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高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)


高中平面解析几何知识点总结
一.直线部分
1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交 点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? 叫做直线的倾斜角. 倾斜角 ? ? [0,180?) , ? ? 90? 斜率不存在.

k?
(2)直线的斜率:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ), k ? tan? x2 ? x1 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) . .两点坐标为 P

2.直线方程的五种形式:
1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P

注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x0 . (2)斜截式: y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ? (3)两点式: y 2 ? y1 x2 ? x1 ( y1 ? y2 , x1 ? x2 ).

注:① 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ② 方程形式为: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时,方程可以表示任意直线.
x y ? ?1 (4)截距式: a b

( a , b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a ? 0, b ? 0 ) .

注:不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点 的直线. (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0
y??

(其中 A、B 不同时为 0).

一般式化为斜截式:

A A C k ?? x? B. B B ,即,直线的斜率:

注: (1)已知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b 或 x ? 0 .

m 为 k 的倒数)或 y ? 0 . 已知直线横截距 x0 , 常设其方程为 x ? my ? x0 (直线斜率 k 存在时,
已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 或 x ? x0 . (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.
-1-

3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等 ? 直线的斜率为 ? 1 或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,有 ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有 ① l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2C1 ; 5.平面两点距离公式:
1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间距离 (1)已知两点坐标 P

② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2



(2) x 轴上两点间距离:

AB ? xB ? x A



x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 ? y ? y ? 1 ? y2 0 M ( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? 1P 2 的中点是 (3)线段 P .
6.点到直线的距离公式:

点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: 7.两平行直线间的距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2


两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l2:Ax ? By ? C2 ? 0 的距离: 8.直线系方程: (1)平行直线系方程:

d?

C1 ? C 2 A2 ? B 2 .

① 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程. ② 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 . ③ 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为: A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 .
-2-

(2)垂直直线系方程: ① 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . ② 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为: B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . (3)定点直线系方程:
0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的 ① 经过定点 P

系数.
0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. ② 经过定点 P

(4)共点直线系方程:经过两直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系 方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除开 l2 ),其中λ 是待定的系数. 9.两条曲线的交点坐标:
f ( x, y ) ? 0 g ( x, y ) ? 0 C : f ( x , y ) ? 0 C : g ( x , y ) ? 0 曲线 1 与 2 的交点坐标 ? 方程组 的解.

?

10.平面和空间直线参数方程: ① 平面直线方程以向量形式给出:

x ?a n
1
1

?

y ?b n
2

方向向量为 s ? ?n1, n2? 下面推导参数方程:
?

x ?a 令: n

?

y ?b ? 则有? ?x ? a ? n t ? t n ? ?y ? b ? n t
1 2 2

② 空间直线方程也以向量形式给出:

x ?a n
1

?

y ?b n
2

?

z ?b n
3

方向向量为 s ?

?

?n , n ,n ?
1 2 3

下面推导参数方程:

x ?a ? 令: n
1

y ?b n
2

?

z ?c ? t n
3

? ? ? ? x a n1 t ? 则有? y ? b ? n2 t ? ? z ? c ? n3 t ?

注意:只有封闭曲线才会产生参数方程,对于无限曲线,例如二次函数一般不会有化为如 上的参数方程。

-3-

二.圆部分
1.圆的方程:
2 2 2 (1)圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ( r ? 0 ) . 2 2 2 2 (2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) .

(3)圆的直径式方程:若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,以线段 AB 为直径的圆的方程是:
( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 .

注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是 (2)一般方程的特点:

(?

D E 1 ,? ) r ? D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 , 2 .

2 2 2 ① x 和 y 的系数相同且不为零;② 没有 xy 项; ③ D ? E ? 4F ? 0

2

2 2 (3)二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的等价条件是:

① A ? C ? 0; 2.圆的弦长的求法:

② B ? 0;

2 2 ③ D ? E ? 4 AF ? 0 .

(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r ,
l ( )2 ? d 2 ? r 2 则: “半弦长 +弦心距 =半径 ”—— 2 ;
2 2 2

(2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则
| AB |? 1 ? k 2 | x A ? x B |? 1 ? 1 | y A ? yB | k2

(其中 | x1 ? x2 |, | y1 ? y2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ,利用韦达定理求解) 3.点与圆的位置关系:
2 2 2 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2 ① P 在在圆外 ? d ? r ? ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r .
2 2 2 ② P 在在圆内 ? d ? r ? ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r .

2 2 2 ③ P 在在圆上 ? d ? r ? ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) ? r .

【 P 到圆心距离

d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2



4.直线与圆的位置关系:
-4-

2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

圆心到直线距离为 d (

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2
),由直线和圆联立方程组消去 x (或 y )后,所得一

元二次方程的判别式为 ? .

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
5.两圆位置关系: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,

O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线



d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 .

2 2 2 2 6.圆系方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 2 2 (1)过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2 2 2 (2)过圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系

方程:

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2 2 2 特别地,当 ? ? ?1 时, x ? y ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 就是

-5-

( D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? (F1 ? F2 ) ? 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的
直线. 7.圆的切线方程:
2 2 2 (1)过圆 x ? y ? r 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r .

2

2 2 2 (2) 过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: ( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r .

2

(3) 当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时, 可设切方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 利用圆心到直线距离等于半径, 即 d ? r ,求出 k ;或利用 ? ? 0 ,求出 k .若求得 k 只有一值,则还有一条斜率不存在的直线

x ? x0 .
8. 圆的参数方程: 圆方程参数方程源于:
2

sin ? ? cos ?
2 2
2 2

?1

那么

(x ?a) ? ( y ?b) ? 1 R R
2

? ( ? x ? a) ? sin ? ? R 设: ? ? ? y ?b) ( ? cos? ? ? ? R

x 得: ? ?

?

? R sin ? ? y ? ? R cos? b ?
?a

2 2 2 2 9.把两圆 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 方程相减

即得相交弦所在直线方程: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 . 10.对称问题: (1)中心对称: ① 点关于点对称:点 A( x1 , y1 ) 关于 M ( x0 , y0 ) 的对称点 A(2x0 ? x1 ,2 y0 ? y1 ) . ② 直线关于点对称: 法 1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直 线方程. 法 2:求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程. (2)轴对称:

-6-

① 点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点 在直线上.

k l ? ?1 ?k AA?· ? AA?⊥ l ?? ?? AA? 中点在 l上 l 方程 . ? AA? 中点坐标满足 点 A、A? 关于直线 l 对称 ?
② 直线关于直线对称: (设 a , b 关于 l 对称) 法 1:若 a , b 相交,求出交点坐标,并在直线 a 上任取一点,求该点关于直线 l 的对称点. 若 a // l ,则 b // l ,且 a , b 与 l 的距离相等. 法 2:求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程. (3)其他对称: 点(a,b)关于 x 轴对称:(a,-b); 关于 y 轴对称:(-a,b); 关于原点对称:(-a,-b); 点(a,b)关于直线 y=x 对称:(b,a); 关于 y=-x 对称:(-b,-a); 关于 y =x+m 对称:(b-m、a+m); 关于 y=-x+m 对称:(-b+m、-a+m).

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ? ? 3 3 ?. 11.若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 ?
12.各种角的范围:

? 直线的倾斜角 0? ? ? ? 180
两条相交直线的夹角 两条异面线所成的角
0? ? ? ? 90? 0? ? ? ? 90?

三.椭圆部分
1.椭圆定义: ① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线:即∣MO1∣+∣MO2∣=2a ② 或定义: 任意一条线段, 在线段中任取两点 (不包括两端点) , 将线段两端点置于这两点处, 用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。
-7-

③ 从椭圆定义出发得到一个基本结论:椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2a。 2.椭圆性质: ①由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数,所以从 A 点向焦点引两条焦半径 ∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a 这是因为∣AO1∣=∣O2B∣(由图形比较看出) ② 椭圆的标准方程:

x ?y a b
2 2

2

2

?1

③ 椭圆参数方程: 从圆方程知: x2 ? y ? R2 圆方程参数方程源于:
2

sin ? ? cos ?
2 2

?1

所以按上面逻辑将椭圆方程
?x ? R ? sin ? 设 ? ? ?y ? ? ? R cos ?
?

x ?y a b
2 2

2

2

? 1 视为

x ? R sin ? 得: ? ?

? ? y ? R cos?
? sin ?

?a 同理椭圆参数方程为: ?

?x

? ?y ? ? ? b cos ?

x ? a sin ? 得: ? ? ?

? ? y ? b cos?

④由于两个焦半径和为 2a
? 所以 ? O1C ? O2 C ? 2a ? ? O1 C ? O2 C ?

OC 得: OC OC
1

?

OC ?b ?c
2

?a? ? ? ? ? ? ?

a 得: c

2

? b ?c ?
2

2

2 2

a ?b

⑤ 椭圆离心率,来源于圆的定义: 圆实际上是一种特殊的椭圆,而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。 椭圆离心率为

e

?

c a

-8-

四.双曲线部分
1.双曲线定义:到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形,即:

MO
① 双曲线的标准方程:

2

?

MO

1

? 2a

x a

2 2

y ? b

2

2

?1

② 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的 绝对值为常数 2a.

? AQ ? AQ ? AB ? 2a ? AQ ? AQ ? AB ? BQ
2 1 2 1

2

?

AQ

1

?

AB ? 2a

③ 双曲线的渐近线: 由标准方程知: y ? b ?x ? a ? ? y ? b x ? a a a
2 2 2 2 2 2 2

y ? b x ?a ? b x ? b x a a a b b ? y ? x 为渐近线,另一条为 y ? ? x a a
又?
2 2 2

以上为渐近线的推导过程。

若标准方程为

y ?x b a
2

2

2 2

?1

x ? a y ?b b ,那么这时 ?y ?b x a
2

2

?

a y b

2

?

a y b

注意 y 下面对应 b,x 下面对应 a. ④ 取 x=a 及 x=-a 两条直线,它们与渐近线的两个焦点的连线和 y 轴的交点称为虚焦点, 该轴称为虚轴。 ⑤ 推导 a、b、c 之间的关系: 设双曲线上任意一点坐标 M(x,y)

-9-

MO MO MO

2

? ? ?

( x ?c) ? y
2

2

1

( x ? c) ? y
2

2

2

MO
2 2

1

?

( x ?c) ? y
2 2 2

2

?

( x ? c) ? y ? 2a
2 2

x ? y 经化简得: a c ?a
2

?1
2 2

x ?y 设: c ? a ? b ? 双曲线标准方程为: a b 从而得到: c ? a ? b
2 2 2 2
2 2 2

2

?1

五. 抛物线部分
1. 定义:到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。 为了推导抛物线标准式,设:定直线为 x=-p,定点为 O1(p,0) , (尽管这是一种特殊情况,但同样具有一般性) ① 设:抛物线上任意一点坐标为 M(x,y) M 点到定直线 x=-p 的距离为

x? p
( x ? p)
2

M 点到定点 O( 1 p, 0) 的距离为

?

y

2

x? p
?
2 2

?
2

( x ? p) ? y
2 2

2

x ? p ? 2 px ? x ? p ? 2 px ? y ? y ? 4 px

2

2

② 很显然与以前学习的二次函数是一致的,只不过这里自变量变成 y,函数变成 x;而二次 函数自变量是 x,函数是 y,因而二次函数也是抛物线,同样具有抛物线的性质。 如下: y ? a

x ? bx ? c (a ? 0)
2

? ? x1 ? x2 ? ? b ? a 韦达定理:⑴ . ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? a ?
- 10 -

⑵. 顶点坐标 (?

b , 4ac ? b ) ,推导采用配方法: 2a 4a
? b x ?? ? ? 2a
2

2

y ?a

? ? 2 b ?x ? ? a ?

? ? ? ?

2

? b ?? ? ? 2a
2

?? ? ? ?c ?? ? ??
2

? b ? a ? x? ? ? 2a
⑶ 求根公式: x ? 1, 2

? 4ac ? b ? ? ? 4a ?
2

? b?

从而零点坐标为 ③ 平移

?x , 、 0 ?? x, 0 ?。
1 2

b ?4ac 2a

例如:a、 难看出 ( y ?1) ? 2 px 如何平移呢?那就要看( y ?1) 怎么样才可等于零,不
2 2

只有在 y ?1 ? 0 时, y ? ?1 ,即向下移动一个单位。 b、 单位 y ? 2 p( x ?1) 同样看( x ?1) 如何为零,不难看出x ? ?1 ,即图像向左移动一个
2

c、 ( y ?1) ? 2 p( x ?1) 同样看( y ?1) 和 ( x ?1) 如何为零,不难看出y ? 1 及 x ? 1 ,
2 2

即图像想上移动一个单 位,向右移动一个单位 。

注意,平移部分需要自己琢磨,根据上面三个例子.

- 11 -


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