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二次函数的图象和性质2


22.1.3

二次函数y=a(x?h)2+k的图象
第1课时

1.会画y=ax2+k,y=a(x-h)2的图象; 2.了解y=ax2+k,y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系,能结

合图象理解二次函数的性质.

二次函数y=ax2的图象是什么 形状呢?什么确定y=ax2的性质? 通常怎样画一个函数的图象? 我们来画最简单的二次函数y=x2的图象. x
y=x2

还记得如何用 描点法画一个 函数的图象吗?

… …

-3 9

-2

-1
1

0 0

1

2
4

3

… …

4

1

9

y
9 8

y=x2

7

6

5

4

3

2

1

-8

-6

-4

-2

O
-1

2

4

6

8

x

在同一直角坐标系中,画出二次函数 y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】列表:
x … … … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … …

y=x2
y=x2+1 y=x2-1

9

4

1

0

1

4

9

10 8

5 3

2 0

1 -1

2 0

5 3

10 8

描点,连线

y
10

y=x2+1
8

6

y=x2-1

4

2

y=x2
-5

O

5

x

-2

(1)抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么?

(2)抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
(3)它们的位置是由什么决定的? 解析:(1)它们的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点分 别是(0,1)(0,-1). 抛物线 2 y=x 2 y=x +1 y=x2-1 开口方向 向上 向上 向上 对称轴 x=0 x=0 x=0 顶点坐标 (0,0) (0,1) (0,-1)

(2)把抛物线y=x2向上平移1个单位,就得到抛物线 y=x2+1;把抛物线y=x2向下平移1个单位,就得到抛物 线y=x2-1. (3)它们的位置是由+1、-1决定的.

思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线?
向下平移3.4个单位呢? y=2x2+5 y=2x2-3.4

当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时, 抛物线将发生怎样的变化?

解析:二次项系数小于零时抛物线的开口向下;二次
项系数的绝对值越大开口越小,反之越大.

一般地抛物线y=ax2+k有如下性质:
1.当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下, 2.对称轴是x=0(或y轴), 3.顶点坐标是(0,k),

4.|a|越大开口越小,反之开口越大.

1.把抛物线向上平移6个单位,会得到哪条
2 抛物线?向下平移7个单位呢? y=-3x +6

y=-3x2-7

2.在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:

观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方
1 2 向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 y ? x ? k 2 1 的开口方向、对称轴及顶点吗?它与抛物线 y ? x 2 2

1 2 1 2 1 2 y ? x , y ? x ? 2, y ? x ? 2 2 2 2

有什么关系?

1 1 2 2 y ? ? ? x ? 1? , y ? ? ? x ? 1? 的图象,并 2 2 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.

画出二次函数

x
y?? 1 ?x ? 1?2 2 1 2 y ? ? ?x ? 1? 2

· · ·

-3

-2
? 1 2

-1

0
? 1 2

1

2

3

· · ·

· · ·

-2

0

-2 -4.5 -8 0
? 1 2

· · ·
· · ·

· · · -8 -4.5 -2

?

1 2
4

-2

-4

-2 -2

2

y=-

1 ﹙x+1﹚2 2

-4

-6

1 y=- ﹙x-1﹚2 2

-4

-2 -2

2

4

y=- 1 ﹙x+1﹚2 2 可以看出,抛物线

y=- 1 ﹙x-1﹚2 2

-4 -6

1 2 y ? ? ? x ? 1? 的开口向下,对称轴 2 是经过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记作
1 2 x=-1,顶点是(-1,0);抛物线 y ? ? ? x ? 1? 2 x = 1 下 的开口向_________ ,对称轴是________________ ,顶点

( 1 , 0 ) 是_________________ .

1 2 1 2 1 2 抛物线 y ? ? ? x ? 1? y ? ? ? x ? 1? 与抛物线 y ? ? x 2 2 2 有什么关系? 1 2 可以发现,把抛物线 y ? ? x 向左平移1个单位,就得到抛物 2 1 2 1 2 线 y ? ? ? x ? 1? ;把抛物线 y ? ? x 向右平移1个单位,就得到 2 2
抛物线 y ? ?
1 2 ? x ? 1? . 2

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

1 2 y ? ? ?x ? 1? 2 1 y ? ? x2 2

1 2 y ? ? ?x ? 1? 2

二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质: (1)开口方向: 当a>0时,开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴: 对称轴是直线x=h; (3)顶点坐标:顶点坐标是(h,0).

1.说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶
点坐标 (1) (2) (3) y=5x2 向上,y轴,(0, 向上,y轴,(0, 向下,y轴,(0, 0) 2) 6) - 4)

y=-3x2 +2 向下,y轴,(0, y=8x2+6

(4)

y= -x2-4

2.说出下列二次函数的开口方向、对称轴
及顶点坐标

(1)
(2) (3) (4) (5)

y=2(x+3)2
y=-3(x-1)2 y=5(x+2)2 y=-(x-6)2 y=7(x-8)2

向上, x=-3,(-3,0) 向下, x=1,(1,0) 向上, x=-2,(-2,0) 向下, x=6,(6,0) 向上, x=8,(8,0)

3.抛物线y=-3(x+2)2开口向 下 ,对称轴为 x=-2 (-2,0) 点坐标为________. 4.抛物线y=3x2+0.5 可以看成由抛物线 y=3x2 移 0.5 个单位得到的.

,顶

向 上 平

5.写出一个开口向上,对称轴为x=-2,并且与y轴交于点

y=2(x+2)2 (0,8)的抛物线解析式____________.

(1)抛物线y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象上下平移得到, 当 k>0时,向上平移,当 k<0时,向下平移,均平移︱k︱

个单位.
(2)抛物线 y=ax2+k 的性质: ①当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;

②对称轴:y轴, 即直线 x=0;
③顶点坐标 (0,k); ④增减性; ⑤最值;图象位置.


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