积为



(15)当输入的实数 x ? ? 2,30? 时,执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 103 的概率是 (16)已知函数 f ( x ) ? ? .

? x ? 1, ? log 2 x ,

x?0 ,若方程 f ( x ) ? a x?0

有四个不同的解 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,且 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 , 则 x 3 ( x1 ? x 2 ) ?

1 的取值范围是 x x4
2 3



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ( n , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? 1, b1b2b3 ? 8 ,求数列 ?an +bn ? 的前 n 项和 Tn . (18)(本小题满分 12 分) 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案如 下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元,选择套餐 三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为 概率.

Sn ), n ? N * 均在函数 y ? x 的图象上. n

(Ⅰ)求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (Ⅱ)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中 选出 6 人,再从该 6 人中随机选两人,求这两人获得相等 优惠金额的概率.

入网人数

150 100 50 套餐 1 套餐 2 套餐 3
套餐种类

(19)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形,

P

?BCD ? 120? , AB ? PC ? 2 , AP ? BP ? 2 .
(Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
D

A

B

C

(20) (本小题满分 12 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为

k (k ? 0) .设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上的一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交 点为 D .判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为正实数.
x

(Ⅰ)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范 围, 并由此判断曲线 g ( x) 与曲线 y ?

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答 第一题评分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD=

1 2 AC,AE= AB, 3 3

BD,CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2cos? ( ? 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的 y ? 3 sin ? ? ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? =2. (Ⅰ)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知 M , N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求

PM ? PN 的最大值.
(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲.

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .
(Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学试题答案及评分参考
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,
(1)D (7)B (2)A (8)D (3)A (9)B (4)B (10)B (5)A (11)C (6)D (12)A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13) -1+i (14) 3? (15)

9 14

(16) ?? 1 ,1?

三、解答题:

(17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得

Sn ? n ,即 Sn =n2 . n 当 n=1 时,a1=S1=1
当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ;

?????1 ?????3



分 当 n=1 时,a1= 2 ? 1 ? 1 =1 所以 an ? 2n ? 1 分 (Ⅱ) b1b2b3 ? b23 ? 8 得到 b2 ? 2 ,又 b1 ? 1 ,? q ? 2 , ?????4

?bn ? b1qn?1 ? 2n?1 ,


?????8

?an ? bn ? 2n ? 1 ? 2n?1 ,

Tn ? (2 ? 1 ? 20 ) ? (4 ? 1 ? 21 ) ? ??? ? (2n ? 1 ? 2n?1 )
? (2 ? 1 ? 4 ? 1 ? ???2n ? 1) ? (20 ? 21 ? ??? ? 2n?1 )

? n 2 ? 2n ? 1
分 (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”,则

?????12

P( A) ?

150 ? 100 5 ? .?4 分 50 ? 150 ? 100 6

(Ⅱ)设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额”, ?????5 分 由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获 200 元优惠的 1 人,获 500 元优惠的 3 人,获 300 元优惠的 2 人,分别记为 a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 ,从中选出两人的所有基本事件如下:

a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1c1 , a1c2 , b1b2 ,b1b3 ,b1c1 , b1c2 ,b2b3 ,b2 c1 ,b2c2 ,b3c1 ,b3c2 , c1c2 ,共 15 个.
?????9 分 ?????10 分

其中使得事件 B 成立的为 b1b2 , b1b3 , b2 b3 , c1c2 ,共 4 个

则 P( B) ?

4 . 15

?????12 分

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O ,连接 PO, CO . ∵ AP ? BP ,∴ PO ? AB , ???2 分

又四边形 ABCD 是菱形,且 ?BCD ? 120? , ∴ V ACB 是等边三角形,∴ CO ? AB .-----4 分 ∴ AB ? 平面 PCO ,又 PC ? 平面PCO ,∴ AB ? PC .--------------6 分 (Ⅱ)? PA ? PB ? 2, AB ? 2,??APB ? 90? , ? PO ? 1 .…………………8 分

? ?ABC 是边长为 2 的正三角形,?OC ? 3, 又 PC ? 2 ,
? PO 2 ? CO 2 ? PC 2 ,? PO ? OC ,又 PO ? AB , PO ? 平面 ABC , …………10 分

? S?ABC ?

3 2 ?2 ? 3 .所以菱形 ABCD 的面积为 4
--------------------------------12

所求体积为 分 (20) (本小题满分 12 分) 解:

(Ⅰ)抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) .--------------------------1 分 由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) .--------3 分 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,所以 1 ? k ?

1 4

1 3 ,解得 k ? ,因为 k ? 0 , 4 4

所以 0 ? k ?

3 .----------------------5 分 4

(Ⅱ)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.理由如下:

2 假设四边形 ABDC 为梯形.依题意,设 B( x1 , x12 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) ,

联立方程 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

消去 y,得 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 ,

由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 . 同理,得 x2 ? ? 对函数 y ? x2 求导,得 y ? ? 2 x ,

1 ? 1 .-----------------7 分 k

所以抛物线 y ? x2 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 , 抛物线 y ? x2 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2 x2 ? ? 分 由四边形 ABDC 为梯形,得 AB //CD 或 AC //BD .
2 2 若 AB //CD , 则 k ?? ? 2 ,即 k ? 2k ?2 ?0 ,因为方程 k ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB 与

2 ? 2 .---------------------------9 k

2 k

CD 不平行.
若 AC //BD , 则?

1 2 2 ? 2k ? 2 , 1 0 ? , 即 2k ?2 k ? 因为方程 2k ? 2k ? 1 ? 0 无解, 所以 AC k


与 不 平 行 BD -----------------------------------------------------------------------11 分

所 以 四 边 形 ABDC 不 是 梯 形 , 这 与 假 设 矛 盾 . 因 此 四 边 形 ABDC 不 可 能 为 梯 形.-------------12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 ------------------------------------------2
'

f ( x) 的定义域为: (0, ??)

f ' ( x) ? 1 ?

1 x

函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ------------------4

(Ⅱ)由 f ' ( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

若 0 ? a ? 1 则 f ( x) 在 (1,??) 上有最小值 f (a ) ---------------------------------5 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1,??) 单调递增无最小值 ----------------------------------6

∵ g ( x) 在 (1,??) 上是单调增函数∴ g'( x ) ? e ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立
x

∴a ? e 综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ? 此时 g ( x) ?

------- 7 ---------- 8

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) 1 2 , ----10 ax ? ax 即 a ? 2 , 令h( x) ? 2 ? h '( x) ? 2 x x x3

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e .故两曲线没有公共点 ---------------------12 2

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
解: (1)证明:? AE ?

2 1 AB , ? BE ? AB . 3 3 1 AC ,? AD ? BE ,--------------1 3

? 在正△ ABC 中, AD ?

又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,
? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,-------------------------3

即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆.??????????(5 分) (2)解:如图,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?
1 AE . 2

? AE ? ? AD ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3 1 2 AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3

? △AGD 为正三角形, ? GD ? AG ? AD ?

2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

2 . 3 2 . (10 分) 3

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 (23)(本小题满分 10 分) 解: (1)曲线 C1 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,????????2 分 4 3

曲线 C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ????????4 分 (2) 法一:由曲线 C2 : x2 ? y 2 ? 4 ,可得其参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,所以 P 点坐标为 ? y ? 2sin ?

(2cos ? , 2sin ? ) ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) .
因此 PM + PN ?

(2cos ? )2 ? (2sin ? ? 3) 2 ? (2cos ? ) 2 ? (2sin ? ? 3) 2

? 7 ? 4 3 sin ? ? 7 ? 4 3 sin ? ????????6 分

( PM + PN )2 ? 14 ? 2 49 ? 48sin 2 ? .
2 所以当 sin ? ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,????????8 分

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 .
2

????????10 分
2

法二:设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 x ? y ? 4 ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) . 因此 PM + PN ?

x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2

? 7 ? 2 3 y ? 7 ? 2 3 y ????????6 分 ( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 12 y 2 .
2 所以当 y ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,????????8 分

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 . (24)(本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ?

????????10 分

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a) | ? ? a ? 2 a a a

所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ)? x ? 4 y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:
2 2 2

?????????5 分

[ x 2 ? (2 y ) 2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z ) 2 x 2y z 6 3 (当且仅当 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号)整理得: ( x ? 2 y ? z ) 2 ? 9 , 1 1 1 5 5 即 x ? 2 y ? z ? 3 ????????10 分


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