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《步步高》2015届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库: 变化率与导数、导数的运算(含答案解析)]


第三章 导数及其应用
第1讲
一、选择题 1. 设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为( A.- 解析 1 5 ) B.0 C. 1 5 D.5

变化率与导数、导数的运算

因为 f(x)是 R 上的可导偶函数,所以 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以

f(x)在 x=0 处取得极值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5)
=0,即曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 答案 B

2.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′(x)+f(x)<0, 则对任意正数 a,b,若 a>b,则必有 A.af(b)<bf(a) C.af(a)<f(b) B.bf(a)<af(b) D.bf(b)<f(a) ( ).

xf′?x?-f?x? f?x? 解析 构造函数 F(x)= x (x>0),F′(x)= ,由条件知 F′(x)<0, x2 f?x? f?a? f?b? ∴函数 F(x)= x 在(0, +∞)上单调递减, 又 a>b>0, ∴ a < b , 即 bf(a)<af(b). 答案 B 1 3.已知函数 f(x)=x3+2ax2+ax(a>0),则 f(2)的最小值为 ( 3 A.12 2 2 C.8+8a+a 1 B.12+8a+a D.16 ).

2 2 2 解析 f(2)=8+8a+a,令 g(a)=8+8a+a,则 g′(a)=8-a2,由 g′(a)>0

1 1 1 1 得 a>2, 由 g′(a)<0 得 0<a<2, ∴a=2时 f(2)有最小值. f(2)的最小值为 8+8×2 2 +1=16.故选 D. 2 答案 D 4. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1) =( A.-e 解析 ). B.-1 C.1 D.e

1 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 B

5. 等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), 则 f′(0) =( A.26 解析 ). B.29 C.212 D.215

函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=

212,而 f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选 C. 答案 C

6.已知函数 f′(x),g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数,它们 在同一坐标系下的图象如图所示,设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 A.h(1)<h(0)<h(-1) B.h(1)<h(-1)<h(0) C.h(0)<h(-1)<h(1) D.h(0)<h(1)<h(-1) 1 解析 由图象可知 f′(x)=x,g′(x)=x2,则 f(x)=2x2+m,其中 m 为常数, ( ).

1 1 1 g(x)=3x3+n, 其中 n 为常数,则 h(x)=2x2-3x3+m-n,得 h(0)<h(1)<h(-1). 答案 D 二、填空题 7.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 3 解析 ∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x· x=3ln x+4,∴k=y′|x=1=4, ∴所求切线的方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 答案 y=4x-3 8 .若过原点作曲线 y = ex 的切线,则切点的坐标为 ________ ,切线的斜率为 ________. 解析

y0 ex0 y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则 =ex0,即 =ex0,∴x0=1.因 x0 x0

此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为 e. 答案 (1,e) e

9.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在 x =1 处的导数 f′(1)=________. 解析 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,

∴x=1 时,f(1)=2f(1)-1+8-8, ∴f(1)=1,即点(1,1),在曲线 y=f(x)上. 又∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8,

x=1 时,f′(1)=-2f′(1)-2+8,
∴f′(1)=2. 答案 2

10.同学们经过市场调查,得出了某种商品在 2011 年的价格 y(单位:元)与时间 t(单位:月)的函数关系为:y=2+ 涨的速度是______元/月. t2 解析 ∵y=2+ (1≤t≤12), 20-t
2 t2 ? ? ? t ? 2 + ∴y′=? ′=2′+?20-t?′ 20-t? ? ? ? ?

t2 (1≤t≤12),则 10 月份该商品价格上 20-t

?t2?′?20-t?-t2?20-t?′ 40t-t2 = = . ?20-t?2 ?20-t?2 由导数的几何意义可知 10 月份该商品的价格的上涨速度应为 y′|t = 10 = 40×10-102 =3. ?20-10?2 因此 10 月份该商品价格上涨的速度为 3 元/月. 答案 3 三、解答题 11.求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n,(n∈N*); (3)y= ex+1 ; ex-1 (2)y=ln (x+ 1+x2);

(4)y=2xsin(2x+5).

解 (1)y′=n(2x+1)n-1· (2x+1)′=2n(2x+1)n-1. (2)y′= 2x ? ? 1 1 1 + ? · . 2?= 2 2 1+x ? x+ 1+x ? 1+x2

ex+1 -2ex 2 (3)∵y= x =1+ x ∴y′= x . e -1 e -1 ?e -1?2 (4)y′=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 12.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数, 已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)f′(x)=3x2+4ax+b, g′(x)=2x-3, 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x) 在点(2,0)处有相同的切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由 此解得 a=-2,b=5; 切线 l 的方程为:x-y-2=0. (2)由(1)得 f(x)+g(x)=x3-3x2+2x,依题意得:方程 x(x2-3x+2-m)=0 有三个互不相等的根 0,x1,x2,故 x1,x2 是方程 x2-3x+2-m=0 的两个相 1 异实根,所以 Δ =9-4(2-m)>0? m>- ; 4

又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,特别地,取 x=x1 时,

f(x1)+g(x1)-mx1<-m 成立,即 0<-m? m<0,由韦达定理知:x1+x2=3>0, x1x2=2-m>0,故 0<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x-x2≤0,x-x1≥0, x>0,则 f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0;
又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数在 x∈[x1, x2]上的最大值为 0,于是当 m<0 时对任意的 x∈[x1,x2],

f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立.综上:m 的取值范围是?- ,0?
b 13.设函数 f(x)=ax-x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12 =0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三 角形面积为定值,并求此定值. (1)解 7 方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

? ?

1 4

? ?

1 b 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2, b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ? ?a+4=4, (2)证明 ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- x. ?b=3.

3 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f′(x)=1+x2知,曲线在点 P(x0,

3 ? 3? ? 3 ? ? ? y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x 2 ?· (x-x0), 即 y-?x0-x ?=?1+x 2 ?(x-x0). ? ? ? ? ? 0 0 0? 6? 6 ? 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为?0,-x ?. x0 ? 0? 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为2?-x ?|2x0| ? 0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面 积为定值,此定值为 6.

14.设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a,b∈R,a,b,为常数),曲线 y=f(x)与 3 直线 y=2x 在(0,0)点相切. (1)求 a,b 的值; 9x (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< . x+6 (1)解 由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1.

3 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为2, 1 ? 1 ?? +a??x=0=3+a, 又 y′|x=0= ?x+1+ 2 2 x+1 ? ?? 得 a=0. (2)证明 当 x>0 时,2 ?x+1?· 1<x+1+1=x+2,

x 9x 故 x+1<2+1.记 h(x)=f(x)- ,则 x+6 h′(x)= 2+ x+1 1 1 54 54 + - - 2= x+1 2 x+1 ?x+6? 2?x+1? ?x+6?2

x+6 ?x+6?3-216?x+1? 54 < - = . 4?x+1? ?x+6?2 4?x+1??x+6?2 令 g(x)=(x+6)3-216(x+1), 则当 0<x<2 时,g′(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数, 又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0. 于是当 0<x<2 时,f(x)< 9x . x+6


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