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2018-2019版高中数学_第二章 数列 2.3.1 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5_图文

2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 课标阐释 思维脉络 1.掌握等差数列前 n 项和公式的 推导方法. 等差数列的前 n 项和 2.掌握等差数列的前 n 项和公 推导 前 n 项和公式 式,能够运用公式解决相关问题. 应用 3.理解 Sn 与 an 的关系,并能运用 由Sn 求an 这个关系解决相关问题. 一二三 一、 数列的前n项和 【问题思考】 1.填空: 数列的前n项和 对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项 和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 2.做一做: 已知数列{an}的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则 S3= . 解析∵an=n2+1,∴a1=2,a2=5,a3=10, ∴S3=a1+a2+a3=17. 答案17 一二三 二、等差数列的前n项和 【问题思考】 1.高斯求和的故事我们一定耳熟能详,高斯是怎样求出 1+2+3+…+100的结果的呢? 提示 1+2+3+…+100=100×(12+100)=5 050. 2.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每 一层都比上一层多1根,最下面的一层有9根. 问题(1):一共有几层?图形的横截面是什么形状? 问题(2):假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则 这样一共有多少根钢管? 问题(3):原来有多少根钢管? 问题(4):能否利用这种方法推导等差数列{an}的前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an? 提示(1)6 层,等腰梯形;(2)(4+9)×6=78(根);(3)12×78=39(根);(4)能. 3.填空: (1)若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn=(12+). (2)若首项为 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn=na1+(2-1)d. 4.从函数角度认识等差数列的前 n 项和公式: (1)公式的变形 Sn=na1+(2-1) = 2n2+ 1 - 2 n. (2)从函数角度认识公式 ①当 d≠0 时,Sn 是项数 n 的二次函数,且不含常数项; ②当 d=0 时,Sn=na1,Sn 不是项数 n 的二次函数. (3)结论及其应用 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn+C, 若 C=0,则数列{an}为等差数列; 若 C≠0,则数列{an}不是等差数列. 5.做一做: (1)在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,a3=7,公差 d=2,则 S20= . (2)已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则 n= . 解析(1)由 a3=7,d=2,得 a1=3,故 S20=20×3+20×219×2=440. (2)∵Sn=(12+),∴(2+210)=72,解得 n=12. 答案(1)440 (2)12 一二三 三、数列中an与Sn的关系 【问题思考】 1.若已知数列{an}的前n项和为Sn,则Sn-1表示什么?an与Sn,Sn-1之间的 关系是什么? 提示Sn-1表示数列{an}前(n-1)项的和;an=Sn-Sn-1(n≥2). 2.填空: an 与 Sn 的关系:若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an= 1, = 1, --1, ≥ 2. 3.做一做: (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=+11,则 a5= . (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则 an= . 解析(1)a5=S5-S4=16 ? 15=-310; (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当 n=1 时,a1=S1=12+1=2 也适合上式,所以 an=2n. 答案(1)-310 (2)2n 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. ( ) (2)公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*.( ) (3)若数列{an}的前n项和Sn=4,则{an}不是等差数列. ( ) (4)若数列{an}的前n项和Sn=kn(k∈R),则{an}为常数列. ( ) (5)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数. ( ) 答案(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 12 【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则 S9= . (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= . (3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差 d= . 思路分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计 算求解. 解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a4=a1+3d=1+3d=7,所以 d=2. 故 S9=9a1+9×28d=9+9×28×2=81. (2)设等差数列{an}的公差为 d,则 3 = 31 + 3×2 2 = 3, 6 = 61 + 6×5 2 = 24, 解得 1 = -1,所以 = 2, a9=a1+8d=-1+8×2=15. (3)由 Sn=(12+) = (1-2512)=-1 022, 解得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得 d=-171. 答案(1)81 (2)15 (3)-171 反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个 基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项 公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和